2019年北京中考数学习题精选：与圆的有关计算

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1、 一、选择题1 （ 2018 北京市朝阳区一模）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，以 BC 为直径的半圆与对角线 AC 相交于点 E，则图中阴影部分的面积为（A） （B）41254123（C ） （D） 5答案 D2 （ 2018 北京东城区一模）如图， 是等边ABC 的外接圆，其半径为 3. 图中阴影部OA分的面积是A B C D3223答案 D3、 （ 2018 北京朝阳区第一学期期末检测） 如图，在ABC 中，BAC=90，AB= AC=4，以点 C 为中心，把ABC 逆时针旋转 45，得到ABC，则图中阴影部分的面积为(A) 2 (B) 2 (C) 4 (D) 4答案：B4 （20

2、18 北京大兴第一学期期末）-在半径为 12cm 的圆中，长为 cm 的弧所对的圆心角4的度数为A. B. C. D. 106090120答案：B5.（2018 北京东城第一学期期末）A，B 是 上的两点， OA=1， 的长是 ，则OAAB3AOB 的度数是A30 B 60 C90 D120 答案：B6.（2018 北京通州区第一学期期末）已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120，则这个扇形的弧长是（ ）A B C D 6332答案：DABBCA7.（2018 北京西城区第一学期期末）圆心角为 ，且半径为 12 的扇形的面积等于（ 60）.A. B. C. D.482442答案：B8.（20

3、18 北京朝阳区二模）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC3，F 是 AB 中点，以点 A为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点 E，以点 B 为圆心，BF 为半径作弧交 BC 于点 G，则图中阴影部分面积的差 S1-S2为（A） 413（B） 92（C） 6（D）6 答案:A二 、 填 空 题9.（ 2018 北 京 海 淀 区 二 模 ） 如图， 是 的直径， 是 上一点，ABOC， ，则图中阴影部分的面积为 6OA30B答案： 10.（2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，O 的半径为 3，正六边形 ABCDEF 内接于O，则劣弧 AB 的长为 答案：11 （2018 北京大

4、兴第一学期期末）圆心角为 160的扇形的半径为 9cm，则这个扇形的面积是 cm2答案：36 . 12.（2018 北京房山区第一学期检测）如图， “吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形若开口1=60，半径为 ，则这个“吃豆小人” （阴影图形）的面积为 6OFEDCBA1OC BA答案：513.（2018 北京丰台区第一学期期末）半径为 2 的圆中，60的圆心角所对的弧的弧长为 .答案： 2314.（2018 年北京海淀区第一学期期末）若一个扇形的圆心角为 60，面积为 6，则这个扇形的半径为 答案：615.（ 2018 北京怀柔区第一学期期末）在学校的花园里有一如图所示的花坛，

5、它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为 1 米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米 2.答案：16.（2018 北京密云区初三（上）期末）扇形半径为 3cm，弧长为 cm，则扇形圆心角的度数为_.答案： 6017.（ 2018 北京平谷区第一学期期末）圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形的弧长是 cm（结果不取近似值） 答案：418.（ 2018 北京石景山区第一学期期末）如图，扇形的圆心角 ，半径为60AOB3cm若点 C、 D 是 弧 AB 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是 _cm2答案： 219.（2018

6、北京西城区二模）如图，等边三角形 ABC 内接于O，若O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积等于 答案： 43三、解答题20.（2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，AB 为O 的直径，C 、 F 为O 上两点，且点 C 为弧 BF 的中点，过点 C 作 AF 的垂线，交 AF 的延长线于点 E，交 AB的延长线于点 D（1）求证：DE 是O 的切线；（2）如果半径的长为 3，tanD= ，求 AE 的长. 4答案：（1）证明：连接 ，OC点 C 为弧 BF 的中点，弧 BC=弧 CF 1 分 BAF ， O 2 分CAEDE ， 90AE OCDEDE 是O 的切线 3 分（2）

7、解：tanD= = ，OC =3，CD34CD=4 4 分OD= =52AD= OD+ AO= 8 5 分OFEBCD AOFEBCD AsinD= = = ，OCDAE35AE= 6 分2421.（ 2018 北京顺义区初三上学期期末）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度” ，再备料下图是一段管道，其中直管道部分 AB 的长为 3 000mm，弯形管道部分BC，CD 弧的半径都是 1 000mm，O =O =90， 计算图中中心虚线的长度 答案：20 .3分901508nrl中心虚线的长度为 4分323015分=301.4=6122 （ 2018 北京燕山地区一模）如图，在ABC

