2019年浙江省杭州市萧山区育才女子中学中考数学模拟试卷（含答案解析）

《2019年浙江省杭州市萧山区育才女子中学中考数学模拟试卷（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年浙江省杭州市萧山区育才女子中学中考数学模拟试卷（含答案解析）（22页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2019 年浙江省杭州市萧山区育才女子中学中考数学模拟试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1函数 y（x +1） 22 的最小值是（ ）A1 B1 C2 D22从 1978 年 12 月 18 日党的十一届三中全会决定改革开放到如今已经 40 周年了，我国 GDP（国内生产总值）从 1978 年的 1495 亿美元到 2017 年已经达到了 122400 亿美元，全球排名第二，将 122400 用科学记数法表示为（ ）A12.2410 4 B1.22410 5 C0.122410 6 D1.22410 63若 2m5，4 n3，则 43nm 的值是（ ）A B C2

2、D44“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程 S 和时间 t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）下列叙述正确的是（ ）A赛跑中，兔子共休息了 50 分钟B乌龟在这次比赛中的平均速度是 0.1 米/ 分钟C兔子比乌龟早到达终点 10 分钟D乌龟追上兔子用了 20 分钟5一组数据：201、200、199、202、200，分别减去 200，得到另一组数据：1、0、1、2、0，其中判断错误的是（ ）A前一组数据的中位数是 200B前一组数据的众数是 200C后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去 200D后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去 2006如

3、图，已知直线 AB、CD 被直线 AC 所截，ABCD，E 是平面内任意一点（点 E 不在直线AB、 CD、AC 上），设BAE ，DCE下列各式：+， ， 360 ，AEC 的度数可能是（ ）A B C D7把抛物线 y2x 2 向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）Ay2（x+1） 2+1 By2（x1） 2+1Cy 2（x 1） 21 Dy2（ x+1） 218现在把一张正方形纸片按如图方式剪去一个半径为 40 厘米的圆面后得到如图纸片，且该纸片所能剪出的最大圆形纸片刚好能与前面所剪的扇形纸片围成一圆锥表面，则该正方形纸片的边长约为（ ）厘米（不计损耗、重叠，

4、结果精确到 1 厘米， 1.41， 1.73）A64 B67 C70 D739如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，DE 平分 ADC 交 AB 于点 E，BCD60，AD AB，连接 OE下列结论：S ABCDADBD；DB 平分CDE；AO DE；S ADE5S OFE ，其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为（ ）A9 人 B10 人 C11 人 D12 人二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11若二次函数 y2（x +1） 2+3 的图象上有三个不同的点

5、 A（x 1，4）、B（x 1+x2，n）、C（x 2， 4），则 n 的值为 12某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是 13如图，已知函数 yx +2 的图象与函数 y （k 0）的图象交于 A、B 两点，连接 BO 并延长交函数 y （k0）的图象于点 C，连接 AC，若ABC 的面积为 8则 k 的值为 14如图 1 为两个边长为 1 的正方形组成的 21 格点图，点 A，B，C，D 都在格点上，AB，CD交于点 P，则 tanBPD ，如果是 n 个边长为 1 的正方形组成的 n1 格点图，如图2，那么 ta

6、nBPD 15如图，动点 O 从边长为 6 的等边ABC 的顶点 A 出发，沿着 ACBA 的路线匀速运动一周，速度为 1 个单位长度每秒以 O 为圆心、 为半径的圆在运动过程中与ABC 的边第二次相切时是点 O 出发后第 秒16如图，将半径为 1、圆心角为 60的扇形纸片 AOB，在直线 l 上向右作无滑动的滚动至扇形AOB处，则顶点 O 经过的路线总长为 三解答题（共 8 小题，满分 20 分）17先化简，再求值：（x2y） 2+（x +y）（x4y），其中 x5，y 18解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来3x+（13x） 1719如图，已知ABC（1）AC 的长等于 ；（2）先将

