2019年北京中考数学习题精选：探索型问题

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1、1 （2018 北京燕山地区一模）豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她 6天的数据记录（不完整）：日期 4 月 1日4 月 2 日 4 月 3日4 月 4 日 4 月 5日4 月 6日步行数(步) 10672 4927 5543 6648步行距离（公里） 68 31 34 43卡路里消耗（千卡）157 79 91 127燃烧脂肪（克） 20 10 12 16（1）4 月 5 日,4 月 6 日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格(2)豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论： （

2、写一条即可）公101520553030 4公6454公434公225 公公50 公412015104月 1日 6日 妈 妈 步 行 距 离 与 燃 烧 脂 肪 情 况 统 计 图公公（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到 250 千卡，预估她一天步行距离为_公里 （直接写出结果，精确到个位）解：（1）填数据 .2(2)写出一条结论: .4（3）预估她一天步行约为_公里 （直接写出结果，精确到个位）52 （2018 北京延庆区初三统一练习）如图 1，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上一点，连接 DE，过点 B 作 BFDE

3、于点 F，连接 FC（1）求证：FBC=CDF（2）作点 C 关于直线 DE 的对称点 G，连接 CG，FG依据题意补全图形；用等式表示线段 DF，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明备用图FDECBA FDECBA（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，DCB =90CDF+E =90BFDE ，FBC+ E =90FBC = CDF 2 分（2） 3 分猜想：数量关系为：BF=DF+ CG证明：在 BF 上取点 M 使得 BM=DF 连接 CM四边形 ABCD 是正方形，BC=DC FBC = CDF，BM =DF，BMCDFCCM=CF， 1=2MCF 是等腰直角三角形MCF =90，

4、4=45 5 分点 C 与点 G 关于直线 DE 对称，CF=GF，5= 6BFDE ，4=45， 5=45 ，图 1GFDECBACFG =90，CFG=MCF，CMGFCM=CF，CF= GF，CM=GF，四边形 CGFM 是平行四边形，CG=MFBF=DF+ CG 7 分3 （2018 北京燕山地区一模）已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是 x 0 的全体实数，下表是 y 与 x 的几组对应值x 3 2 11213 13 12 1 2 3y 256 32121585318 5518 178 32 m 69小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化

5、规律，对该函数的图象与性质进行了探究下面是小华的探究过程，请补充完整：(1)从表格中读出，当自变量是-2 时，函数值是 ；（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函数的图象； -4y xO2134234-23556-43-(3)在画出的函数图象上标出 x=2 时所对应的点，并写出 m= (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_ .解：(1)当自变量是-2 时，函数值是 321（2）如图,该函数的图象； (略) 3(3)标出 x=2 时所对应的点 4且 m= 5(4)写出该函数的性质(一条即可 )：_ 74 （2018 北京西城区九年

6、级统一测试）如图， 为 的直径 上的一个动点，点 在POABC上，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 已知 ，ABPCAQ5cm设 、 两点间的距离为 ， 、 两点间的距离为 3cmcmxyO QP CBA某同学根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行探究yx下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了 与 的几组值，如下表：xy(cm)x012.53.545y475.04.8.13.7（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：

7、当 时， 的长度均为_ 2AQPAcm解：（1） 3 分（2）如图 5x(cm) 0 1 1.8 2.5 3 3.5 4 5y (cm) 4.0 4.7 5.0 4.8 4.5 4.1 3.7 3.0 5 分（3）2.42 6 分5 （2018 北京西城区九年级统一测试）正方形 的边长为 ，将射线 绕点 顺时ABCD2AB针旋转 ，所得射线与线段 交于点 ，作 于点 ，点 与点 关于直线BDMENM对称，连接 CEN（1）如图 ，当 时，045依题意补全图 1用等式表示 与 之间的数量关系：_NCEBAM（2）当 时，探究 与 之间的数量关系并加以证明4590NCEBA（3）当 时，若边 的中

8、点为 ，直接写出线段 长的最大值DFEF图 5CDBA公1 公CDBA M解：（1）补全的图形如图 7 所示1分 NCE =2BAM2 分（2）当 4590时， 3=1802NCEBAM分证明：如图 8，连接 CM，设射线 AM 与 CD 的交点为 H 四边形 ABCD 为正方形， BAD= ADC= BCD=90，直线 BD 为正方形 ABCD 的对称轴，点 A 与点 C 关于直线 BD 对称 射线 AM 与线段 BD 交于点 M， BAM=BCM= 1=2= 90 CEAM， CEH=90，3+ 5=90又1+4=90 ，4=5， 1=3 3=2= 90 点 N 与点 M 关于直线 CE