8、中, AB=AC,AE 是 BC 边上的高线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M，经过 B， M 两点的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F ，FB 为O的直径 （1 ）求证：AM 是O 的切线 （2 ）当 BE=3，cosC= 时，求O 的半径52解： (1)连结 OM. EOMGFABCBM 平分ABC1 = 2 又 OM=OB2 = 3 OM BC 2AE 是 BC 边上的高线AEBC,AMOMAM 是O 的切线3 （2 ） AB=ACABC = C AEBC,E 是 BC 中点 EC=BE=3cosC= =5ACEAC= EC= 4 21OM BC，AOM =ABEAOMABE

9、 BOEM又ABC = C AOM =C在 RtAOM 中 cosAOM = cosC= 5252AMAO= 25AB= +OB=OM7而 AB= AC= 1 =275OM=O 的半径是 67123.（ 2018 北京通州区一模）321OMGFABC答案24 （2018 北京延庆区初三统一练习）如图， 是O 的直径，ABD 是O 上一点，点 是 的EAD中点，过点 作O 的切线交 的延长线于点 F连接AE并延长交 于点 BFC（1）求证： ； （2）如果 AB=5， ，求 的长1tan2AFC证明：（1）连接 BEAB 是直径，AEB=90CBE +ECB=90EBA+ EAB=90点 是 的

10、中点，EADCBE =EBA ECB =EAB 1 分AB =BC 2 分（2 ） FA 作O 的切线，FAAB FAC+EAB=90EBA+EAB=90，FAC=EBA AB=5，1tan2FAC 4 分5EB过 C 点作 CHAF 于点 H，AB =BC AEB=90，AC=2AE=2 ，1tanFACH=2 5 分CHAB AB=BC=5， FC= 6 分25CF310OFEDCBAHA BCDEFOA BCDEFO25 （2018 北京西城区九年级统一测试）如图， 的半径为 ， 内接于 ，OrABCO， ， 为 延长线上一点， 与 相切，切点为 15BAC30BDCBD（1）求点 到半

11、径 的距离（用含 的式子表示） Or（2）作 于点 ，求 的度数及 的值DHAHA OBCD解：（1）如图 4，作 BEOC 于点 E 在O 的内接ABC 中，BAC=15， =230A在 Rt BOE 中，OEB=90，BOE=30 ，OB=r ， BrE 点 B 到半径 OC 的距离为 2 分2r（2）如图 4，连接 OA由 BEOC，DHOC，可得 BEDH AD 与 O 相切，切点为 A， ADOA 3 分 90AD DHOC 于点 H， 在OBC 中，OB=OC，BOC= 30， 180752BOCC ACB=30， 4A OA=OC， 5 180290OCA 四边形 AOHD 为矩

12、形，ADH=90 4分 DH=AO=r图 4 ，2rBE DH BEDH， CBECDH 512CBE分26 （2018 北京平谷区中考 统一练习）如图，以 AB 为直径作O，过点 A 作O 的切线AC，连结 BC，交O 于点 D，点 E 是 BC 边的中点，连结 AE（1）求证：AEB=2 C；（2）若 AB=6， ，求 DE 的长 3cos5BDEOACB（1）证明：AC 是O 的切线，BAC=90 1点 E 是 BC 边的中点，AE=ECC= EAC， 2AEB= C+EAC ，AEB=2C 3（2）解：连结 ADAB 为直径作O ，ABD=90AB= 6， ，3cos5BBD= 418

13、在 RtABC 中，AB=6， ，csBC=10 点 E 是 BC 边的中点，BE=5 5 DEOACB 675DE27 （ 2018 北京顺义区初三练习）如图，等腰ABC 是 O的内接三角形，AB=AC ，过点 A 作 BC 的平行线 AD 交BO 的延长线于点 D（1 ）求证：AD 是O 的切线；（2 ）若O 的半径为 15，sinD ，求 AB 的长35（1 ） 证明：连接 AO，并延长交O 于点 E，交 BC 于点 FAB =AC， ABCAEBCADBC，AEADAD 是O 的切线 2 分（2 ）解法 1：ADBC， D =1 sinD= ， sin 1= 3535AEBC， = F

