2019年北京中考数学习题精选：矩形、菱形与正方形

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1、一、选择题1 （2018 北京市海淀区八年级期末）某小区有一块边长为 a 的正方形场地，规划修建两条宽为 b 的绿化带方案一如图甲所示，绿化带面积为 ；方案二如图乙所示，绿化带S甲面积为 设 ，下列选项中正确的是S乙 0kab甲乙bbbaaaabbbb bbbaaaabbbb甲 乙AB C D012k12k312k23k答案：B二、填空题2.（2018 北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）3.（2018 北京西城区二模） 如图，在矩形 ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形 EFGH. 若 AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 答案：204. （2018 北京西城区二模

2、）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴 上， (3,0)A， (4,)B，边 AD 长为 5. 现固定边 AB， “推”矩形使点 D 落在 y 轴的正半轴上（落点记为 D） ，相应地，点 C 的对应点 的坐标为 .5、 （ 2018 北京平谷区第一学期期末） 12已知菱形 ABCD 中，B=60 ，AB=2，则菱形ABCD 的面积是 答案： 23三、解答题6 （ 2018 北京石景山区初三毕业考试）问题 :将菱形的面积五等分小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题如图，点 是菱形 的对角线交点

3、， ，下面是小红将菱形 面积五OABCD5ABABCD等分的操作与证明思路，请补充 完整.（1）在 边上取点 ，使 ，连接 ， ；E4OE（2）在 边上取点 ，使 ，连接 ；FF（3）在 边上取点 ，使 ，连接 ；CGCG（4）在 边上取点 ，使 ，连接 DAHDH由于 .E 可证 S AOE SHOA .=EOFBFOGCODS四 边 形 四 边 形 四 边 形解：3，2，1； 2 分EB、 BF；FC 、 CG；GD 、 DH；HA . 4 分7、 （ 2018 北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）8.（2018 北京西城区二模）如图，在 RtABC 中，CDAB 于点 D，90ABB

4、EAB 于点 B，BE=CD，连接 CE，DE （1）求证：四边形 CDBE 为矩形；OGFEDCB图 1（2）若 AC=2， ，求 DE 的长1tan2AC（1）证明：如图 2. CDAB 于点 D，BE AB 于点 B， 90B CDBE 1 分又 BE=CD， 四边形 CDBE 为平行四边形2 分又 ，90 四边形 CDBE 为矩形 3 分（2）解： 四边形 CDBE 为矩形， DE=BC 4分 在 RtABC 中， ，CDAB，可得 ， 在 RtABC 中， ，AC=2 ， DE=BC=4 5分9 （ 2018 北京石景山区初三毕业考试）如图，在四边形 中， ，ABCD90BC， 于点

5、 210BCDCEAD（1）求证： ；（2）若 ，求 的长tan3B（1）证明：（法一）过点 B 作 BHCE 于 H，如图 1CEAD，BHCCED90， 90DBCD90， ，1290 D又 BCCDBACED12BACHDE图 2 BHC ED BHCE ， CEAD ，A90 ，四边形 是矩形， AEB 3 分C（法二）过点 C 作 CHAB 交 AB 的延长线于 H图略，证明略（2）解： 四边形 是矩形，H ABE在 Rt 中， ,D tan3E设 ，,3xC 102 , 4 分DE6 2CH 4AB10 （2018 北京燕山地区一模）如图，在ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的

6、中点，BE=2DE,延长 DE 到点 F，使得 EF=BE,连接 CF（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2 ）若BCF =120，CE= 4，求菱形 BCFE 的面积（1）证明：点 D,E, 是 AB,AC 中点 DEBC, DE= BC.112又 BE=2DE,即 DE= BEBC=BE 又 EF=BEEFBC, EF=BC四边形 BCFE 是平行四边形.2 又 EF=BE四边形 BCFE 是菱形 .3（2 ） 四边形 BCFE 是菱形BC=BE 又BCF=120 BCE=60BCE 是等边三角形ABCDEF连结 BF 交 EC 于点 OBFEC在 RtBOC 中，BO= .43242

