2019年江苏省镇江市扬中市中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年江苏省镇江市扬中市中考数学一模试卷一填空题（共 12 小题，满分 24 分，每小题 2 分）1如果 5x+3 与2x +9 是互为相反数，则 x2 的值是 2若 am2，a n3，则 amn 的值为 3若 a，b 都是实数，b + 2，则 ab 的值为 4如图，ABEF ，设C90，那么 x，y，z 的关系是 5因式分解：a 3ab 2 6某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是 7已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+10 有两个相等的实数根，则 b 的值为 8在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好

2、围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为 90，扇形的半径为 4，那么所围成的圆锥的高为 9如图，在ABCD 中，AD2AB，F 是 AD 的中点，作 CEAB，垂足 E 在线段 AB 上，连接EF、 CF，则下列结论：（1）DCF+ D90；（2）AEF+ECF 90；（3）S BEC 2S CEF ；（4）若B80，则AEF50其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）10T 1、T 2 分别为O 的内接正六边形和外切正六边形设 T1 的半径 r，T 1、T 2 的边长分别为a、b，T 1、T 2 的面积分别为 S1、S 2下列结论：r：a1：1；r：b ；a：b1： ；S

3、 1：S 23：4其中正确的有 （填序号）11如图，O 的半径为 ，圆心与坐标原点重合，在直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点，则O 上格点有 个，设 L 为经过O 上任意两个格点的直线，则直线L 同时经过第一、二、四象限的概率是 12如图，已知抛物线 yax 24x +c（a0）与反比例函数 y 的图象相交于点 B，且 B 点的横坐标为 3，抛物线与 y 轴交于点 C（0，6），A 是抛物线 yax 24x+c 的顶点，P 点是 x 轴上一动点，当 PA+PB 最小时，P 点的坐标为 二选择题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）13国家主席习近平提出“金山银山，不如

4、绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及 13.75 亿中国人，这个数字用科学记数法表示为（ ）A13.7510 6 B13.7510 5 C1.37510 8 D1.37510 914如图，几何体的左视图是（ ）A BC D15已知关于 x 的方程 2xax 1 的解是非负数，则 a 的取值范围为（ ）Aa1 Ba1 Ca1 Da116如图，已知公路 l 上 A、B 两点之间的距离为 50m，小明要测量点 C 与河对岸边公路 l 的距离，测得ACBCAB30 点 C 到公路 l 的距离为（ ）A25m B m C25 m D（25+25 ）m17如图，将长 16cm，

5、宽 8cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，则折痕 EF 的长为（ ）cmA6 B4 C10 D2三解答题（共 11 小题，满分 91 分）18（8 分）（1）计算： ；（2）化简： 19（10 分）（1）解方程 2（x3）4x5（2）解不等式组20（6 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AC 的中点，DEBC 交 AB 于点 E，DFAB 交 BC 于点F，说明 ADE 与DCF 全等的理由21（6 分）不透明的袋中装有 3 个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，（用列表或树形图求下列事件的概率）（1）两次

6、取的小球都是红球的概率；（2）两次取的小球是一红一白的概率22（14 分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：九年级抽取部分学生成绩的频率分布表成绩 x/分 频数 频率第 1 段 x60 2 0.04第 2 段 60x70 6 0.12第 3 段 70x80 9 b第 4 段 80x90 a 0.36第 5 段 90x100 15 0.30请根据所给信息，解答下列问题：（1）a ，b ；（2）请补全频数分布直方图；（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第 段；（4）已知该年级有 400 名学生参加这次比赛，若成绩在 90 分以上

7、（含 90 分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？23（8 分）如图，ABC90， ，BC 6，AD DC，ADC60（1）求 AC 长（2）求ADC 的面积24（7 分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书（1）第一次购书的进价是多少元？（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚

8、多少？25（7 分）如图，AB 是 O 的直径， ，E 是 OB 的中点，连接 CE 并延长到点 F，使EF CE连接 AF 交 O 于点 D，连接 BD，BF（1）求证：直线 BF 是O 的切线；（2）若 OB2，求 BD 的长26（7 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y x 与反比例函数 y 的图象交于 A，B两点（点 A 在点 B 左侧），已知 A 点的纵坐标是 2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出 x 的解集；（3）将直线 l1：y x 沿 y 向上平移后的直线 l2 与反比例函数 y 在第二象限内交于点 C，如果ABC 的面积为 30，求平移后的直线 l2

9、 的函数表达式27（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 24ax+3a 的最高点的纵坐标是 2（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在 1x4 之间的部分记为图象 G1，将图象 G1 沿直线 x1 翻折，翻折后的图象记为 G2，图象 G1 和 G2 组成图象 G过（0，b）作与 y 轴垂直的直线 l，当直线 l 和图象 G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为 P1（x 1，y 1），P（x 2，y 2），求 b 的取值范围和 x1+x2的值28（10 分）问题发现（1）如图 ， RtABC 中， C90，AC 3，BC 4，点 D 是 AB 边上任意一点

10、，则 CD 的最小值为 （2）如图 ，矩形 ABCD 中，AB3，BC 4，点 M、点 N 分别在 BD、BC 上，求 CM+MN 的最小值（3）如图 ，矩形 ABCD 中，AB3，BC 4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是 BC边上的任意一点，把BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG、CG，四边形 AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时 BF 的长度若不存在，请说明理由2019 年江苏省镇江市扬中市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一填空题（共 12 小题，满分 24 分，每小题 2 分）1【分析】根据互为相反数的两数之和为 0 可得

11、关于 x 的方程，解出即可得出 x 的值，继而得出x2 的值【解答】解：由题意得：5x+3+（2x +9）0，解得：x4，x26故填6【点评】本题考查相反数的知识，掌握互为相反数的两数之和为 0 是关键2【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案【解答】解：a mn a man23 ，故答案为： 【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出 a 的值，进而利用负指数幂的性质得出答案【解答】解：b + 2，12a0，解得：a ，则 b2，故 ab（ ） 2 4故答案为：4【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及负指数幂

12、的性质，正确得出 a 的值是解题关键4【分析】过 C 作 CMAB，延长 CD 交 EF 于 N，根据三角形外角性质求出CNE yz，根据平行线性质得出1x ，2CNE ，代入求出即可【解答】解：过 C 作 CMAB，延长 CD 交 EF 于 N，则CDEE+CNE ，即CNE yzCMAB，ABEF，CMABEF，ABCx1，2CNE，BCD90，1+290，x+yz90，z+90 y+x，即 x+yz 90【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中5【分析】观察原

13、式 a3ab 2，找到公因式 a，提出公因式后发现 a2b 2 是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得【解答】解：a 3ab 2a（a 2b 2）a（a+b）（ab）【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）6【分析】直接根据中位数的定义求解【解答】解：将这 6 位同学的成绩重新排列为 75、75、84、86、92、99，所以这六位同学成绩的中位数是 85，故答案为：85【点评】本题考查了中位数的概念找中位数时需要对这一组数据按照从大到小或从小到大的顺序进行排序7【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式

14、的值等于 0，即可求出 b 的值【解答】解：根据题意知，b 240，解得：b2，故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根8【分析】设圆锥的底面圆的半径为 r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到 2r ，解得 r1，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾股定理计算圆锥的高【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得 2r ，解得 r1，所以所围成的圆锥的高 故答案为 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图

15、为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了弧长公式和勾股定理9【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出（1）正确；由 ASA 证明AEFDMF，得出 EFMF，AEF M，由直角三角形斜边上的中线性质得出 CF EMEF，由等腰三角形的性质得出 FEC ECF，得出（2）正确；证出 SEFC S CFM ，由 MCBE，得出 SBEC 2S EFC ，得出（3）错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出（4）正确；即可得出结论【解答】解：（1）F 是 AD 的中点，AFFD ，在ABCD 中，AD2AB ，AFFD CD，DFCDCF，ADBC，DFC