9、对称， NCE=MCE= 2+3= 6 分1802BAM（3） 7 分216.（2018 北京通州区一模）答案：图 7 图87. （2018 北京市朝阳区综合练习（一）如图，在菱形 ABCD 中，DAB=60，点 E 为AB 边上一动点（与点 A， B 不重合），连接 CE，将ACE 的两边所在射线 CE，CA 以点 C 为中心，顺时针旋转 120，分别交射线 AD 于点 F，G.（1）依题意补全图形；（2）若ACE= ，求AFC 的大小（用含 的式子表示）；（3）用等式表示线段 AE、 AF 与 CG 之间的数量关系，并证明（1）补全的图形如图所示.1 分（2）解：由题意可知，ECF= AC

10、G= 120.FCG=ACE=.四边形 ABCD 是菱形，DAB=60 ，DAC=BAC= 30. 2 分AGC=30.AFC = +30. 3 分（3）用等式表示线段 AE、 AF 与 CG 之间的数量关系为 .CGAFE证明：作 CHAG 于点 H.由（2）可知BAC=DAC=AGC=30. CA=CG. 5 分HG = AG.21ACE =GCF，CAE =CGF，ACEGCF. 6 分AE =FG.在 Rt HCG 中， .23cosCGHCGHAG = CG. 7 分3即 AF+AE= CG.8. （2018 北京顺义区初三练习）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，

11、连接 AE，延长 CB 至点 F，使BF=BE，过点 F 作 FHAE 于点 H，射线 FH 分别交AB、 CD 于点 M、 N，交对角线 AC 于点 P，连接 AF（1）依题意补全图形；（2）求证：FAC =APF；（3）判断线段 FM 与 PN 的数量关系，并加以证明解：（1）补全图如图所示 1 分（2）证明正方形 ABCD，BAC= BCA=45，ABC =90，PAH=45-BAEFHAEAPF =45+BAEBF=BE，AF=AE，BAF =BAEFAC=45 +BAFFAC =APF 4 分（3）判断：FM=PN 5 分证明：过 B 作 BQMN 交 CD 于点 Q，MN=BQ，B

12、QAE正方形 ABCD，AB=BC，ABC= BCD=90BAE=CBQABE BCQAE=BQEDCBAMHPNFDACBEQMHPNFDACBEAE=MNFAC =APF，AF=FPAF=AE，AE=FPFP=MNFM=PN 8 分9 （2018 北京平谷区中考统一练习）在ABC 中，AB=AC，CDBC 于点 C，交ABC 的平分线于点 D，AE 平分BAC 交 BD 于点 E，过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F，连接DF（1）补全图 1；（2）如图 1，当BAC=90 时，求证：BE=DE；写出判断 DF 与 AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程） ；（3）如图 2，当BA

13、C= 时，直接写出 ，DF ，AE 的关系解：（1）补全图 1；1DFEABC（2）延长 AE，交 BC 于点 H 2AB=AC， AE 平分BAC，AHBC 于 H，BH=HCG DFEAHB CCDBC 于点 C，EHCDBE=DE 3延长 FE，交 AB 于点 G由 AB=AC，得ABC=ACB 由 EFBC，得AGF=AFG得 AG=AF由等腰三角形三线合一得 GE=EF 4由GEB=FED，可证BEG DEF可得ABE = FDE 5从而可证得 DFAB 6（3） 7tan2DFAE10 （2018 北京市大兴区检测）如图，在等腰直角ABC 中，CAB=90，F 是 AB 边上一点，

14、作射线 CF，过点 B 作 BGC F 于点 G，连接 AG（1）求证：ABG=ACF；（2）用等式表示线段 CG，AG，BG 之间的等量关系，并证明（1）证明 : CAB=90. BGCF 于点 G， BGF=CAB=90. GFB=CFA. 1 分 ABG=ACF. 2 分FEDBCA（2）CG= AG+BG. 3 分证明：在 CG 上截取 CH=BG，连接 AH， 4 分 ABC 是等腰直角三角形， CAB=90 ，AB=AC. ABG=ACH. ABGAC H. 5 分 AG =AH,GAB =HAC. GAH =90. .22AG GH= AG. 6 分 CG=C H+GH= AG+

15、BG. 7 分11. （ 2018 北京东城区一模）如图，在等腰ABC 中，AB=AC ,点 D,E 分别为 BC，AB 的中点，连接 AD.在线段 AD 上任取一点 P,连接 PB ,PE.若 BC =4,AD=6，设 PD=x（当点 P 与点 D 重合时，x 的值为0） ，PB+PE=y. 小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变换而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、计算，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）.（参考数据： ， ， ）21.431.725.36x 0 1 2 3 4 5

