第1讲：三角函数

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1、1三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；  2利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；  3三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式 (两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式 )进行变换， “ 角 ” 的变换是三 角恒等变换的核心  1常用三种函数的图象性质 (下表中 k Z) 函数  y sin x y cos x y tan x 图象  递增 &nbs

2、p;区间  2222kk ， 22kk ，  22kk ，递减  区间  2222kk ， 22kk ，  奇偶性  奇函 数  偶函数  奇函数  对称  中心  (k， 0) 02k ，02k，对称轴  x k 2  x k  周期性  2 2 2三角函数的常用结论  (1)y Asin(x )，当 k(k Z)时为奇函数；当 k2(k Z)时为偶函数；对称轴方程可由 x k2(k Z)求得  专题二  第 1

3、讲  三角函数  三角函数、解三角形、平面向量与数列  考向预测  知识与技巧的梳理  (2)y Acos(x )，当 k2(k Z)时为奇函数；当 k(k Z)时为偶函数；对称轴方程可由 x k(k Z)求得  (3)y Atan(x )，当 k(k Z)时为奇函数  3三角函数的两种常见变换  (1)y sin x 00 向 左 或 向 右平 移 个 单 位y sin(x ) A 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍横 坐 标 不 变y Asin(x )(A 0， 0)  y Asin(x )(A 0，

4、 0)  4三角函数公式  (1)同角关系： sin2 cos2 1， sin tancos  (2)诱导公式：对于 “2k ， k Z的三角函数值 ” 与 “ 角的三角函数值 ” 的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限  (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：   s i n s i n c o s c o s s i n ；   c o s c o s c o s s i n s i n ；   ta n ta nta n 1 ta n ta n  (4)二倍角公式： sin 2 2 sin cos

5、， 2 2 2 2c o s 2 c o s s i n 2 c o s 1 1 2 s i n  (5)辅助角公式： asin x bcos x a2 b2sin(x )，其中 tan ba  热点一  三角函数的图象  热点题型  【例 1】 (1)某同学用 “ 五点法 ” 画函数 f(x) Asin(x ) 0,2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：  x 0 2 22 x  Asin(x ) 0 5   5 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式；

6、  (2)将 y f(x)图象上所有点向左平行移动 (>0)个单位长 度，得到 y g(x)的图象若 y g(x)图象的一个对称中心为 5 ,012，求 的最小值  (2)函数 f(x) Asin(x ) 0, 0,2A 的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为 (  ) A ( ) 2 sin6f x x B ( ) 2 si n 23f x x C ( ) 2 sin 212f x x D ( ) 2 si n 26f x x (1)解  (1)根据表中已知数据，解得 A 5， 2，6 数据补全如下表：  x 0 2  

7、; 2  2 x 12  3  12  6  1312 Asin(x ) 0 5 0 5 0 且函数表达式为 ( ) 5 sin 26f x x  (2)由 (1)知 ( ) 5 sin 26f x x ，根据图象平移变换，得 ( ) 5 si n 2 26g x x  因为 y sin x 的对称中心为 (k， 0)， k Z  令 2x 26 k， k Z，  解得2 12kx ， k Z  由于函数 y g(x)的图象关于点 ,012成中心对称，令 52 12 12k ， k Z，解得23

8、k ， k Z  由 >0 可知，当 k 1 时， 取得最小值6  (2)解析  (1)由题意知 A 2， 5412 6T ， 2，  因为当 512x 时取得最大值 2，  所以 52 2 si n 212 ，  所以 52212 2k ， k Z，解得 2k3， k Z，  因为 |0， >0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据 “ 五点法 ” 中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置 &nbs

9、p;【训练 1】  (1)(2017菏泽二模 )偶函数 f(x) Asin(x )(A>0， >0， 00， >0)的单调区间，是将 x 作为一个整体代入正弦函数增区间 (或减区间 )，求出的区间即为 y Asin(x )的增区间 (或减区间 )，但是当 A 0， 0 时，需先利用诱导公式变形为 y Asin( x )，则 y Asin( x )的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间  【训练 2】  (2017浙江卷 )已知函数 f(x) sin2x cos2x 2 3sin xcos x(x R)  (1)求 f 23

10、 的值；  (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间  解  (1)f(x) sin2x cos2x 2 3sin xcos x cos 2x 3sin 2x 2sin 2x 6 ，  则 f 23 2sin 43 6 2  (2)f(x)的最小正周期为  由正弦函数的性质 ， 令 2k 2 2x 6 2k 32 ， k Z，  得 k 6 x k 23 ， k Z  所以函数 f(x)的单调递增区间为 k 6， k 23 ， k Z  热点三  三角函数图象与性质的综合应用  【

11、例 3】  (2017西安 调研 )已知函数 f(x) 2sin xcos x 2 3sin2x 3(>0)的最小正周期为  (1)求函数 f(x)的单调递增区间  (2)将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y g(x)的图象，若 y g(x)在 0， b(b>0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值  解  (1)f(x) 2sin xcosx 3(2sin2x 1) sin 2x 3cos 2x 2sin 2x 3  由最小正周期为 ，得 1，  所以 f(x)

12、2sin 2x 3 ，  由 2k 2 2x 3 2k 2， k Z，  整理得 k 12 x kx 512， k Z，  所以函数 f(x)的单调递增区间是 k 12， k 512 ， k Z  (2)将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y 2sin 2x 1 的图象；  所以 g(x) 2sin 2x 1  令 g(x) 0，得 x k 712或 x k 1112 (k Z)，  所以在 0， 上恰好有两个零点，若 y g(x)在 0， b上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个

