2019年北京中考数学习题精选：相似、位似及其应用

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1、一、选择题1、 （2018 北京朝阳区第一学期期末检测）小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理. 小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长 100cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊起来，在中点的左侧距离中点 25cm 处挂了一个重 1.6N 的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点 20cm 时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是(A) 1.28N (B) 1.6N (C) 2N (D) 2.5N答案：C2、 （2018 北京朝阳区第一学期期末检测）如图，ABCABC，AD 和 AD分别是ABC 和A

2、BC的高，若 AD2，AD3 ，则ABC 与ABC的面积的比为(A) 4：9 (B) 9：4 (C) 2：3 (D) 3：2 答案：A3.（2018 北京大兴第一学期期末）为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点 A，再在他所在的这一侧选点 B，C ，D，使得ABBC，CDBC，然后找出 AD 与 BC 的交点 E. 如图所示，若测得 BE=90m，EC=45m，CD=6 0m，则这条河的宽 AB 等于A120m B67.5mC40m D30m答案：A4.（2018 北京东城第一学期期末）DEF 和ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点D， E， F 分别是 OA,OB,OC 的中点，

3、若DEF 的面积是 2，则ABC 的面积是A B24C D68答案：D5.（2018 北京房山区第一学期检测）如图，在ABC 中，M，N 分别为 AC，BC 的中点若 SCMN=1，则 SABC 为_A2 B 3 C4 D5ODADB CAB C答案：C6.（2018 北京房山区第一学期检测）如图，在ABC 中， ，若 AD=2,BD=3,则BACDAC 长为_A B C D102366答案：A7.（2018 北京丰台区第一学期期末）如果 ( ） ，那么下列比例式中正确的是32ab0AB C D32ab2ba332ab答案：C8、018 北京丰台区第一学期期末） “黄金分割”是一条举世公认的美

4、学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置A B C D答案：B9、 （2018 北京丰台区第一学期期末）如 图 所 示 ， 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1， 则 下 列 选 项 中 阴 影部 分 的 三 角 形 与 ABC 相 似 的 是A B C D答案：A10.（2018 年北京海淀区第一学期期末）如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DEBC若 AB4，AD 2，DE 1.5，则 BC 的长为A1 B2C3 D4ABC答案：C11.

5、（2018 年北京海淀区第一学期期末）如图，OABOCD， OA:OC 3:2，A ， C ，OAB 与OCD 的面积分别是 和 ，1S2OAB 与OCD 的周长分别是 和 ，则下列等式一定成立的是12A B32OBCD32C D12S12C答案：D12.（ 2018 北 京 丰 台 区 二 模 ） 如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图. 等腰直角三角板的斜边 BD 与地面 AF 平行，当小明的视线恰好沿 BC 经过旗杆顶部点 E时，测量出此时他所在的位置点 A 与旗杆底部点 F 的距离为 米 . 10如果小明的眼睛距离地面 1.7 米，那么旗杆 EF 的高度为（A） 米 （B）

6、米101.7（C） 米 （D） 米2(52)答案:B13.（2018 北京怀柔区第一学期期末）如图，在ABC 中，点 D， E 分别为边 AB,AC 上的点，且 DEBC，若 AD=4，BD=8，AE=2，则 CE 的长为 A2 B4 C6 D8答案：B14.（2018 北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如果 ，那么 的结果是23ababDOA BCFABCDEAB C D12131312答案：B15.（2018 北京密云区初三（上）期末）如图， 中，D、E 分别是 AB、AC 上点，ABDE/BC，AD=2，DB=1，AE=3，则 EC 长A. B. 1 23C. D. 6答案：C16.（2

7、018 北京密云区初三（上）期末）如图， 中， ，AB=4，AC= 6，将ABC70沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是ABCBA32AC327070 B CBACCA BB AA B C D答案：D17.（2018 北京平谷区第一学期期末）已知 ，则 的值是12abb（A） （B） （C） （D） 32答案：A18.（2018 北京平谷区第一学期期末）如图，ADBECF，直线 与这三条平行线分别12l,交于点 A,B,C 和 D,E,F已知 AB=1，BC=3，DE =2，则 EF 的长是（A）4 （B）5 （C）6 （D）8答案：CED CBA19.（2018 北京平谷

8、区第一学期期末）如图，RtABC 中，C=90，A=30，CDAB 于 D，则CBD 与 ABC 的周长比是（A） （B） （C） （D） 323142答案：D20.（2018 北京石景山区第一学期期末）如果 ( )，那么下列比例式中正确的yx430是（A） 43yx（B） yx43（C） 43（D） 34yx答案： D21.（2018 北京顺义区初三上学期期末）右图是百度地图中截取的一部分，图中比例尺为 1：60000，则卧龙公园到顺义地铁站的实际距离约为（注：比例尺等于图上距离与实际距离的比）A1.5 公里 B1.8 公里 C15 公里 D18 公里答案：B22.（2018 北京顺义区初三