16、6y 5.2 4.2 4.6 5.9 7.6 9.5(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）函数 y 的最小值为_( 保留一位小数) ，此时点 P 在图 1 中的位置为 _.解：（1）4.5 . -2 分（2）-4 分(3) 4.2，点 P 是 AD 与 CE 的交点. -6 分12. （2018 北京东城区一模）已知ABC 中，AD 是 BAC的平分线，且 AD=AB， 过点 C 作 AD 的垂线，交 AD的延长线于点 H（1）如图 1，若 60BAC直接写出 和 的度数；若 AB=2，求 AC 和 AH 的长；（2）如图 2，用等式表示线

17、段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系，并证明解（1） ， ；-2 分75B45AC作 DEAC 交 AC 于点 E.RtADE 中，由 ，AD=2 可得 DE=1，AE .30D3RtCDE 中，由 ，DE=1，可得 EC=1.45ACAC . 31RtACH 中，由 ，可得 AH ； -4 分30DAC32（2）线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC证明： 延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 中点 G，连接GH.易证ACH AFH. , .ACFH .GB ，D .A .GH . . -7 分22ABCAFBABGAH13.（2018 北京房山区一模） 如

18、图，Rt ABC，C=90，CA=CB=4 cm，点 P 为 AB 边2上的一个动点，点 E 是 CA 边的中点, 连接 PE，设 A， P 两点间的距离为 xcm，P，E两点间的距离为 y cm.小安根据学习函数的经验，对函数 y随自变量 x的变化而变化的规律进行了探究PAE BC下面是小安的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x与 y的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8y/cm 2.8 2.2 2.0 2.2 2.8 3.6 5.4 6.3（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点

19、，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：写出该函数的一条性质： ；当 时， AP的长度约为 cm.2PE解: （1） 4.5 ; 2 分（2）y x123456782345678910O4 分（3）该函数有最小值或最大值；或当 x2 时，y 随 x 的增大而增大.5 分【注：答案不唯一】当 时， AP的长度约为 1.1 cm.6 分2PE14. （2018 北京房山区一模）如图，已知 RtABC 中，C=90，BAC=30，点 D 为边BC 上的点，连接 AD，BAD=，点 D 关于 AB 的对称点为 E，点 E 关于 AC 的对称点为 G，线段 EG 交 AB 于点 F，连接

20、 AE，DE ，DG ， AG.（1）依题意补全图形；（2）求AGE 的度数（用含 的式子表示） ；（3）用等式表示线段 EG 与 EF，AF 之间的数量关系，并说明理由.解（1） ABCDEF G1 分（2）由轴对称性可知，AB 为 ED 的垂直平分线，AC 为 EG 的垂直平分线.AE=AG= AD. AEG=AGE ，BAE=BAD=DCBAEAC=BAC+BAE=30+EAG=2EAC=60+2AGE= =60 3 分12(180 EAG)或：AGE=AEG =90EAC=90（BAC+EAB）=90（ 30+）=603 分（3）EG=2 EF+AF4分法 1：设 AC 交 EG 于点

21、 HBAC=30，AHF=90FH= 5 分12AFEH=EF+FH=EF+ 6 分12AF又点 E，G 关于 AC 对称EG=2EHEG=2(EF+ )=2EF+AF7 分12AF法 2：在 FG 上截取 NG=EF，连接 AN.又AE=AG，AEG=AGEAEFAGN AF=ANEAF= ，AEG=60AFN=606 分AFN 为等边三角形AF=FNEG=EF+FN+ NG=2EF+AF7 分15. （2018 北京房山区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，当图形 W 上的点 P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 P 为图形 W 的“梦之点”.（1）已知O 的半径为 1. 在点 E（1,1）

22、 ，F（ , ）,M( 2， 2)中，O 的“梦之点”为 22 22；若点 P 位于O 内部，且为双曲线 （k0）的“梦之点 ”，求 k 的取值范围.yx（2）已知点 C 的坐标为（1， t） ，C 的半径为 ，若在C 上存在“梦之点”P，直接写2出 t 的取值范围.（3）若二次函数 的图象上存在两个“梦之点” ， ,且21yax1Ax,y2By，求二次函数图象的顶点坐标. 12x解（1） F ; 1 分 O 的半径为 1.O 的“梦之点”坐标为（ , ）和（ , ）.2 分 22 22 22 22又双曲线 （k0 ）与直线 y=x 的交点均为双曲线的 “梦之点” ，yx将（ , ）代入双曲线

