高考数学命题热点名师解密专题:统计的命题规律(理)
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1、【学习目标】1会收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图,会利用散点图直观认识变量间的相关关系;2了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程;3了解独立性检验(只要求 22 列联表)的基本思想、方法及其简单应用;4了解回归的基本思想、方法及简单应用【知识要点】1抽样方法(1)抽样要具有随机性、等可能性,这样才能通过对样本的分析和研究更准确的反映总体的情况,常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样(2)简单随机抽样是指一个总体的个数为 (较小的有限数),通过逐个抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等简单随机抽样的两种常用方法为抽签法和随机数表
2、法(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成,常将总体按差异分成几个部分,然后按各部分所占比例抽样,其中所分成的各部分叫做层(4)系统抽样是当总体中的个数较多时,将总体均分成几部分,按事先按确定的在各部分抽取2总体分布的估计(1)作频率分布直方图的步骤:求极差(即一组数据中最大值与最小值的差 )决定组距与组数将数据分组列频率分布表(下图)分组 频数 频率 累计频率 01)t,1r1f 1f2,22 2 1kt ,krkf画频率分布直方图,将区间 )ab, 标在横轴上,纵轴表示频率与组距的比值,以每个组距为底,以各频率除以组距的商为高,分别画矩形,共得 k个矩形,这样得到的图形叫频率分布直方图频
3、率分布直方图的性质:第 i个矩形的面积等于样本值落入区间 1)iit , 的频率;由于,所以所有小矩形的面积的和为 1.(2)连接频率分布直方图中各小 长方形上边的中点,就得到频率分布折线图,随着样本容量的增加,折线图会越来越近似于一条光滑曲线,称之为总体密度曲线(3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图,茎是中格中间的一列数,叶是从茎旁边长出来的一列数.用茎叶图表示数据有两个突出的优点:一是从统计图上没有原始信息的损失,所有的数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示3平均数和方差的计算(1)如果有 n个数据 ,则叫做这组数据的平均数,叫做这组数据的方差
4、,而 s叫做标准差(2)公式(3)当一组数据 中各数较大时,可以将各数据减去一个适当的常数 a,得到 1xa ,2xa , nxa ,则4利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数值.(2)平均数:平均数的估计值等 于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和. 6.独立性检验(1)分类变量用变量的不同“值” ,表示个体所属的不同类别,这种变量称为分类变量.例如:是否吸烟,宗教信仰,国籍等.(2)列联表:即列出两个分类变量的频数表:一般地,假设有两个分类变量 x和 y,它们的值域分别为12,x和 12y,,其
5、样本频数列联表(称为 22 列联表) 为:1y2y合计1xabab2cdcd合计 n其中 为样本容量.(3)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度,具体做法是:根据观测数据计算由公式 所给出的检验随机变量的观测值 k,并且 k的值越大,说明“ X与 Y有关系”成立的可能性越大,同时可以利用以下数据来确定“ X与 Y有关系”的可信程度.这种利用随机变量 2K来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分 类 变量的独立性检验.三高考命题类型分析(一)随机抽样例 1从 2018 名学生中选取 50 名学生参加某一活动,若采用下面的方
6、法选取:先用简单随机抽样从 2018人中剔除 18 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人,则在这 2018 人中,每个人入选的概率 ( )A不全相等 B均不相等 C都相等,且为 D都相等,且为【答案】C【解析】由简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样,从 个个体中抽取 个个体,则每个个体被抽到的概率都等于 ,即可得解.练习 1下列说法中错误的是( )A先把高二年级的 2000 名学生编号为 1 到 2000,再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生,其编号为 ,然后抽取编号为 , , 的学生,这样的抽样方法是系统抽样法;B独立性检验中, 越大,则越有把
7、握说两个变量有关;C若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数 的值越接近于 1;D若一组数据 1、a、3 的平均数是 2,则该组数据的方差是 .【答案】C【解析】对选项逐个进行分析,排除即可得到答案.【详解】对于 A,根据个体数目较多,且没有明显的差异,抽取样本间隔相等,知这种抽样方法是系统抽样法,A 正确;对应 B,独立性检验中, 越大,应该是说明两个变量有关系的可能性大,即有足够的把握说明两个变量有关,B 正确;对于 C,两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数| r|的值越接近于 1,C 错误;对于 D,一组数据 1、a、3 的平均数是 2,a2;该组数据的方差是 s2 (12) 2+
8、(2 2) 2+(3 2) 2 ,D 正确故选:C.(二)样本估计总体例 2某校高一年级有甲,乙,丙三位学生,他们前三次月考的物理成绩如表:第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩学生甲 80 85 90学生乙 81 83 85学生丙 90 86 82则下列结论正确的是( )A甲,乙,丙第三次月考物理成绩的平均数为 86B在这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分最高C在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定D在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大【答案】C【解析】由表格中数据,利用平均数公式以及方差的定义与性质,对选项中的命题逐一判断正误即可【详解】故选 C 上购物经历的人数,