16、FCB，BCD+D180，DCFBCF，DCF BCD，DCF+ D90，故（1）正确；（2）延长 EF，交 CD 延长线于 M，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AMDF，F 为 AD 中点，AFFD ，在AEF 和DFM 中，AEF DMF（ASA），EFMF，AEFM，CEAB，AEC90，AECECD90，FMEF，CF EMEF，FECECF，AEF +ECF AEF+FEC AEC90，故（2）正确；（3）EFFM，S EFC S CFM ，MCBE，S BEC 2S EFC故（3）错误；（4）B80，BCE908010，ABCD，BCD18080100，BCF

17、BCD50，FECECF501040，AEF 904050，故（4）正确故答案为：（1）（2）（4）【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明AEFDMF 是解题关键10【分析】根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则 r：a1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；根据相似多边形的面积比是相似比的平方可以求得其相似比，再进一步求得其面积比【解答】解：连接圆心 O 和 T1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形所以 r：a1

18、：1；故正确；连接圆心 O 和 T2 相邻的两个顶点，得以圆 O 半径为高的正三角形，所以 r：bAO：BOsin60 ：2；故正确；a：b ：2；故错误；T1：T 2 的边长比是 ：2，所以 S1：S 2（a：b） 23：4故正确；故答案为：【点评】本题考查了正多边形与圆的关系，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方11【分析】将原题转化为多边形的边数和对角线的条数的问题解答【解答】解：连接 ABCDEFGH 可得到八边形，八边形各边共有 20 条对角线，连同 8 条边所在

19、 8 条直线，共 28 条，而过第一、二、四象限的直线共 4 条，直线 L 同时经过第一、二、四象限的概率是 【点评】此题结合一次函数的性质，考查了概率公式，关键是求出过任意两格点的直线的条数12【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点 B 的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点 A 的坐标，进而求得 A的坐标，从而可以求得直线 AB 的函数解析式，进而求得与 x 轴的交点，从而可以解答本题【解答】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB ，则 AB 与 x 轴的交点即为所求，抛物线 yax 24x +c（a0）与反比例函数 y 的图象相交于点 B，且 B 点的横坐标为

20、3，抛物线与 y 轴交于点 C（0，6），点 B（3，3）， ，解得， ，yx 24x+6（x2） 2+2，点 A 的坐标为（2，2），点 A的坐标为（2，2），设过点 A（2，2）和点 B（3，3）的直线解析式为 ymx +n，得 ，直线 AB 的函数解析式为 y5x 12，令 y0，则 05x 12 得 x ，故答案为：（ ，0）【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答二选择题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）13【分析】科学记数法的表示形式

21、为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：13.75 亿这个数字用科学记数法表示为 1.375109故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值14【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左故选：A【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；

22、掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键15【分析】本题首先要解这个关于 x 的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于 a 的不等式，最后求出 a 的取值范围【解答】解：原方程可整理为：（21）xa1，解得：xa1，方程 x 的方程 2xax 1 的解是非负数，a10，解得：a1故选：A【点评】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式解关于 x 的不等式是本题的一个难点16【分析】作 CD直线 l，由 ACBCAB30， AB50m 知AB BC50m ，CBD60，根据 CDBCsinCBD 计算可得【解答】解：如图，过点 C 作 CD直线 l 于点 D，ACB

23、CAB30，AB50m，ABBC50 m，CBD60，在 Rt BCD 中， sin CBD ，CDBCsin CBD50 25 （m ），故选：C【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线17【分析】连接 AC，则 EF 垂直平分 AC，推出AOEABC ，根据勾股定理，可以求出 AC的长度，根据相似三角形对应边的比等于相似比求出 OE，即可得出 EF 的长【解答】解：连接 AC，与 EF 交于 O 点，E 点在 AB 上， F 在 CD 上，A、C 点重合，EF 是折痕，AOCO，EFAC，AB16，B

24、C 8，AC ，AO ，EAOCAB，AOEB90，AOEABC，OE：BCAO：BA ，即OE ，EF2OE 故选：B【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、折叠的性质；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形相似是解决问题的关键三解答题（共 11 小题，满分 91 分）18【分析】（1）根据幂的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题【解答】解：（1）4+1+|12 |4+1+|1 |4+1+ 14+ ；（2） 【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，解答本题的关键

