广东省揭阳市2019年高考一模数学理科试题（含答案）

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1、揭阳市 2019 年高考一模数学( 理科)试题 第 1 页（共 12 页）绝密启用前揭阳市 2019 年高考一模数学（理科）本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改

2、液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 2|60Ax(2,)BACBA B C D (3,)(3,(,3)2,3)2已知向量 ，若 ，则 的值为1,)1)abcabcA B C D 3133已知 是复数 z 的共轭复数， 是纯虚数，则()z|zA2 B C1 D2 124若 ，则 的值为sin()544sincosA B C D 345355某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 2

3、0 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确的是A. 第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟 揭阳市 2019 年高考一模数学( 理科)试题 第 2 页（共 12 页）FEDCBAB. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高C. 这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为 80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是 80 分钟.6. 函数 在 单调递减，且为偶函数若 ，则满足 的 的取()fx0,)(12)f3()1xfx值范围

4、是A B C D 1,51,3,5,7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A B52 C D5664338某班星期一上午安排 5 节课，若数学 2 节，语文、物理、化学各 1 节，且物理、化学不相邻，2 节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为A6 B12 C24 D48 9. 过双曲线 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正21(0,)xyab方形，则该双曲线的离心率为A B C D2 552310. 右图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接

5、正方形，记正方形为区域，图中阴影部分为区域，在ABC 上任取一点，此点取自区域、的概率分别记为 、 ，则1p2A B C D 12p1212p11已知ABC 中，AB=AC=3 ， ，延长 AB 到 D 使得 BD=AB，连结sinsinABCD，则 CD 的长为A B C D 323023623612已知函数 ， ，若 ，使得()cosfx1()(0)axge120,x、，则实数 的取值范围是12()fgA B C D,01,),),)21,)(,2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13命题“对 ”的否定是 _； 2,30xx14在曲线 ， 的所有切线中，斜率为 1

6、 的切线方程为 . ()sincof(,)2揭阳市 2019 年高考一模数学( 理科)试题 第 3 页（共 12 页）PACBED8057957850.2 万万0.15.50.5.0万/万7257357457576575 By10y21x10x2x1O 万万B xB 万y(万/万15已知圆锥的顶点为 ，底面圆周上的两点 、 满足 为等边三角形，且面积为SABS，又知圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的表面积为 . 4316. 已知点 P 在直线 上，点 Q 在直线 上，M 为 PQ 的中点，210xy230xy0(,)xy且 ，则 的取值范围是 . 0y0三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说

7、明，证明过程或演算步骤.第 17 题第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共 60 分17.（12 分）已知数列 的前 项和为 ，且 ， （其中 为常数） ，又nanS23npmp、.123a（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 3lognnbnabnT18.（12 分）如图，在四边形 ABED 中， AB/DE，AB BE，点 C 在 AB 上，且 AB CD，AC=BC=CD=2，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A到达点 P 的位置，且 PE 与平面 PBC 所成的角为 45. （1）求证：平面 PB

8、C 平面 DEBC；（2）求二面角 D-PE-B 的余弦值 .19.（12 分）某地种植常规稻 A 和杂交稻 B，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，今年单价为 3.50 元公斤，估计明年单价不变的可能性为 10%，变为 3.60 元公斤的可能性为 60%，变为 3.70 元公斤的可能性为 30%统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10 年来杂交稻 B 的单价（单位：元 /公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为 ，并得到散点图如下，参考数据见下(,)1,20)ixy（1）估计明年常规稻 A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取

9、值按中间值来计算，求杂交稻 B 的亩产平均值；以频揭阳市 2019 年高考一模数学( 理科)试题 第 4 页（共 12 页）率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概率；（3）判断杂交稻 B 的单价 y（单位：元/公斤）与种植亩数 x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻 B 的种植亩数预计为 2 万亩若在常规稻 A 和杂交稻 B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：， ， ， ，1.60x.8y10()0.52iiixy102().65iix附：线性回归方程 ， ba1

10、2()niiiiixy20.（12 分）已知点 在椭圆 : 上，椭圆 的焦距为 2. 6(,1)2PC21(0)xyabC（1）求椭圆 的方程；（2）斜率为定值 k 的直线 与椭圆 交于 A、B 两点，且满足 的值为常数，l 22|OAB（其中 O 为坐标原点）（i）求 k 的值以及这个常数；（ii）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值 k 的直线 与椭圆l交于 A、B 两点，且满足 的值为常数，则 k 的值以及这21(0)xyab22|个常数是多少？21.（12 分）设函数 ，1()lnfxbx()aR、（1）讨论 的单调性；（2）若函数 有两个零点 、 ，求证： ()f121212xax

11、（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为（ ,a 为常数） ，过点 、倾斜角为 的直线 l 的参数方程满足22cosR(2,1)P30， （ 为参数） 3xt（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间） ，且 ，求 a|2PAB和 的值|PAB揭阳市 2019 年高考一模数学( 理科)试题 第 5 页（共 12 页）