13、零点的横坐标即可  所以 b 的最小值为 4 1112 5912  探究提高  1研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为 y Asin(x ) B(或 y Acos(x ) B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解  2函数 y Asin(x )(或 y Acos(x )的最小正周期 T 2|应特别注意 y |Asin(x )|的最小正周期为 T |  【训练 3】  (2017山东卷 )设函数 f(x) sin x 6 sin x 2 ，其中 0 3，已知 f 6 0  (1)求 ；  (2)将函数 y

14、 f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍 (纵坐标不变 )，再将得到的图象向左平移 4个单位，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 4， 34 上的最小值  解  (1)因为 f(x) sin x 6 sin x 2 ，  所以 f(x) 32 sin x 12cos x cos x 32 sin x 32cos x 3 12sin x 32 cos x   3sin x 3  由题设知 f 6 0，  所以 6 3 k， k Z，故 6k 2， k Z  又 0 3，所以 2  (2)由 (1)

15、得 f(x) 3sin 2x 3 ，  所以 g(x) 3sin x 4 3 3sin x 12  因为 x 4， 34 ，所以 x 12 3， 23 ，  当 x 12 3，即 x 4时， g(x)取得最小值 32  热点四  三角恒等变换及应用  【例 4】  (1)(2015重庆卷 )若 tan 2tan 5，则cos 310sin 5 (  ) A 1   B 2   C 3   D 4 解析  cos 310sin 5sin 2 310sin 5sin 5sin 5

16、sin cos5 cos sin5sin cos5 cos sin5tan tan5 1tan tan5 1 2 12 1 3  答案  C  探究提高  1三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角 (名 )，化简求值  2解决条件求值问题的三个关注点  (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角  (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示  (3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小  【训练

17、 4】  (1)(2017北京卷 )在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 sin 13，则 cos( ) _  (2)(2017石家庄质检 )若 cos(2 ) 1114， sin( 2) 4 37 ， 00， |0)， f(x)是 f(x)的导函数，若 f() 0， f()>0，且 f(x)在 区间 ，2 上没有最小值，则 取值范围是 (  ) A (0， 2)   B (0， 3 C (2， 3   D (2， ) 2 (2017衡水二模 )将函数 y sin x 的图象向左平移 2

18、个单位后得到函数 y f(x)的图象，已知函数 y f(x)与 ysin(2x )(0 )的图象有一个横坐标为 3的交点，则 _  3 (2017池州模拟 )已知 sin 3 13 00 可知 是函数增区间上的零点， f(x)在区间 ， 2 上没有最小值，则函数的最小值实质是在2处取到，由于是开区间，这个区间上取不到这个最小值  【答案】  由题意， f() 0， f()>0，且 f(x)在区间 ， 2 上没有最小值   T2<2 34T， <2 342   2< 3故选 C  2 【解题思路】  

19、求出 f(x)的解析式， y f(x)与 y sin(2x )在 3处有公共点，由 y f(x)确定这个点，再代入 y sin(2x )  【答案】  依题意， f(x) sin x 2 cos x  又 y f(x)与 y sin(2x )的图象有一个横坐标为 3的交点   cos3 sin 23 ，即 sin6 sin 23 ， 6 23 2k， k Z或 6 23 2k， k Z，即 22k， k Z或 6 2k， k Z，且 0 ，则 6故填 6  3 【解题思路】   已知角度与所求角度互余  【答案】  

20、; sin 3 13，   cos 6 cos 2 3 sin 3 13；  又 0<<2， 6<6 <23 ，   sin 6 1 cos2 6 1 132 2 23 故填 2 23  4 【解题思路】   利用二倍角公式，辅助角 公式把 f(x)化为 siny A x b 形式  【答案】   解  (1)f(x) 2 3sin( x)sin x (sin x cos x)2 2 3sin2x (1 2sin xcos x) 3(1 cos 2x) sin 2x 1 sin 2x 3co

21、s 2x 3 1 2sin 2x 3 3 1，  令 2k 2 2x 3 2k 2(k Z)，  精准预测题  解得， k 12 x k 512(k Z)  所以， f(x)的单调递增区间是 k 12， k 512 (k Z)  (2)由 (1)知 f(x) 2sin 2x 3 3 1，经过变换后， g(x) 2sin x 3 1，  所以 g 6 2sin 6 3 1 3  5 【解题思路】   利用二倍角公式，辅助角公式把 f(x)化为 siny A x形式  【答案】   解  

22、(1)f(x) cos xsin x 32 (2cos2x 1) 12sin 2x 32 cos 2x sin 2x 3  当 2x 3 2 2k(k Z)，即 x 512 k(k Z)时，函数 f(x)取最大值，且最大值为 1  (2)由 (1)知，函数 f(x)图象的对称轴为 5=+12 2kx ， k Z，   当 x (0， )时，对称轴为 x 512， 1112  又方程 f(x) 23在 (0， )上的解为 x1， x2 结合 图象可知，   x1 x2 56，则 x1 56 x2，   cos(x1 x2) cos 56 2x2 sin 2x2 3 ，  又 f(x2) sin 2x2 3 23，  故 cos(x1 x2) 23