7、ABC 向右平移 2 个单位得到ABC，则 A 点的对应点 A的坐标是 ；（3）再将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 90后得到 A1B1C1，则 A 点对应点 A1 的坐标是 （4）点 A 到 A所画过痕迹的长 20济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校 30 个班中随机抽取了4 个班（用 A，B，C，D 表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图请根据以上信息，回答下列问题：（l）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）；（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中 C 班作品数量所对应的圆心角度数 （3）请估计全校共征集作

8、品的什数（4）如果全枝征集的作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率21甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20%问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？22如图，在ABC 中，ABAC ，以 AC 为直经作O 交 BC 与 D 点，过点 D 作O 的切线 EF，交 AB 于点 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：FEAB （2）当 AE6，AF 1

9、0 时，求 BE 的长23如图，抛物线 yax 2+bx（a0）经过原点 O 和点 A（2，0）（1）写出抛物线的对称轴与 x 轴的交点坐标；（2）点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在抛物线上，若 x1x 2 1，比较 y1，y 2 的大小；（3）点 B（1，2）在该抛物线上，点 C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，求直线 AC 的函数关系式24如图，已知二次函数 yax 2+bx3a 经过点 A（1， 0），C（0，3），与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在

10、点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年浙江省杭州市萧山区育才女子中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】抛物线 y（x +1） 22 开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2 即为函数的最小值【解答】解：根据二次函数的性质，当 x1 时，二次函数 y（x1） 22 的最小值是2故选：D【点评】本题考查对二次函数最值求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法2【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的

11、形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：1224001.22410 5，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案【解答】解：2 m5，4 n 3，4 3nm （4 n） 34m（4 n） 3（2 m） 2 故选：B【点评】此题主

12、要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键4【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题【解答】解：由图象可得，赛跑中，兔子共休息了 501040 分钟，故选项 A 错误，乌龟在这次比赛中的平均速度是 5005010 米/分钟，故选项 B 错误，乌龟比兔子先到达 605010 分钟，故选项 C 错误，乌龟追上兔子用了 20 分钟，故选项 D 正确，故选：D【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答5【分析】由中位数、众数、平均数及方差的意义逐一判断可得【解答】解：A前一组数据的中位数是 200，正确

13、，此选项不符合题意；B前一组数据的众数是 200，正确，此选项不符合题意；C后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去 200，正确，此选项不符合题意；D后一组数据的方差等于前一组数据的方差，此选项符合题意；故选：D【点评】本题主要考查方差、中位数、众数、平均数，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的意义6【分析】根据点 E 有 6 种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可【解答】解：（1）如图，由 ABCD，可得AOCDCE 1，AOCBAE 1+AE 1C，AE 1C（2）如图，过 E2 作 AB 平行线，则由 ABCD，可得1BAE 2，2D

14、CE 2，AE 2C+（3）如图，由 ABCD，可得BOE 3DCE 3，BAE 3BOE 3+AE 3C，AE 3C（4）如图，由 ABCD，可得BAE 4+AE 4C+DCE 4 360，AE 4C360AEC 的度数可能为 ，+，360 （5）（6）当点 E 在 CD 的下方时，同理可得，AEC 或 故选：D【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等7【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式【解答】解：函数 y2x 2 的顶点为（0，0），向上平移 1 个单位，再向右平移

15、 1 个单位的顶点为（1，1），将函数 y2x 2 的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为y2（x1） 2+1，故选：B【点评】考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点8【分析】设出与小圆的半径，利用扇形的弧长等于圆的周长得到小圆的半径，扇形的半径与小圆半径相加，再加上 倍的小圆半径即可得正方形的对角线长，除以 就是正方形的边长【解答】解：设小圆半径为 r，则：2r ，解得：r10 ，正方形的对角线长为：40 +10 +10 50 +20，正方形的边长为：50+10