25、是明确它们各自的计算方法19【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 求出 x 的解；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解：（1）去括号 2x64x5移项，合并得2x1化系数为 1，x （2）由得 x2，由得 x2故不等式组的解集为：2x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键20【分析】根据三角形的中线的概念得到 ADDC，根据 AAS 定理证明ADE 与DCF 全等【解答】证明：点 D 是 AC 的中点，ADDC，DEBC，ADEDCF，DFCEDF，DFAB，AEDEDF

26、，AEDDFC，在ADE 和DCF 中，ADEDCF【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键21【分析】（1）用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案，（2）由（1）的图表，可得要求的情况，与总情况作比即可得答案【解答】解：（1）根据题意，有两次取的小球都是红球的概率为 ；（2）由（1）可得，两次取的小球是一红一白的有 4 种；故其概率为 【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22【分析】（1）由 x60 的频数及其频率求出被调查的学

27、生总数，再根据频数频率总数求解可得；（2）根据（1）中所求结果补全图形可得；（3）根据中位数的定义求解可得；（4）总人数乘以样本中 90x100 的频率即可得【解答】解：（1）本次调查的总人数为 20.0450，则 a500.3618、b9500.18，故答案为：18、0.18；（2）补全直方图如下：（3）共有 50 个数据，其中位数是第 25，26 个数据的平均数，而第 25，26 个数据均落在第 4 组，中位数落在第 4 组，故答案为：4（4）4000.30120，答：估计该年级成绩为优的有 120 人【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，

28、必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题23【分析】（1）根据题意，在直角三角形 ABC 中利用 AB2+BC2AC 2，即可求得 AC 的长；（2）根据 ADDC，ADC 60，可知三角形 ACD 是等边三角形且变长为 8，然后求得三角形的高，再利用三角形面积公式即可求得面积【解答】解：（1）ABC90， ，BC 6，AB AC，即 AB2 AC2，BC 236，又AB 2+BC2AC 2， AC2+36AC 2，36 AC2，AC8，（2）ADDC，ADC 60三角形 ACD 是等边三角形，ADDCAC8，如图所示，过点 D 作三角形 ACD 的高于 AC 交于点 E，

29、DE 2AD 2 64 163，DE4 ，S ACD 4 816 【点评】本题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出 AC的长度，此题难度不大24【分析】（1）设第一次购书的单价为 x 元，根据第一次用 1200 元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，列出方程，求出 x 的值即可得出答案；（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案【解答】解：（1）设第一次购书的单价为 x 元，根据题意得：+10 解得：x

30、5经检验，x5 是原方程的解，答：第一次购书的进价是 5 元；（2）第一次购书为 12005240（本），第二次购书为 240+10250（本），第一次赚钱为 240（75）480（元），第二次赚钱为 200（751.2）+50（70.451.2）40（元），所以两次共赚钱 480+40520（元），答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元【点评】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键25【分析】（1）证明OCEBFE（SAS），可得OBFCOE90，可得结论；（2）由（1）得：OCEBFE，则 BFOC2，根据勾

31、股定理得：AF2 ，利用面积法可得 BD 的长【解答】（1）证明：连接 OC，AB 是O 的直径， ，BOC90，E 是 OB 的中点，OEBE，在OCE 和BFE 中， ，OCEBFE（SAS），OBFCOE90，直线 BF 是O 的切线；（2）解：OBOC2，由（1）得：OCEBFE，BFOC2，AF 2 ，S ABF ，422 BD，BD 【点评】本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型26【分析】（1）直线 l1 经过点 A，且 A 点的纵坐标是 2，可得 A（4，2），代入反比例函数解析式