7、2CB3121SBOC .511 （2018 北京延庆区初三统一练习）如图，RtABC 中，ABC=90，点 D，F分别是 AC，AB 的中点，CEDB，BEDC（1）求证：四边形 DBEC 是菱形；（2）若 AD=3， DF=1，求四边形 DBEC 面积.解：（1）在 RtABC 中，CE /DC，BE/ DC四边形 DBEC 是平行四边形D 是 AC 的中点， ABC =90BD= DC 1 分四边形 DBEC 是菱形 2 分（2）F 是 AB 的中点BC=2DF=2, AFD=ABC=90在 RtAFD 中,3 分 4 分5 分12 （2018 北京西城区九年级统一测试）如图，在 中，

8、，分别以点ABD ADB， 为圆心， 长为半径在 的右侧作弧，两弧交于点 ，分别连接 ，BDABDC， ，记 与 的交点为 CO（1）补全图形，求 的度数并说明理由;（2）若 ， ，求 的长5AB3cos5BDF EDCBA84FE菱 形BDA解：（1）补全的图形如图 2 所示1分AOB= 90证明： 由题意可知 BC=AB，DC= AB 在ABD 中， ，=ABD AB=AD BC= DC= AD= AB 四边形 ABCD 为菱形 2 分 ACBD AOB= 3 分90（2）解： 四边形 ABCD 为菱形， OB= OD 4分在 Rt ABO 中， ，AB=5， ，90AB3cos5ABD

9、cos3B 52=6D分13.（ 2018 北京门头沟区初三综合练习）在矩形 ABCD 中，连接 AC,AC 的垂直平分线交 AC于点 O,分别交 AD、BC 于点 E、F ，连接 CE 和 AF（1 ）求证：四边形 AECF 为菱形；（2 ）若 AB=4，BC=8，求菱形 AECF 的周长（1 ）证明：EF 是 AC 的垂直平分线，AO=OC，AOE=COF=90，1 分四边形 ABCD 是矩形，ADBC， EAO=FCO，在AEO 和CFO 中，FEOAB CDFEOAB CD图 2EAO =FCO ，AO=CO，AOE =COF ，AEO CFO （ASA） ， OE=OF 2 分又OA

10、=OC，四边形 AECF 是平行四边形，又EFAC，平行四边形 AECF 是菱形；3 分（2 ）设 AF=x， EF 是 AC 的垂直平分线，AF=CF=x，BF=8x ， 4 分在 Rt ABF 中，由勾股定理得：AB 2+BF2=AF2，4 2+（8x） 2=x2，解得 x=5，AF=5 ，菱形 AECF 的周长为 205 分14.（2018 北京通州区一模）答案：15 （2018 北京平谷区中考统一练习）如图，在 ABCD 中，BF 平分ABC 交 AD 于点F，AEBF 于点 O，交 BC 于点 E，连接 EF（1）求证：四边形 ABEF 是菱形；（2）连 接 CF，若ABC=60，

11、AB= 4，AF =2DF，求 CF 的长（1）证明：BF 平分ABC，ABF= CBF 1 ABCD，ADBCAFB= CBF ABF= AFB AB=AFAEBF ，ABF +BAO= CBF +BEO=90BAO=BEOAB=BEAF=BE四边形 ABEF 是平行四边形 ABEF 是菱形 2（2）解：AD=BC，AF=BE，DF=CEBE=2CEAB=4，BE=4CE=2过点 A 作 AGBC 于点 G 3ABC=60 ，AB=BE，ABE 是等边三角形BG=GE=2AF=CG=4 4四边形 AGCF 是平行四边形 AGCF 是矩形AG=CFOECB DAFGOECB DAF在ABG 中

12、，ABC =60，AB=4，AG= 23CF= 516 （ 2018 北京顺义区初三练习）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，A=90，BD =BC，点 E 为 CD 的中点，射线 BE 交 AD 的延长线于点 F，连接CF（1 ）求证：四边形 BCFD 是菱形；（2 ）若 AD=1， BC=2，求 BF 的长（1）证明：BD=BC，点 E 是 CD 的中点，1=2 1 分ADBC，2=31=3 2 分BD=DF BD=BC，DF=BC又DFBC，四边形 BCFD 是平行四边形BD=BC， BCFD 是菱形 3 分（2）解：A = ，AD=1，BD=BC =2，90 23BDA四边形 BCF

