高考数学命题热点名师解密专题：数列的通项公式的求解方法（理）

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1、一 【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.二 【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质. 练习 1. 已知数列 na满足 1， ，则数列 1na的前 40 项的和为（ ）A. 1920 B. 3546 C. 8 D. 204【答案】D【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两

2、项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。练习 2. 数列 na满足 1，且对于任意的 *nN都有 ，则 等于（ ）A. 20167 B. 432 C. 0178 D. 432【答案】D【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项

3、，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的练习 3. 已知数列 na满足 1， 23a，若 ，则数列na的通项 n（ ）A. 12 B. C. 13n D. 12n【答案】B【解析】 , , ,则 ,数列 1na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，利用叠加法， ，则 12na.选 B. 【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律 )、比较(比较已知数列) 、归纳、转化 (转化为特殊数列)、联想( 联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；

4、 拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用 处理.练习 1. 数列 的一个通项公式可能是（ ）A. 12n B. 12n C. 12n D. 12n【答案】D练习 2.数列 0.3，0.33，0.333，0.333 3，的通项公式是 an( )A. (10n1) B. C. (10n1) D. (10n1).【答案】B【解析】1 0.9，1 0.99，故原数列的通项公式为 an .选 B.练习 3两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子

5、表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数 5，9，14，20，为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第 2017 项为 2017a，则 20175（ ）A. B. C. 10823 D. 0178【答案】C【方法总结】：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想4.项和互化求通项例 4.设 是数列 的前 项和，且 ，则 na=（ ）A. 132nB. 123nC. 13nD. 3【答案】D【解析】由题意可得： ，考查所给选项：，则选项 B 错误

6、；当 2n时： ，即 ，考查 ACD 选项： ,则选项 AC 错误，本题选择 D 选项.【方法规律总结】：给出 nS 与 a 的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用 转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.练习 1. 设数列 na满足 ， 通项公式是（ ）A. 12n B. 12n C. 12na D. 12na【答案】C练习 2. 设数列 na满足 ，通项公式是（ ）A. 12n B. 12n C. 12na D. 12na【答案】C【解析】当 时， 1，.(1) ， (2),(1)-(2)得： 12na ，

7、12n， a符合，则通项公式是 12na，选 C.练习 3. 已知正项数列 n的前 项和为 nS，且 ， 1m，现有如下说法： 25a；当 为奇数时， ； 则上述说法正确的 个数为（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】D【方法总结】：给出 nS与 a的递推关系求 na，常用思路是：一是利用 转化为 na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S的递推关系，先求出 nS与 之间的关系，再求 n. 应用关系式 时，一定要注意分 1,2n两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.5.构造辅助数列求通项（1） 的形式例 5.数列 na满足 则 6a（ ）A.

8、33 B. 32 C. 31 D. 34【答案】A【解析】数列 na满足 ， 是以 2 为公比的等比数列，首项为 1，得到 63.a故答案为：A。 练习 1. 已知数列 an满足 a12，a n+13a n+2，则 an的通项公式为 A. an2n-1 B. an3 n-1 C. an2 n-1 D. an6n-4【答案】B【解析】 ，得 1n是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，则 13na，即 na。故选 B。（2） 的形式例 6 设 nS为数列 na的前 项和， ，且 123a.记 nT 为数列 1naS的前 项和，若 ，则 m的最小值为（ ）A. 13 B. 2 C. 3 D. 1【

9、答案】A【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和 0 比研究单调性，直接研究表达式的单调性。练习 1. 已知数列 na的前 项和为 =21nS， ，则数列 nb的前 项和为（ ）A. 12n B. C. 2 D. 12n【答案】C练习 2. 已知数列 na满足 ，则 na的通项公式为（ ）A. 23na B. 23n C. D. 【答案】C【解析】由 得 ， ，当 1n时也符合，数列的通项公式为.故选 C.

10、 练习 2. 已 知数列 na满足 10， ， 则 13a ( )A. 121 B. 136 C. 144 D. 169【答案】C练习 3. 数列 na中，已知对任意正整数 n，有 ，则（ ）A. 21n B. 413n C. 213n D. 41n【答案】B【解析】 12na（ ）当 1,也适合 12na，故所以 2na是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，所以 ，故选 B.练习 4. 已知数列 则 7a （ ）A. 12 B. 4 C. 1或 1 D. 2【答案】B【方法总结】：已知数列 要求通项，可以两边取倒数，得到 1na是等差数列，已知 1a可以求出 1a ，再根据等差数列的性质求

11、出数列的通项公式， ，再 取倒数可以求出 2n，代入 n=7,求得结果即可.练习 5. 已知数列 na的首项 ，则 20a（ ）A. 9 B. 10 C. 39 D. 401【答案】C【解析】由 ，可得 ，+1na是以 为公差，以 1为首项的等差数列 ， ，故选 C.7.倒序相加求通项例 7. 已知 是 R上的奇函数，则数列 na的通项公式为（ ） A. na B. 2na C. 1na D. 【答案】C【方法总结】：本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，奇函数的应用与数列第一项联系起来，就知道该怎么对 x 赋值了，继续推导，要求学生理解

12、f（t）+f（1-t）=2本题有一定的探索性，难度大. 练习 2.已知数列 na满足 13， 10， *Nn，则 2016a（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由题意，对 10进行变形，得 则 ，即 4 个一循环，那么 ，故选 A.【方法总结】：本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键.练习 2. 在数列中， ，则 15a（ ）A. 2 B. 1 C. 2 D. 【答案】A练习 3. 已知数列 满足 ，则 （ ）A. 0 B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， 是周期为 的数列，故选 C. 10.裂项求通项例 10. 数列 na满足 1，且对任意的 *,mnN都有 ，则 等于（ ）A. 20167 B. 8 C. 4032 D. 2417【答案】C【解析】 对任意的 *,mnN都成立， ，即， ，把上面 1n个式子相加可得， ，从而有 ， ，故选 C.【方法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问 题，导致计算结果错误.