高考数学命题热点名师解密专题:幂指对函数性质活用(理)
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1、专题 05 幂指对函数性质活用一命题陷阱及易错点分析指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数,初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时,主要有概念类、分类讨论、转化不等价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中:1.概念类陷阱,包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论,指数函数对数函数的定义中对底数的限制及对数对真数的限制; (1)指数幂的运算.注意几个运算公式的使用.(2)指数函数底数讨论. 当 时函数是减函数,当 时函数是增函数.xya011a(3)指数函数定义.函数必须严格具备 形式的函数是指数函数.(4)对数
2、的底数和真数,它们都必须大于 0,底数还要不等于 1.2.隐含条件陷阱,对含有 的式子,隐含着 .0xa3. 迷惑性陷阱,含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题.4.分类讨论陷阱,含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏.5. 等价转化陷阱,指数函数与对数函数互为反函数问题,转化为数形结合问题.6.定义域为 R 与值域为 R 及特定定义域陷阱7.幂指对函数中的倒序求和二 【学习目标】1理解对数的概念,掌握指数与对数的相互转化,会运用指数、对数运算法则进行有关运算2掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用3掌握以对数函数为载体的复
3、合函数的有关性质4了解指数函数 ya x与对数函数 ylog ax 互为反函数(a0 且 a1)的关系三 【知识要点】1对数的定义如果 axN(a0 且 a1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作_,其中 a叫做对数的底数,N 叫做真数2几种常见的对数对数形式 特 点 记法一般对数 底数为 a(a0 且 a1) logaN常用对数 底数为 10 lg N自然对数 底数为 e ln N3.对数的性质(a0,且 a1,N 0) _;log aaN_;换底公式:_;log ab ,推广 logablogbclogcdlog ad.1logba4对数的运算法则如果 a0 且 a1,M0,N
4、0,那么log a(MN)_;log a _ ;MNlog aMn_;log amMn_学+_科网5对数函数的概念、图象和性质定义 形如 ylog ax(a0,且 a1)的函数叫对数函数图象(1)定义域:_(2)值域:_(3)过点_,即 x1 时,y0(4)在(0,) 上是_ 在(0 , )上是_性质(5)x1 时,_01 时,_0 a10,m=a b1aa1n=ba1,则 mn,本题选择 C 选项.2.幂指对函数的性质例 2【江苏扬州 2019 模拟】已知 是 上的减函数,那么 的取值范围是 ( )A B C D【答案】C【分析】由 在 上递减, 在 上递减,结合 即可得结果.【点评】本题主
5、要考查分段函数的解析式及单调性,属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点,也是高考命题热点,要正确解答这种题型,必须熟悉各段函数本身的性质,在此基础上,不但要求各段函数的单调性一致,最主要的也是最容易遗忘的是,要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.练习 1.函数 的单调递增区间为( )A (,2) B (2,+) C ( ,4) D (4,+ )【答案】D【解析】先求得函数的定义域,函数 是复合函数,外函数是增函数,再找出内函数在定义域内的增区间即可。【详解】由函数 ,可得 x24x0,求得 x0 或 x4,故函数的定义域为 x|x0 或 x4 ,令 tx 24x, 则 因为 是
6、定义域内的增函数,只需找出函数 tx 24x 在定义域内的增区间利用二次函数的性质可得 t x24x 在定义域内的增区间为(4,+) ,故选:D【点睛】研究函数的单调性,首先要考虑函数的定义域,要注意函数的单调区间是定义域内的某个区间。对于复合函数的单调性,要综合考虑内外函数的单调性,利用“同增异减”的方法。练习 2.函数 y =log0. 5(x2-3x-10)的递增区间是 ( )A(- ,-2) B(5,+ ) C(- , ) D( ,+ )【答案】A【解析】由 得 或 .当 时, 单调递减,而 ,由复合函数单调性可知, 在 上是单调递增的,故选 A.点睛:复合函数单调性的判断: .当内层
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