高考数学命题热点名师解密专题:集合的解题技巧(理)
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1、专题 01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题;2.造成集合中元素重复问题;3.隐含条件问题;4.代表元变化问题;5.分类讨论问题;6子集中忽视空集问题;7.新定义问题;8.任意、存在问题中的最值问题;9.集合的运算问题; 10.集合的综合问题。二知识点【学习目标】1了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言( 列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中 元素的互异性;2理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义;3理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集
2、与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;4能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算【知识要点】1集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集(2)集合中的元素的三个特征:确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有:描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“ ”或“ ”来表示(5)常用的数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N );整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R.2集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合 A,B .如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素
3、,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 ;若 AB,且 AB,则 ,我们就说 A 是 B 的真子集(2)不含任何元素的集合叫做空集,记作 ,它是任何集合的子集,即 A3集合的基本运算(1)并集:ABx|xA 或 xB ;(2)交集:ABx| xA 且 xB;(3)补集: UA 4集合的运算性质(1)ABAAB,A AA,A ;(2)ABAAB,AA A,AA ;(3)AB,B C,则 AC;(4)U(AB) UA UB, U(AB ) UAUB,A UA ,A UAU, U(UA)A;(5)AB,B A,则 AB. 三典例分析及变式训练(一)元素与集合,集合与集合
4、关系例 1. 已知 , 则01MA.NB.C.NMD.N【答案】A【解析】 , 0,1MN练习 1【广西百色市高三年级 2019 届摸底调研考试】已知集合 ,则 ( )A B C D 【答案】A【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,求出两集合的交集即可【解析】由 A 中 y=log2(x+1) ,得到 x+10,即 x-1,A=(-1,+ ) , 由 B 中不等式变形得:(x 3) (x+2)0 且 x解得:2x3 ,又 , ,则 AB= ,故选:A【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键练习 2 【湖南省长郡中学 2019 届
5、高三第三次调研】已知集合 ,集合,全集为 UR,则 为A B C D 【答案】D【分析】化简集合 A,B,然后求出 A 的补集,最后求交集即可得到结果. 【详解】 ,又故选:D【点评】求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍(二)集合中元素重复陷阱例 2. 【华南师范大学附中 2018-2019 测试题】 设整数 ,集合 .令集合 ,且三条件 恰有一个成立,若 和 都在 中,则下列选项正确的是( )A B
6、 C D 【答案】B【分析】采用特殊值排除法,取 x=2,y=3,z=4,w=1,可排除错误选项.【解析】取 x=2,y=3 ,z=4,w=1,显然满足(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,此时(y,z,w)= (3,4, 1)S , (x,y,w )=(2,3,1)S,故 A、C、D 错误, 故选 B【点评】本题考查了元素与集合的关系,集合中元素具有确定性,互异性和无序性.练习 1. 是实数,集合 , ,若 ,求 .,abA=a,1bAB20156ab【答案】 1【点评】:对于两个集合相等或子集问题,涉及元素问题,必须要保证集合元素的互异性.练习 2. 【上海市 2018-2019 期
7、中考试】如图, 为全集, 、 、 是 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A B C D 【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是 MP的子集,但不属于集合 S,属于集合 S 的补集,然后用关系式表示出来即可【解析】图中的阴影部分是:MP的子集,不属于集合 S,属于集合 S 的补集即是 CIS 的子集则阴影部分所表示的集合是(MP) IS故选:C【点评】本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算,同时考查了识图能力,属于基础题(三)隐含条件陷阱例 3. 集合 ,则集合 与集合 之间的关系( )ABA. B. C. D. ABABB【答案】A【解析】设 ,则 ,说明集合 A 的元素一
8、定是集合 B 的a元素,则 ,选 A.B练习 1 已知集合 ,则 ( )BA. B. C. D. ,0,1,01,2【答案】A【解析】 , ,则,选 B. (2)由题意得函数 在区间 上单调递减, , , , , ,解得 ,实数 的取值范围是 【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式(组)求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义练习 1.设集合 , ,若 ,求实数 a 的取值范围;若 ,求实数 a 的取值范围【答案】 (1) (2)【分析】 (1)由题意得 , ,根据 可得 ,从而可解出
9、 的取值范围;(2)先求出 ,根据 可得到 ,解出 的取值范围即可【解析】由题意得 ,;(1) , ,解得 ,又 , ,实数 的取值范围为 (2)由题意得 , , ,解得 实数 的取值范围为 【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立(六)子集中忽视空集问题例 6【云南省 2018-2019 学年 期中考试 】已知集合 ,若 ,则的取值集合是( )A B C D 【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合 , 化简,然后再根据 分类讨论【解析】集合
10、若 ,即 时,满足条件 ;若 ,则 . 或 或综上, 或 或 .故选 C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合 时没有注意 时 的特殊情况练习 1.已知集合 , (1)若 ,求 ;(2)若 ,求实数 的取值范围【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点(七)新定义问题例 7 【清华附属中 2018-2019 学年试题】集合 A,B 的并集 AB 1,2 ,当且仅当 AB时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B )对的个数有_.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析
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