32、可得 k 的值；（2）依据直线 l1：y x 与反比例函数 y 的图象交于 A，B 两点，即可得到不等式 x 的解集为 x4 或 0x4；（3）设平移后的直线 l2 与 x 轴交于点 D，连接 AD，BD，依据 CDAB，即可得出ABC 的面积与ABD 的面积相等，求得 D（15，0），即可得出平移后的直线 l2 的函数表达式【解答】解：（1）直线 l1：y x 经过点 A，A 点的纵坐标是 2，当 y2 时，x 4，A（4，2），反比例函数 y 的图象经过点 A，k428，反比例函数的表达式为 y ；（2）直线 l1：y x 与反比例函数 y 的图象交于 A，B 两点，B（4，2），不等式

33、x 的解集为 x4 或 0x4；（3）如图，设平移后的直线 l2 与 x 轴交于点 D，连接 AD，BD ，CDAB ，ABC 的面积与ABD 的面积相等，ABC 的面积为 30，S AOD +SBOD 30，即 OD（|y A|+|yB|）30， OD430，OD15，D（15，0），设平移后的直线 l2 的函数表达式为 y x+b，把 D（15，0）代入，可得 0 15+b，解得 b ，平移后的直线 l2 的函数表达式为 y x+ 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积解决问题的关键是依据A

34、BC的面积与ABD 的面积相等，得到 D 点的坐标为（15， 0）27【分析】（1）依据配方法将函数关系式变形为 ya（x2） 2a，再依据顶点纵坐标为 2 可求得 a 的值，从而可求得抛物线的解析式；（2）先根据题意画出图形，由图象可知 b2 或6b0，由图象的对称性可求 x1+x2 的值【解答】解：（1）抛物线 yax 24ax +3aa（x2） 2a，对称轴为直线 x2，抛物线 yax 24ax +3a 的最高点的纵坐标是 2，a2，抛物线的表达式为 y2（x2） 2+22x 2+8x6；（2）如图，由图象可知 b2 或6b0，由图象的对称性可得：x 1+x22【点评】本题主要考查的是二

35、次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值的应用28【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；（2）先根据轴对称确定出点 M 和 N 的位置，再利用面积求出 CF，进而求出 CE，最后用三角函数即可求出 CM+MN 的最小值；（3）先确定出 EGAC 时，四边形 AGCD 的面积最小，再用锐角三角函数求出点 G 到 AC 的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出 CF 即可求出 BF【解答】解：（1）如图，过点 C 作 CDAB 于 D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD

36、最小，在 Rt ABC 中，AC3，BC4，根据勾股定理得，AB5， ACBC ABCD，CD ，故答案为 ；（2）如图 ，作出点 C 关于 BD 的对称点 E，过点 E 作 ENBC 于 N，交 BD 于 M，连接 CM，此时 CM+MNEN 最小；四边形 ABCD 是矩形，BCD90，CDAB3，根据勾股定理得，BD5，CEBC， BDCF BCCD，CF ，由对称得，CE2CF ，在 Rt BCF 中，cosBCF ，sinBCF ，在 Rt CEN 中， ENCEsinBCE ；即：CM+MN 的最小值为 ；（3）如图 3，四边形 ABCD 是矩形，CDAB 3，ADBC4，ABCD9

37、0，根据勾股定理得，AC5，AB3，AE2，点 F 在 BC 上的任何位置时，点 G 始终在 AC 的下方，设点 G 到 AC 的距离为 h，S 四边形 AGCDS ACD +SACG ADCD+ ACh 43+ 5h h+6，要四边形 AGCD 的面积最小，即： h 最小，点 G 是以点 E 为圆心，BE1 为半径的圆上在矩形 ABCD 内部的一部分点，EGAC 时，h 最小，由折叠知EGFABC 90，延长 EG 交 AC 于 H，则 EHAC ，在 Rt ABC 中，sinBAC ，在 Rt AEH 中，AE 2，sinBAC ，EH AE ，hEHEG 1 ，S 四边形 AGCD 最小 h+6 +6 ，过点 F 作 FM AC 于 M，EHFG ，EHAC，四边形 FGHM 是矩形，FMGHFCMACB，CMF CBA 90，CMFCBA， ， ，CF1BFBCCF413【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题