16、 64，故选：A【点评】本题用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意扇形的半径与小圆半径相加，再加上 倍的小圆半径即为得正方形的对角线长，对角线除以 即为正方形的边长9【分析】求得ADB90，即 ADBD ，即可得到 SABCDADBD；依据CDE60，BDE30，可得 CDBBDE，进而得出 DB 平分 CDE；依据 RtAOD 中，AOAD，即可得到 AODE；依据 OE 是ABD 的中位线，即可得到 OEAD ，OE AD，进而得到OEFADF，依据 SADF 4S OEF ，S AEF 2S OEF ，即可得到 SADE 6S OFE 【解答】解：BADBCD60

17、，ADC120，DE 平分ADC，ADEDAE60AED ，ADE 是等边三角形，ADAE AB，E 是 AB 的中点，DEBE，BDE AED 30，ADB90，即 ADBD ，S ABCDADBD ，故正确；CDE60，BDE30，CDBBDE，DB 平分CDE，故 正确；RtAOD 中，AOAD，AODE ，故 错误；O 是 BD 的中点，E 是 AB 的中点，OE 是ABD 的中位线，OEAD ，OE AD，OEFADF，S ADF 4S OEF，且 AF2OF ，S AEF 2S OEF ，S ADE 6S OFE，故错误；故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定

18、和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式以及相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键10【分析】设参加酒会的人数为 x 人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯 55 次，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设参加酒会的人数为 x 人，根据题意得： x（x 1） 55，整理，得：x 2x 1100，解得：x 111，x 210（不合题意，舍去）答：参加酒会的人数为 11 人故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11【分

19、析】先根据点 A，C 的坐标，建立方程求出 x1+x22，代入二次函数解析式即可得出结论【解答】解：A（x 1，4）、C （x 2，4）在二次函数 y2（x+1） 2+3 的图象上，2（x+1） 2+34，2x 2+4x+10，根据根与系数的关系得，x 1+x22，B（x 1+x2，n）在二次函数 y2（x+1） 2+3 的图象上，n2（2+1） 2+35，故答案为 5【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出 x1+x22 是解本题的关键12【分析】直接根据中位数的定义求解【解答】解：将这 6 位同学的成绩重新排列为 75、75、84、86、92、99，所以这六位同学

20、成绩的中位数是 85，故答案为：85【点评】本题考查了中位数的概念找中位数时需要对这一组数据按照从大到小或从小到大的顺序进行排序13【分析】连接 OA根据反比例函数的对称性可得 OBOC，那么 SOAB S OAC SABC4求出直线 yx +2 与 y 轴交点 D 的坐标设 A（a，a+2），B（b，b+2），则C（b，b2），根据 SOAB 4，得出 ab4 根据 SOAC 4，得出ab2 ，与联立，求出 a、b 的值，即可求解【解答】解：如图，连接 OA由题意，可得 OBOC，S OAB S OAC SABC 4设直线 yx+2 与 y 轴交于点 D，则 D（0，2），设 A（a，a+2

21、 ），B（b，b+2），则 C（b，b2），S OAB 2（ab）4，ab4 过 A 点作 AM x 轴于点 M，过 C 点作 CNx 轴于点 N，则 SOAM S OCN k，S OAC S OAM +S 梯形 AMNCS OCN S 梯形 AMNC4， （b2+a+2）（ba）4，将代入，得ab2 ，+，得2b6，b3，得 2a2，a1，A（1，3），k133故答案为 3【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中根据反比例函数的对称性得出 OBOC 是解题的突破口14【

22、分析】（1）作 BHDP 于 H 点，设小正方形的边长为 1，根据勾股定理可计算出CD ，AB ，再根据三角形面积公式可计算出 DH ，由 BCAD 得到APDBPC，利用相似比得到 PD2PC，所以 PD CD ，接着在 RtPHC 中，根据勾股定理计算出 PH ，最后利用正切的定义求解（2）类比（1）的解题过程，即可解答【解答】解：作 DHBP 于 H 点，如图，设小正方形的边长为 1，则 AD2，在 Rt BCD 中， CD ，在 Rt ABC 中，AB ， DHAB ADBD，DH ，ADBC，APDBPC， ，即 DP2PC，PD CD ，在 Rt PHD 中，PH ，tanBPD