9、所得数据的茎叶图如图所示,则这 20 个班有网购经历的人数的众数为( )A24 B37 C35 D48【答案】C【解析】根据茎叶图中的数据,利用众数的定义写出结果【点睛】本题主要考查利用茎叶图求众数,意在考查对基础知识的掌握与应用,是基础题练习 2已知一组数据 3,4,5,a,b 的平均数是 4,中位数是 m,从 3,4,5,a,b,m 这组数据中任取一数,取到数字 4 的概率为 ,那么 3,4,5,a,b 这组数据的方差为( )A B 2 C D【答案】D【解析】根据 3,4,5,a,b 的平均数是 4,中位数是 m,从 3,4,5,a,b,m 这组数据中任取一数,取到数字 4 的概率为 ,
10、可知 ,由方差公式求解即可.【详解】因为从 3,4,5,a,b,m 这组数据中任取一数,取到数字 4 的概率为 ,所以3,4,5,a,b,m 这 6 个数字中有 4 个 4,所以 ,所以故选 D.(三)频率分布直方图例 3.例 3.2017 年 APEC 会议于 11 月 10 日至 11 日在越南岘港举行,某研究机构为了了解各年龄层对APEC 会议的关注程度,随机选取了 100 名年龄在20 ,45内的市民举行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分组区间分布为20,25) ,25.30) ,30,35) ,35,40) ,40 ,45) (1)求选取的市民年龄在30,35)内的人
11、数;(2)若从第 3,4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈,再从中选取 2 人参与 APEC 会议的宣传活动,求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在35,40)内的概率【答案】 (1)30; (2) .【解析】 (1)由频率分布直方图可得年龄在 内的频率为 ,从而可得结果;(2)利用分层抽样的方法可知,所选的 5 人中,从第 3 组选 3 人,从第 4 组选 2 人,利用列举法,求出总事件以及至少有一人的年龄在 内的事件,再利用古典概型概率公式即可得出结果.【详解】 (1)由频率分布直方图可得年龄在30,35)内的频率为 0.065=0.3,则选取的市民年龄在30,35)内的人数
12、0.3100=30; 练习 2如图是一组样本数据的频率分布直方图,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A12.5,12.5 B13,13 C13.5,12.5 D13.5,13【答案】B【解析】本题首先要通过频率分布直方图得出第一组、第二组、第三组的频率,然后根据平均数的定义计算出平均数,最后根据中位数定义计算出中位数,即可得出答案。【点睛】频率分布直方图问题需要注意:在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率/组距,而不是频率;利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时,应注意三点:最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;平均数
13、是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。练习 3某市要对 2000 多名出租车司机的年龄进行调査,现从中随机抽出 100 名司机,已知该市的司机年龄都在20,45之间,根据调査结果得出司机的年龄情况的频率分布直方图如图所示 ,估计该市出租车司机年龄在频率是( )A0.02 B0.04 C 0.2 D0.84【答案】C【解析】根据题意补全频率直方图,即可求出结果【详解】根据频率分布直方图知,在20,30)岁之间的频率为1( 0.01+0.07+0.06+0.02)5=0.2 ,故选:C(四)茎叶图例 4将甲、乙两名同学 5 次物理测验的
14、成绩用茎叶图表示如图,若甲、乙两人成绩的中位数分别为,则下列说法正确的是( )A ;乙比甲成绩稳定 B ;甲比乙成绩稳定C ;乙比甲成绩稳定 D ;甲比乙成绩稳定【答案】A【解析】中位数为把数据按顺序排列后,处于中间位置的数,分别写出甲乙的中位数即可比较其大小;茎叶图中,数据越集中就越稳定,因此可得乙比甲成绩稳定.练习 1为比较甲、乙两地某月 12 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 12 时的气温数据(单位: )制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:甲地的平均气温低于乙地的平均气温;甲地的平均气温高于乙地的平均气温;甲地气温的标准差小于乙地气温的标准差;甲地气温的标准差大于
15、乙地气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )A B C D【答案】B【解析】由已知的茎叶图,我们易分析出甲、乙两地某月 12 时的气温抽取的样本温度,进而求出两组数据的平均数、方差,可得答案所以甲地该月 12 时的气温的标准差大于乙地该月 12 时的气温标准差.正确,故选 B. 练习 1已知一个样本数据 x,1,5, 其中点 是直线 和圆 的交点,则这个样本的标准差为 A5 B2 C D【答案】D【解析】求出 x,y 的值,求出数据的平均数,从而求出数据的标准差即可【详解】由 ,解得: 或 ,故数据为: ,1,3,5,数据的平均数是 2,故数据的方差是 ,故标准差是 ,故选:
16、 D练习 2若样本 的平均数是 ,方差是 ,则对样本,下列结论正确的是 ( )A平均数为 14,方差为 5 B平均数为 13,方差为 25C平均数为 13,方差为 5 D平均数为 14,方差为 2【答案】C【解析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可【点睛】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算,根据相应的公式进行计算是解决本题的关键(七)极差、方差、标准差例 7已知某 7 个数的平均数为 3,方差为 ,现又加入一个新数据 3,此时这 8 个数的平均数为 x,方差为 ,则( )A , B , C , D ,【答案】B【解析】由题设条件,利用平均数和方差的计算公式,进行求解,即可得到答案.
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