14、OBO 的半径 OB=15，OF=9，BF =12AF=24AB = 5 分1253解法 2：过 B 作 BHDA 交 DA 延长线于 HAEAD ， sinD = ，5 = OAO 的半径 OA=15，OD=25，AD=20BD=40BH=24，DH=32AH=12AB = 5 分125DAOBC1EFDCOABHEFDCOAB28.（ 2018 北京石景山区初三毕业考试）如图， 是 的直径， 是弦，点 是弦ABOBED上一点，连接 并延长交 于点 ，连接 ，过点 作 交 的BEODCFOC切线 于点 F（1 ）求证： ；12CF（2 ）若 的半径是 ，点 是 中点， ，求线段 的长315B

15、EE（1）证明：连接 交 于点 ，OEDFH 是 的切线， 是 的半径，OE . .190 ，C .32 ， . 1 分F ，132CBE . 2 分（2）解： ，15 .3230FCBE 的半径是 ，点 是 中点，ODO .D在 中， ，RtHcos3 . 3 分2 .EFDEBOACH321FDEBOAC在 中， . 4 分RtFEHtanEHF . 5 分362329 （ 2018 北京市朝阳区一模）如图，在ABC 中，AB =BC， A=45，以 AB 为直径的O 交 CO 于点 D（1 ）求证：BC 是O 的切线；（2）连接 BD，若 BD=m，tanCBD =n，写出求直径 AB

16、的思路解（1）证明：AB=BC，A=45，ACB= A=45ABC =90 1 分AB 是O 的直径，BC 是 O 的切线 2 分（2 ）求解思路如下：连接 AD，由 AB 为直径可知， ADB=90，进而可 知BAD=CBD；3 分由 BD=m，tanCBD=n，在 RtABD 中，可求 AD= ；4 分mn在 RtABD 中，由勾股定理可求 AB 的长 5 分30.（ 2018 北京市朝阳区综合练习（一） ）如图，在O 中，C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点，连接 CD 并延长，交过点 A 的切线于点 E（1）求证：AECE（2）若 AE= ，sinADE= ，求O 半径的长 31

17、（1 ）证明：连接 OA， OA 是O 的切线，OAE 90. 1 分 C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点，CD 为AOB 的中位线.CDOAE 90.12ECBAODEFHBODA PCEFHBODA PCAECE. 2 分（2 ）解：连接 OD，ODB90. 3 分AE= ，sin ADE= ，31在 Rt AED 中， .23sinADECDOA，1ADE.在 Rt OAD 中， .4 分31siO设 ODx ，则 OA3 x， ，22ADO .xx解得 ， （舍）.231 . 5 分9xA即O 的半径长为 . 31. （2018 北京门头沟区初三综合练习）如图，AB 为O 直径

18、，过O 外的点 D 作DEOA 于点 E，射线 DC 切O 于点 C、 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC 交 DE 于点 F，作 CHAB 于点 H（1）求证：D=2A；（2）若 HB=2，cosD= ，请求出 AC 的长35（1 ）证明：连接 OC，射线 DC 切O 于点 C， OCP=90DE AP， DEP=90P+D=90，P +COB=90COB=D 1 分OA=OC, A=OCACOB=A+OCA COB=2 AD=2 A 2 分（2 ）解：由（1）可知：OCP=90，COP =D ，cosCOP=cosD= ， 3 分35CHOP，CHO=90，设O 的半径为 r，则 OH

19、=r 2在 Rt CHO 中，cosHOC= = = ，OHC35r= 5， 4 分OH =52=3，由勾股定理可知：CH=4，AH =ABHB=102=8 在 Rt AHC 中，CHA =90，由勾股定理可知：AC= 5 分4532 （ 2018 北京东城区一模） 如图，AB 为 的直径，点 C，D 在 上，且点 C 是OAOA的中点. 过点 C 作 AD 的垂线 EF 交直线 AD 于点ABDE.（1）求证：EF 是 的切线；OA（2）连接 BC. 若 AB=5，BC=3，求线段 AE 的长.（1）证明：连接 OC. ACDB1= 3. ，O1=2.3=2. .AEC ，F .O OC 是