23、3如果是 n 个边长为 1 的正方形组成的 n1 格点图，那么 tanBPD 故答案为：3， 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用15【分析】若以 O 为圆心，以 为半径的圆在运动过程中与 ABC 的边第二次相切，即为当点O 在 AC 上，且和 BC 边相切的情况作 OD BC 于 D，则 OD ，利用解直角三角形的知识，进一步求得 OC2，从而求得 OA 的长，进一步求得运动时间【解答】解：根据题意，则作 OD BC 于 D，则 OD ，在直角三角形 OCD 中，C 60，OD ，OC2，OA624，

24、以 O 为圆心、 为半径的圆在运动过程中与 ABC 的边第二次相切时是出发后第 4 秒故答案为：4【点评】本题考查了直线和圆相切时数量之间的关系的应用，能够正确分析出以 O 为圆心、为半径的圆在运动过程中与ABC 的边第二次相切时的位置是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中16【分析】仔细观察顶点 O 经过的路线可得，顶点 O 经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可【解答】解：顶点 O 经过的路线可以分为三段，当弧 AB 切直线 l 于点 B 时，有 OB直线 l，此时 O 点绕不动点 B 转过了 90；第二段：OB直线 l 到 OA 直线 l，O 点绕动点转动，而这一

25、过程中弧 AB 始终是切于直线 l 的，所以 O 与转动点的连线始终 直线 l，所以 O 点在水平运动，此时 O 点经过的路线长BAAB 的弧长第三段：OA直线 l 到 O 点落在直线 l 上，O 点绕不动点 A 转过了 90所以，O 点经过的路线总长 S + + 故答案为 【点评】本题关键是理解顶点 O 经过的路线可得，则顶点 O 经过的路线总长为三个扇形的弧长三解答题（共 8 小题，满分 20 分）17【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式x 24xy+4y 2+x24xy+xy4y 22x

26、 27xy，当 x5，y 时，原式50 743【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键18【分析】先求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将解集在数轴上表示出来【解答】解：3x+13x 17，2x4，x2；把不等式的解集在数轴上表示为：【点评】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆

27、点表示19【分析】（1）根据勾股定理求解可得；（2）ABC 向右平移 2 个单位，则点 A向右平移两个单位，据此写出点 A的坐标；（3）画出旋转图形后，直接写出 A 点对应点 A1 的坐标；（4）由平移的定义可得【解答】解：（1）AC 的长为 ，故答案为： ；（2）点 A 坐标为（1，2），向右平移 2 个单位后得到（1，2），故答案为：（1，2）；（3）如图所示：由图可知点 A1 的坐标为（3，2）；（4）点 A 到 A所画过痕迹的长为 2，故答案为：2【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键20【分析】（1）杨老师从全校 30 个班中随机抽取了

28、 4 个班，属于抽样调查（2）由题意得：所调查的 4 个班征集到的作品数为：6 24（件），C 班作品的件数为：2446410（件）；继而可补全条形统计图；（3）先求出抽取的 4 个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班，属于抽样调查故答案为：抽样调查（2）所调查的 4 个班征集到的作品数为：6 24 件，C 班有 24（4+6+4）10 件，补全条形图如图所示，扇形统计图中 C 班作品数量所对应的圆心角度数 36

29、0 150；故答案为：150；（3）平均每个班 6 件，估计全校共征集作品 630180 件（4）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，两名学生性别相同的有 8 种情况，恰好选取的两名学生性别相同的概率为 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小同时考查了概率公式21【分析】如果设甲商品原来的单价是 x 元，乙商品原来的单价是 y 元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元”可得出方程为 x+y100 根据“甲商品降价 10%，乙