9、上学期期末）已知ABC，D，E 分别在 AB，AC 边上，且DEBC，AD =2，DB=3，ADE 面积是 4，则四边形 DBCE 的面积是A6 B9 C21 D25答案：C23.（2018 北京通州区第一学期期末）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2 的竹m竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时，竹竿与这一点距离相距 6 ，与树相距 15 ，那么这棵树的高度为（ ）. mA B C D m5m7m5.7m21答案：B24.（2018 北京西城区第一学期期末）如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，如果添加一个条件后可以得到ABPACB，那么以下添加的

10、条件中，不正确的是（ ）AABP =C BAPB=ABCC D2BPAC答案：D25 （2018 北京市东城区初二期末）如图，已知等腰三角形 ，若以点 为ABC， B圆心， 长为半径画弧，交腰 于点 ，则下列结论一定正确的是BACEAAE=EC BAE=BE CEBC=BAC DEBC=ABE解：C26.（2018 北京西城区二模） 中国古代在利用“计里画方” （比例缩放和直角坐 标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、 水准仪和照板来测量距离在如图所示的测量距离 AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF. 观测者的眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确

11、的是A B EFBEFAC D C答案：B二、填空题27.（2018 北京昌平区二模）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜 子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为 2.0 米，树的底部与平面镜的水平距离为 8.0 米，若小文的眼睛与地面的距离为 1.6 米，则树的高度约为_米（注：反射角等于入射角）.答案：6.428 （2018 北京平谷区中考统一练习）如图，测量 小玻璃管口径的量具 ABC 上，AB 的长为 10 毫米，AC 被分为

12、60 等份，如果小管口中 DE 正好对着 量具上 20 份处（DEAB ） ，那么小管口径 DE 的长 是_毫米答案 10329 （2018 北京西城区九年级统一测试）如图，在 中， ，ABCDEAB分别与 ， 交于 ， 两点DEACBDE E DCBA若 ， ，则 _49DECABS 3DC答案：230 （2018 北京延庆区初三统一练习）如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，DEBC，若 AD1，BD3，则 的值为 DEBC答案：1：4 31.（ 2018 北 京 海 淀 区 二 模 ） 如图，四边形 与四边形 是以 为位似中心的位似A1ABCDO图形，满足 ， ， ，

13、分别是 ，1=OAEF， 1， 的中点，则 1D1BC1答案：1232 （2018 北京石景山 区初三毕业考试）如图，在 中， ， 分别是 ， 边ABCDEABC上的点， 若 ， ，DEBC6A2D，则 3答案：433. （2018 北京市朝阳区综合练习（一） ）如图，AB CD，AB= CD，S ABO ：S CDO = 21DEABCBA CDE F1E1 FECBDAOABC答案 1:4 34 （ 2018 北 京 丰 台 区 一 模 ） 在某一时刻，测得身高为 1.8m 的小明的影长为 3m，同时测得一建筑物的影长为 10m，那么这个建筑物的高度为 m答案 635. （ 2018 北京

14、怀柔区一模）如图,在四边形 ABCD 中，ABCD，AC、BD 相交于点 E，若 ，则 _.41CDABE答案 5136 （2018 北京门头沟区初三综合练习）如图，两个三角形相似， ,2,3,1ADEC则 BD=_.答案 437.（2018 北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在平面直角坐标系中，COD 可以看作是AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB 得到COD 的过程： .答案：答案不唯一，如：以原点 O 为位似中心，位似比为 ，在原点 O 同侧将AOB 缩21小，再将得到的三角形沿 y 轴翻折得到COD . 38.（2018 北京大兴第一学期期末

15、）若ABCDEF，且 BCEF= 23，则ABC 与DEF 的面积比等于_D CBAE第 12 题图 ABCED231y xDCBA7654321-76-5-3 9765434 8O答案： 4939.（2018 北京东城第一学期期末）某校九年级的 4 位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度. 为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高 1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）. 经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边 AB,OA 的长分别为 0.7m,0.3m，观测点 O 到旗杆的距离 OE 为 6 m，则旗杆 MN 的高度为 m . 答案：15

16、 40.（2018 北京房山区第一学期检测）如图 1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积 11 平方公里. 为估算西沙河某段的宽度，如图 2，在河岸边选定一个目标点 A，在对岸取点 B，C，D，使得 ABBC ，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E， D 在同一条直线上，若测得 BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度 AB等于 m.图 1 图 2答案：641.（2018 北京丰台区第一学期期末）如图 1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图 1 抽象为图 2，其中线段 AB 为蜡烛的火焰，线段 A B 为其倒立的像. 如果蜡烛火焰 AB

17、 的高度为 2cm，倒立的像 A B 的高度为 5cm，点 O 到 AB 的距离为4cm，那么点 O 到 A B 的距离为 cm.答案： 10EBACD42.（2018 年北京海淀区第一学期期末）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶设小张距大巴车尾 x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线 3.2m，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 交 交 交 0.8mx m3.2m 10m20m答案：1043.