20、 的半径，AEF 是 的切线. -2 分（2）AB 为 的直径，OAACB=90.根据勾股定理，由 AB=5,BC=3,可求得 AC=4. ，EFAEC=90 .AECACB. .ACB .45E . -5 分16A33.（ 2018 北京怀柔区一模）如图，AC 是O 的直径，点 B 是O 内一点，且 BA=BC，连结 BO 并延长线交O 于点 D，过点 C 作O 的切线 CE，且 BC 平分DBE.(1)求证：BE=CE ；(2)若O 的直径长 8，sin BCE= ，求 BE 的长.4523. 解：(1)BA=BC，AO=CO,BD AC.CE 是 O 的切线,CEAC.CEBD. 1 分

21、ECB=CBD.BC 平分 DBE,CBE=CBD.ECB=CBE.BE=CE. 2 分(2)解：作 EFBC 于 F. 3 分O 的直径长 8，CO=4.sinCBD= sinBCE= = . 4 分45OCBBC=5，OB=3.BE=CE,BF= .12BCEDOACB第 23 题图FEDOA CBEDOA CBGCDEBOAFHBOC=BFE =90，CBO=EBF,CBOEBF. .BEFCOBE= . 5 分25634 （ 2018 北京房山区一模）如图， AB、 BF 分别是 O 的直径和弦，弦 CD 与 AB、 BF 分别相交于点 E、 G，过点 F 的切线 HF 与 DC 的延

22、长线相交于点 H，且HF HG. （1 ）求证：ABCD；（2 ）若 sinHGF 43，BF 3，求O 的半径长.解：（1）连接OF.OF=OBO FB=BHF是O的切线OFH=901分HFB+OFB=90B+HFB =90HF=HGHFG=HGF又HGF=BGEBGE=HFGBGE+B =90GEB=90ABCD2分（2）连接AFAB为O直径HGDCBOAEF312FDECBAOAFB=903分A+B=90A=BGE又BGE=HGFA=HGF 4分sinHGF=34sinA=34AFB=90，BF=3 AB=4 OA=OB=25 分即O的半径为235 （ 2018 北 京 丰 台 区 一

23、模 ） 如图，A，B ，C 三点在O 上，直径 BD 平分ABC ，过点 D 作 DEAB 交弦 BC 于点 E，过点 D 作O 的切线交 BC 的延长线于点 F（1）求证：EF ED；（2）如果半径为 5，cosABC = ，求 DF 的长35（1 ）证明：BD 平分ABC ，1 2.DE AB，23.1 3. BC 是O 的切线，BDF90. 1+ F90 ，3+ EDF90.F EDF.EF DE. .2 分（2 ）解：连接 CD. BD 为 O 的直径，BCD90. DE AB，DEFABC.cosABC = ，在 RtECD 中，cosDEC= = .3535设 CE=3x，则 DE

24、=5x .由（1）可知，BE = EF=5x.BF=10x ，CF=2x.在 Rt CFD 中，由勾股定理得 DF= 25半径为 5，BD 10.BFDC= FDBD， ，解得 .1042xxA2DF = =5. .5 分5（其他证法或解法相应给分.）36 （2018 北京西城区二模）如图，AB 是O 的直径，C 是圆上一点，弦 CDAB 于点E，且 DC=AD过点 A 作O 的切线，过点 C 作 DA 的平行线，两直线交于点OABCEDFF，FC 的延长线交 AB 的延长线于点 G.（1）求证：FG 与O 相切；（2）连接 EF，求 的值.tanEFC（1）证明：如图 6，连接 OC，AC

25、. AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E， CE=DE，AD=AC. DC=AD， DC=AD= AC . ACD 为等边三角形 D =DCA=DAC =60 FGDA ， 180CF FGOC FG 与O 相切 3分（2）解：如图 6，作 EHFG 于点 H设 CE= a，则 DE= a，AD=2a AF 与O 相切， AFAG 又 DCAG，可得 AFDC又 FGDA， 四边形 AFCD 为平行四边形 DC =AD ，AD= 2a， 四边形 AFCD 为菱形 AF=FC=AD=2 a，AFC=D = 60由（1）得DCG= 60， ，3sin602EHCacos602CHE 图 6 52FHCa 在 RtEFH 中，EHF= 90 ， 5 分3tan52Ea