30、商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了 20%”，可得出方程为x（110%）+ y（1+40%） 100（1+20%）【解答】解：设甲种商品原来的单价是 x 元，乙种商品原来的单价是 y 元，依题意得，解得： 答：甲种商品原来的单价是 40 元，乙种商品原来的单价是 60 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组22【分析】（1）连接 OD，由 EF 为 O 的切线，利用切线的性质得到 OD 与 EF 垂直，利用同圆的半径相等和等边对等角得到 ODAB，由与平行线中的一条直线垂

31、直，与另一条也垂直，即可得证；（2）如图 2，连接 OD，过 O 作 OGAB 于 G，先根据勾股定理求 EF8，根据三角函数tanF ，设 OD3x，DF4x，则 OF5x，表示 AG ，根据 AE6，列方程 3x+ 6，可得 x 的值，计算 BE 的长【解答】证明：（1）如图 1，连接 OD，（1 分）OCOD，ODCOCD，又ABAC，OCDB，ODCB，ODAB，ED 是 O 的切线，OD 是 O 的半径，ODEF，ABEF；（2）如图 2，连接 OD，过 O 作 OGAB 于 G，RtAEF 中，AE 6，AF10，EF8，（5 分）tanF ，设 OD3x，DF4x，则 OF5x，

32、OAOC3x，FC 2x ，OGEF，AOG F，sinAOGsinF ， ，AG ，（8 分）四边形 EDOG 为矩形，EGOD 3 x，AE6，3x+ 6，x ，BEABAEACAE 6x66 6 【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键23【分析】（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与 x 轴的交点坐标；（2）根据抛物线的对称轴与 x 轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是直线 x1，然后根据函数图象的增减性进行解题；（3）根据已知条件可以求得点 C 的坐标是（3，2），所以根据点 A、C 的

33、坐标来求直线 AC 的函数关系式【解答】解：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是 x1与 x 轴的交点坐标（0，0）（2，0）（2）抛物线的对称轴是直线 x1根据图示知，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，所以，当 x1x 21 时，y 1 y2；（3）对称轴是直线 x1，点 B（1，2）在该抛物线上，点 C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，点 C 的坐标是（3，2）设直线 AC 的关系式为 ykx +b（k 0）则，解得 直线 AC 的函数关系式是： y2x4【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征解答该题时，需要熟悉二次函数图象的对称

34、性24【分析】（1）将 A（1，0）、B（3，0）代入二次函数 yax 2+bx3a 求得 a、b 的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段 BC、CD、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以 CD 为底和以 CD 为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起 P 点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解【解答】解：（1）二次函数 yax 2+bx3a 经过点 A（ 1，0）、C（0，3），根据题意，得 ，解得 ，抛物线的解析式为 yx 2+2x+3（2）由 yx 2+2x+3（x 1） 2+4 得，D 点坐标为（1，4），CD ，BC 3 ，BD 2 ，C

35、D 2+BC2（ ） 2+（3 ） 220，BD 2（2 ） 220，CD 2+BC2BD 2，BCD 是直角三角形；（3）存在yx 2+2x+3 对称轴为直线 x1若以 CD 为底边，则 P1DP 1C，设 P1 点坐标为（x ，y ），根据勾股定理可得 P1C2x 2+（3y） 2，P 1D2（x 1） 2+（4y）2，因此 x2+（3y ） 2（x 1） 2+（4y ） 2，即 y4x又 P1 点（x，y）在抛物线上，4xx 2+2x+3，即 x23x+10 ，解得 x1 ，x 2 1，应舍去，x ，y4x ，即点 P1 坐标为（ ， ）若以 CD 为一腰，点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x1 对称，此时点 P2 坐标为（2，3）符合条件的点 P 坐标为（ ， ）或（2，3）【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性