13、D 是菱形，DF=BC=2 4 分AF=AD+DF =3 5 分2392BFA217 （2018 北京顺义区初三练习）如图，矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 延长线上一点，FEAB CD321 FEAB CDDBECAF第 21 题图且 DE=DC，求证：E=BAC .EAB CD证明：四边形 ABCD 是矩形， ADC= ，ABCD 1 分90 DE=DC， AE=AC 2 分 E=ACE 3 分 ABCD， BAC=ACE 4 分 E=BAC 5 分18 （2018 北京海淀区第二学期练习）如图， 的对角线 相交于点 ，且ABCD,ABOAE BD，BE AC，OE = CD.（1）求

14、证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若 AD = 2，则当四边形 ABCD 的形状是_时，四边形 的面积取得最AOBE大值是_.（1）证明： ， ，ED C四边形 是平行四边形. AB1 分四边形 是平行四边形，C . D ,OE .AB平行四边形 是矩形. 2 分 .90 .CD平行四边形 是菱形. 3 分AB(2) 正方形； 4 分2. 5 分19.（ 2018 北京怀柔区一模）直角三角形 ABC 中，BAC=90 ，D 是斜边 BC 上一点，且AB=AD，过点 C 作 CEAD，交 AD 的延长线于点 E，交 AB 延长线 于点 F.C BEOADy x 123452345345 234

15、5O(1)求证：ACB=DCE ；(2)若BAD=45 ， ，过点 B 作 BGFC 于点 G，连接 DG依题意补全图形，并2+AF求四边形 ABGD 的面积解：(1)AB=AD，ABD= ADB，1 分ADB= CDE，ABD=CDE.BAC=90，ABD+ACB=90.CEAE，DCE+CDE=90.ACB= DCE. 2 分（2 ）补全图形,如图所示: 3 分BAD=45, BAC=90,BAE= CAE=45, F= ACF=45,AECF, BG CF,ADBG.BGCF, BAC=90，且ACB=DCE,AB=BG.AB=AD ，BG=AD.四边形 ABGD 是平行四边形.AB=A

16、D平行四边形 ABGD 是菱形.4 分设 AB=BG=GD=AD=x，BF= BG= x.AB+BF=x+2x=2+ .2x= ， 过点 B 作 BHAD 于 H.BH= AB=1.2S 四边形 ABDG=ADBH= . 5 分220 （ 2018 北京市朝阳区一模）如图，在菱形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，过点 O的线段 EF 与一组对边 AB， CD 分别相交于点 E，F (1) 求证：AE= CF；（2 ）若 AB=2，点 E 是 AB 中点，求 EF 的长 DHGBECAFDGBECAFOEAFDCB解（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AO=CO，AB CD . 1

17、 分EAO= FCO ，AEO= CFO .AOE COF . 2 分AE=CF . 3 分（2 ）解：E 是 AB 中点， BE=AE=CFBE CF，四边形 BEFC 是平行四边形. 4 分AB=2，EF=BC=AB=2 5 分21.（ 2018 北京市大兴区检测） 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，且DE=OC， CE=OD（1 ）求证：四边形 OCED 是菱形；（2 ）若BAC30，AC 4 ，求菱形 OCED 的面积（1 ）证明：DE=OC，CE=OD，四边形 OCED 是平行四边形 1 分矩形 ABCD，AC=BD，OC = AC，OD= BD.12OC =O

18、D.平行四边形 OCED 是菱形 2 分（2 ）解：在矩形 ABCD 中，ABC =90，BAC=30，AC4 ，BC =2.AB =DC= .3 分23连接 OE，交 CD 于点 F.四边形 OCED 为菱形，F 为 CD 中点 .O 为 BD 中点，OF= BC=1.12OE2OF2 4 分S 菱形 OCED OECD= 213 5 分322 （ 2018 北 京 丰 台 区 一 模 ） 已知：如图，菱形 ABCD，分别延长 AB，CB 到点 F，E，使得 BF = BA，BE = BC，连接 AE，EF，FC，CA（1）求证：四边形 AEFC 为矩形；（2）连接 DE 交 AB 于点 O