18、（2018 北京怀柔区第一学期期末）若ABCDEF，且对应边 BC 与 EF 的比为13，则ABC 与D EF 的面积比等于 .答案：1:944.（2018 北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如图，在ABC 中， DE 分别与 AB、AC相交于点 D、E，且 DEBC ，如果 ，那么 _.23ADBEC答案： 2545.（2018 北京密云区初三（上）期末） ，则 =_.12xyy答案： 3246.（2018 北京密云区初三（上）期末）在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出

19、现了蜡烛火焰倒立的像 ，这种现象就是小孔成像（如图 1）. 如图 2，如果火焰 AB 的高度是 2cm，倒立的像的高度为 5cm，/AB蜡烛火焰根 B 到小孔 O 的距离为 4cm，则火焰根的像 到 O 的距离/B是_cm.答案：10 47.（2018 北京石景山区第一学期期末）如果两个相似三角形的周长比为 ，那么这两个3:2相似三角形的面积比为_答案： 9:448.（2018 北京石景山区第一学期期末）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC上若ADE=C，AB=6， AC=4，AD =2，则 EC=_答案：1 49.（2018 北京顺义区初三上学期期末）如图标记了 ABC 与D

20、EF 边、角的一些数据，如果再添加一个条件使ABCDEF，那么这个条件可以是 （只填一个即可）答案：略 50.（2018 北京通州区第一学期期末）如图，点 为 的 边上一点， ，DABC 2AD.若 ，则3DBACD._答案： 51.（2018 北京西城区第一学期期末）如图，在ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，DEBC，如果 ，AC=10，那么 EC= .23DBA答案：4三、解答题52.（2018 北京朝阳区第一学期期末检测）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似” ，以下是具体过程.已知：如图，在ABC 和A

21、BC中，A=A ，B=B. 求证：ABCAB C.证明：在线段 AB上截取 AD=AB，过点 D 作 DE BC，交 AC于点 E.由此得到ADEABC.A DE=B.B=B，A DE = B.A=A，A DEABC.ABCABC.小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作A DE 与 ；（2） 然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作A DE 与 ；（3）最后，可证得ABCAB C .答案：17解：（1）平行于三角形一边的直 线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 2 分ABC 相似；4分（2）ABC 全等. 5 分53

22、.（2018 北京朝阳区第一学期期末检测）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 CD 中点，CAB EB CADFDBAP点 P 在射线 AB 上，过点 P 作线段 AE 的垂线段，垂足为 F.（1）求证：PAFAED；（2）连接 PE， 若存在点 P 使PEF 与AED 相似，直接写出PA 的长 答案：23. （1）证明：在正方形 ABCD 中，D= 90，CDAB，DEA= PAE 1分PFAE，D=AFP. 2分PAF AED. 3分（2）1 或. 55 分54.（2018 北京大兴第一学期期末）已知：如图，在ABC 中，D ，E 分别为 AB、 AC 边上的点，且 ，连接 DE

23、. 若 AC4，AB 5. AED53求证：ADE ACB.证明： AC=3，AB=5， ，35ADE 3 分CB A = A ， 4 分 ADE ACB 5 分55.（2018 北京东城第一学期期末）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，点 E在 AB 上，DEC=90.（1）求证：ADEBEC.（2）若 AD=1，BC=3 ，AE =2, 求 AB 的长.答案：19.（1）证明： ABBC， B=90ADBC，A=901+3=90DEC=90 1+2=903=2ADEBEC. -3 分（2）解：由（1）可得， ,ADEBCAD=1，BC=3 ，AE =2, .5BE . -5

24、分3A56.（2018 北京房山区第一学期检测）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，A=BDC（1）求证：ABDDCB（2）若 AB=12，AD=8，CD=15，求 DB 的长答案：57、 （2018 北京丰台区第一学期期末）如图，ABC 中，DEBC，如果 AD = 2，DB = 3，AE = 4，求 AC 的长.答案：18. 解：DEBC， .2 分ADEBC即 243EC64 分ACAE + EC10 5 分其他证法相应给分.58、 （2018 年北京海淀区第一学期期末）如图，在ABC 中，B 90，AB 4，BC 2，以 AC 为边作ACE，ACE 90，AC=CE，延长 BC 至