23、表达式中，得， 22 223 分1=kxy点 P 位于O 内部. 4 分102k （2） 1t36 分（3）由“梦之点” 定义可得: ， .1Ax,2Bx,则 . 2xa整理得， 210x解得， ， .1x2a把两个根代入 中，即1212a解得， ， .1a23当 时， ，其顶点坐标为（ ）7 分21yx12 54当 时， ，其顶点坐标为（ ）8 分13a2312 111216 （ 2018 北 京 丰 台 区 一 模 ） 如图，RtABC 中，ACB = 90，点 D 为 AB 边上的动点（点 D 不与点 A，点 B 重合） ，过点 D 作 EDCD交直线 AC 于点 E已知A = 30，A

24、B = 4cm，在点 D 由点 A 到点 B 运动的过程中，设 AD = xcm，AE = ycm. A BCED小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm 121 322 53 72y/cm 0.4 0.8 1.0 1.0 0 4.0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在下面的平面直角坐标系 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的xOy点，画出该函数的图象；Oyx43211234（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AE = AD 时

25、，AD 的长度约为 12cm 解：（1）1.2； 2 分（2）如右图； 4 分（3）2.4 或 3.3 6 分17 （ 2018 北 京 丰 台 区 一 模 ） 如图，RtABC 中，ACB = 90，CA = CB，过点 C 在ABC 外作射线 CE，且BCE = ，点 B 关于 CE 的对称点为点 D，连接AD，BD ，CD，其中 AD， BD 分别交射线 CE 于点 M， N.（1）依题意补全图形；（2）当 = 30时，直接写出 CMA 的度数；（3）当 0 45时，用等式表示线段 AM，CN 之间的数量关系，并证明解：（1）如图； 1 分（2）45； 2 分（3）结论：AM= CN 3

26、 分2证明：作 AGEC 的延长线于点 G点 B 与点 D 关于 CE 对称，CE 是 BD 的垂直平分线CB=CD A BC E87654321GNMDAC EB1=2= CA=CB，CA= CD3=CAD4=90，3= 12（180 ACD）= 12（180 90 ）=455=2+3= +45-=455 分4=90，CE 是 BD 的垂直平分线，1+7=90，1+6=906=7 AGEC，G=90= 8 在BCN 和 CAG 中，8=G，7=6， BC=CA，BCN CAG CN=AG RtAMG 中，G=90 ，5=45，AM= AG 2AM= CN 7 分（其他证法相应给分.）18 （

27、2018 北京海淀区第二学期练习）某校九年级八个班共有 280 名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.收集数据调查小组计划选取 40 名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是_（填字母） ；A抽取九年级 1 班、2 班各 20 名学生的体质健康测试成绩组成样本 B抽取各班体育成绩较好的学生共 40 名学生的体质健康测试成绩组成样本 C从年级中按学号随机选取男女生各 20 名学生学生的体质健康测试成绩组成样本 整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了 40 名学生的体质健康测试成绩如下：77 83 80 64

28、 86 90 75 92 83 8185 86 88 62 65 86 97 96 82 7386 84 89 86 92 73 57 77 87 8291 81 86 71 53 72 90 76 68 78整理数据，如下表所示：2018 年九年级部分学生学生的体质健康测试成绩统计表50x605x6705x7805x8905x9101 1 2 2 4 5 5 2分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，公/公2017九九九九九九01086421095085075065050你能从中得到的结论是_，你的理由是_.体育老师计划根据 20

29、18 年的统计数据安排 75 分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有_名同学参加此项目.解C 1分 805x890x8 102 分（2）去年的体质健康测试成绩比今年好 （答案不唯一，合理即可） 3 分去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大 （答案不唯一，合理即可）（3）70 6 分19 （2018 北京海淀区第二学期练习）如图，已知 ，点 为射线 上的一60AOBPOA个动点，过点 作 ，交 于点 ，点 在 内，且满足PEOBED， .DA6（1）当 时，求 的长；D（2）在点 的运动过程中，请判断是否存在一个定点PBAOEDP，使 得 的值不变？并证明你的判断. MDE.解：（1）作 交 于 .PFDEF ， ，BO60A .3 .0DPAE . 1 分12 , ,6 , .30PDE3PE .cos2F . 3 分23DE（2）当 点在射线 上且满足 时，MOA2M的值不变，始终为 1.理由如下：E4 分当点 与点 不重合时，延长 到 使得 .PMEPKPDFDEOBAP