19、，如果 DEAB，AB = 4，求 DE 的长（1 ）证明：BF= BA，BE= BC，四边形 AEFC 为平行四边形. 1 分四边形 ABCD 为菱形，BA =BC.BE =BF. BA + BF = BC + BE，即 AF=EC.四边形 AEFC 为矩形. 2 分（2）解：连接 DB.由（1）知，ADEB ，且 AD=EB. 四边形 AEBD 为平行四边形DEAB，四边形 AEBD 为菱形. AE EB，AB 2AG，ED 2EG. 4 分矩形 ABCD 中，EB AB，AB=4， AG 2，AE 4.RtAEG 中，EG=2 . 3ED=4 . 5 分3（其他证法相应给分）23.（ 2

20、018 北京昌平区二模）如图，已知ACB 中，ACB=90，CE 是ACB 的中线，分别过点 A、点 C 作 CE 和 AB 的平行线，交于点 D（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；（2 ）若 CE=4，且DAE=60 ，求ACB 的面积答案(1)证明：AD/CE，CD/AE ABCEDFE FDCBAG四边形 AECD 为平行四边形 1 分ACB=90，CE 是ACB 的中线CE=AE 2 分四边形 ADCE 是菱形（2 ）解：CE=4，AE= CE=EB AB =8，AE=4 四边形 ADCE 是菱形,DAE=60CAE=30 3 分在 RtABC 中，ACB=90 ，CAB =30，

21、AB=8， 3cos2ACB14BAAC = 4 分4 5 分1832ABCS24.（ 2018 北京东城区二模）如图，在菱形 ABCD 中， ，点 E 在对角线 BD 上. BAD将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 ，得到 CF，连接 DF. （1 ）求证：BE =DF；（2 ）连接 AC， 若 EB=EC ，求证： . ACF答案 21 . (1) 证明：四边形 ABCD 是菱形， ， .=BCDABCD ，EF . .线段 由线段 绕点 顺时针旋转得到， .=在 和 中，BC DEF， ， . B SADECBA -2 分=.BEDF(2) 解：四边形 ABCD 是菱形， ， .AC A

22、CBD .+90 ， .=EB由（1）可知， ， F .+90DCAEBCA .90 . -5 分 25、 （ 2018 北京房山区二模） 已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AD =CD，E 是对角线 BD 上一点，且 EA=EC（1 ）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2 ）如果BDC=30，DE=2，EC =3，求 CD 的长解：（ 1）AD= CD,EA=EC,DE=DEADECDEADE=CDEADB CADB=DBCDBC=BDCBC=CDAD=BC又ADBC四边形 ABCD 是平行四边形2AD=CD四边形 ABCD 是菱形3（2）作 EFCD 于 FBDC=30，DE=2

23、EF=1,DF = 43CE=3CF=2 2CD=2 + 52 3A DCB E26.（ 2018 北 京 丰 台 区 二 模 ） 如图，BD 是ABC 的角平分线，过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，DF AB交 BC 于点 F（1）求证：四边形 BEDF 为菱形；（2）如果A = 90，C = 30 ， BD = 12，求菱形 BEDF 的面积答案 （1 ）证明：DE BC，DF AB ，四边形 BEDF 为平行四边形1 分1= 3.BD 是 ABC 的角平分线，1=2.2= 3. BF=DF.四边形 BEDF 为菱形.2 分（2）解：过点 D 作 DGBC 于点 G，则BGD =

24、90.A=90，C=30 ，ABC =60.由（1）知，BF=DF，2=30，DF AB ，DFG =ABC=60.BD=12，在 RtBDG 中，DG= 6.在 RtFDG 中，DF= . 4 分43BF= DF= . S 菱形 BEDF . 5 分2BFDG（其他证法相应给分）27.（ 2018 北 京 海 淀 区 二 模 ） 如图，在四边形 中， ， 交 于 ， 是ACBDAACGE的中点，连接 并延长，交 于点 ， 恰好是 的中点.BDAE（1 ）求 的值；G（2 ）若 ，求证：四边形 是矩形. CBCF答案 （1）解： ABCD， ABE=EDC. BEA=DEF， ABE FDE. .ABEDF E 是 BD 的中点， BE=DE. AB=DF. FDE CBAG321AB CEDFEGFAB CDEGFAB CD F 是 CD 的中点， CF=FD . CD=2AB. ABE=EDC，AGB=CGD， ABGCDG. . 12BGADC（2）证明： ABCF，AB=CF， 四边形 ABCF 是平行四边形. CE=BE ，BE= DE， CE=ED . CF=FD ， EF 垂直平分 CD. CFA=90. 四边形 是矩形. ABCF