25、点 D，使 CD 5，连接 DE求证：ABCCED证明： B=90 ，AB =4， BC=2， .25ACB CE=AC， .5E CD=5， . 3 分ABCD B=90 ， ACE=90， BAC+ BCA=90，BCA +DCE=90. BAC= DCE. ABCCED . 5 分59、 （2018 北京怀柔区第一学期期末）如图，在ABC 中， D 为 AC 边上一点，BC4，AC8，CD=2 求证： BCD ACB.证明： BC 4，AC8，CD=2.1 分D CBAEEB C DAEB C DADBCA第 18 题图 3 分BCDA又 C=C 4 分 BCDACB5 分60、 （20

26、18 北京门头沟区第一学期期末调研试卷）18. 如图，在ABC 中，AB=AC，BD= CD，CEAB 于 E求证：ABDCBE .证明： AB=AC，BD=CD , 2 分 ADBCCEAB4 分 90E5 分 61.（2018 北京密云区初三（上）期末）如图，BO 是 的角平分线，延长 BO 至 D 使ABC得 BC=CD.（1）求证： .AOBCD:（2）若 AB=2，BC=4，OA=1，求 OC 长.答案：（1）证明：BO 是 的角平分线ABC1 分OBC=CDD2 分又 .3 分ABCO DCBA（2）解： AOBCD4 分又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CDOC=2 .5

27、分62.（2018 北京平谷区第一学期期末）如图，ABC=BCD=90，A =45，D=30 ，BC=1，AC，BD 交于点 O求 的值B答案：19解：ABC= BCD=90，ABCD 1A=ACD .2ABOCDO 3 4BOCD在 RtABC 中，ABC=90，A=45，BC=1，AB=1在 RtBCD 中，BCD =90，D =30，BC =1，CD= 3 51BOC63.（2018 北京平谷区第一学期期末 ）如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 O 作 EOBD，交 BA 延长线于点 E，交 AD 于点 F，若 EF=OF，CBD=30，BD =求 AF 的长6

28、3解：方法一： ABCD，ADBC，OD= BD= .1123ODABCCBD=30 ，ADB=30EOBD 于 O，DOF =90在 Rt ODF 中，tan30= ，3FDOF=3 2FD=6过 O 作 OGAB，交 AD 于点 G AEF GOF AFEGEF=OF，AF=GFO 是 BD 中点，G 是 AD 中点 .3设 AF=GF=x，则 AD=6+xAG= .462x解得 x=2AF=2 .5方法二：延长 EF 交 BC 于 H由ODF OHB 可知，OH=OF .3ADBC，EAF EBH EFAHB EF=OF， 413由方法一的方法，可求 BH=6 AF=264.（2018

29、北京石景山区第一学期期末）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，CEAD 于点E，DFBA 交 BA 的延长线于点 F（1）求证：ADFDCE；（2）当 AF=2，AD=6，且点 E 恰为 AD 中点时，求 AB 的长GFEOABCDHFEOABCDFED CBA答案： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，DAF = CDE， 1 分 DF BA，CEAD ，F= CED=90， 2 分ADFDCE； 3 分（2）解：ADFDCE， DEAC ，326DC=9四边形 ABCD 是平行四边形，AB=DCAB=95 分65.（2018 北京顺义区初三上学期期末） 如图，E 是 A

30、BCD 的边 BC 延长线上一点，AE交 CD 于点 F，FGAD 交 AB 于点 G （1）填空：图中与CEF 相似 的三角形有 ；（写出图中与CEF 相似的所有三角形）（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与CEF 相似 答案：（1）ADF ，EBA，FGA ； .3 分（每个一分）（2）证明：ADF ECF四边形 ABCD 为平行四边形BEAD .4 分1=E，2=DADF ECF.5 分（其它证明过程酌情给分）66.（2018 北京顺义区初三上学期期末） 已知：如图，在 ABC 的中，AD 是角平分线，E是 AD 上一点，且 AB ：AC = AE ：AD求证：BE=BD 证明： AD 是角平分线，1=2， .1 分又AB AD = AE AC， .2 分ABE ACD ， .3 分3=4， .4 分 BED=BDE，BE=BD 5 分67.（2018 北京西城区第一学期期末）如图，ABCD，AC 与 BD 的交点为E，ABE= ACB（1）求证：ABEACB ；（2）如果 AB=6，AE= 4，求 AC，CD 的长答案：