12、23. 选修 4 5：不等式选讲 (10 分）已知函数 ，()|1|fxx（1）求函数 的值域；（2）若 时， ，求实数 a 的取值范围2,()3f揭阳市 2019 高考一模数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择

13、题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A C D D A D B B C C B解析: 6. 法一：因函数 在 单调递减，且为偶函数，则函数 在 单调递()fx0,)()fx,0)增，由 ，则 .故选 D.()1f2315xx法二：由 得 或 ，即 或3x()3(ff)(2ff352，综合得 .012x15x7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为 .21434568. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有 种排法，第二步：将物理、化学在第2A一步排后的 3 个空隙中选两个插进去有 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为23.2

14、1A揭阳市 2019 年高考一模数学( 理科)试题 第 6 页（共 12 页）9. 将 代入双曲线的方程得 ，则xc422bya22bcac，解得 .1e51e10. 法一：设 ABC 两直角边的长分别为 ，其内接正方形的边长为 ，由 得,abxbxa，则 ， （当且仅当abx12()abp21()()abp2()时取等号） 法二（特殊法）：设 ，则 ，故 ，从而排1,2,BCADx231245,99p除 A、D，当ABC 为等腰直角三角形时 ，排除 B，故选 C12p11. 由 结合正弦定理得 ，在等腰三角形 ABC 中sin2sinBCA，从而 ，由余弦定理得：31co4BCcos4D，故

15、 .22D2736212. 设 F、G 分别为函数 与 定义在区间上0,1 上的值域，则 ,当 a0 时，()fxg1F， 单调递增，当 a1875，所以明年选择种植杂交稻 B 收入更高 -12 分20.解：（1）由点 P 在椭圆上得 ，2c=2， -1 分231ab，c=1，又 ，223bab，2(1)揭阳市 2019 年高考一模数学(理科)试题 第 10 页（共 12 页），解得 ，得 ，4230b2b23a椭圆 的方程为 ；- -4 分C21xy（2）（i）设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，lkt213xy22(3)630kxkt -5 分2121266()()33kttxxk 又 ，

16、， 11()y22y22221|()()OABxyxy2143x211()43xx2266()kttk-8 分2843()t要使 为常数，只需 ，得 ，-9 分|OAB2180k23k ， 22| 21453() ，这个常数为 5； -10 分6k（ii） ，这个常数为 -12 分ba2ab21.解：（1） ，-1 分2211()(0)xfx设 ，2(0)g当 时， ， ；-2 分0af当 时，由 得 或 ，()gx142a1402ax记 142xa0揭阳市 2019 年高考一模数学(理科)试题 第 11 页（共 12 页）则 ，2014()1(),(02agxaxx1402a当 时， ， ，

17、0,g(f当 时， ， ，-4 分()()当 时， 在 上单调递减；afx,当 时 ， 在 上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递 增 -5 分0()140,)2a14(,)2a（2）不妨设 ，由已知得 ， ，12x1(fx2()0fx即 ， ，-6 分1lnab22lnab两式相减得 ，22121()l()xxx ，-7 分122lna要证 ，11xax即要证 ，212 12ln()x只需证 ，21122lxx只需证 ，即要证 ，-9 分2121ln1221lnxx设 ，则 ，只需证 ，-10 分21xtltt设 ，只需证 ，()ln()htt()0ht，2221tttt在 上单调递增，

18、()1,)，得证-12 分0ht22.解：（1）由 得 ， -1 分22cosa22(cosin)a又 ， ，得 ，xinyxy揭阳市 2019 年高考一模数学(理科)试题 第 12 页（共 12 页）C 的普通方程为 ，-2 分22xya过点 、倾斜角为 的直线 l 的普通方程为 ，-3 分(,1)P303(2)1yx由 得2xt12yt直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ；-5 分312xy（2）将 代入 ，321xty22xa得 ，-6 分2 2(3)()0tt依题意知 283a则上方程的根 、 就是交点 A、B 对应的参数， ，1t2 212(3)ta由参数 t 的几何意义知 ，得

19、 ，12|Pt|t点 P 在 A、B 之间， ，120t ，即 ，解得 （满足 ） ， ，-8 分12t(3)a4a02a ，又 ，1212|tt12(31)t -10 分|423.解：（1）法一： ，|()|()|2fxxx ， 的值域为 -2, 2；- -4 分2f法二： ，得 ，2,1(),fxx2()fx 的值域为-2, 2；- -4 分f（2）由 得 ，()3xa|1|3x由 得 ，,10 ，- -5 分|2a揭阳市 2019 年高考一模数学(理科)试题 第 13 页（共 12 页）设 ，()|1|2gxx(1) 当 时， ， ，0()2132gxx ；-7 分max()()4 当 时， ， ，11x() ；-9 分()g综上知， ，max4由 恒成立，得 ，即 a 的取值范围是 - -10 分()a4,)