北京市丰台区2019届3月高三一模数学理科试卷（含答案）

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1、丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 1 / 11丰台区 2019 年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（理科）2019. 03（本试卷满分共 150 分，考试时间 120 分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3. 请严格按照答题卡上题号在

2、相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1复数 的共轭复数是1iz（A） （B） （C） （D）i21i21i1i2已知集合 ，集合 若 ，则实数 的取值集合为,323,mBAm（A） （B） （C）1 1,（D） ,3设命题 ： ，则 为p(0,)ln1xx p（A） （B） 00(,)ln1xx（C） （D）(0,)ln1xx 00(,)l4执行如图所示的程序框图，

3、如果输入的 ，输出的1a 15S，那么判断框内的条件可以为a=-入a入S入k+S+k2k=1, S0丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 2 / 11（A） 6k（B） （C） （D） 7k5下列函数中，同时满足：图象关于 轴对称； ， 的 是y1212,(0,)xx21()0fxf（A） （B）1()fx()log|f（C） （D）cosf 12xf6已知 和 是两个不同平面， ， 是与 不同的两条直线，且 ，l12,l 1l， ，那么下列命题正确的是2l12l（A） 与 都不相交 （B） 与 都相交, l12,（C） 恰与 中的一条相交 （D） 至少与 中的一条相交l12,l 12,l7

4、已知 为椭圆 和双曲线 的公共焦点， 为它们的一个公共点，且12,F21xyMm： 2xNyn： P，那么椭圆 和双曲线 的离心率之积为P（A） （B） （C） （D）212128在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形若 是格点三角形，其中 ，且面积为 8，则该三角形边界上的AC (0,)A4,B格点个数不可能为（A）6 （B）8 （C）10 （D）12第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9已知平面向量 ， ，且 ，那么 _(13)，a(2,)mbabm10从 4 名男生、2 名女

5、生中选派 3 人参加社区服务如果要求恰有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为_11直线 与圆 （ 为参数）相交于 两点若 ，则 _1ykx2cos,iny ,MN|23k12若 的面积为 ，且 ，则 _ABC 3ABCA丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 3 / 1113已知函数 ()cos2)(0)fx函数 的最小正周期为 _；若函数 在区间 上有且只有三个零点，则 的值是_()fx4,314已知数列 对任意的 ，都有 ，且na*nN*na13,2nna，为 奇 数为 偶 数 .当 时， _；182019若存在 ，当 且 为奇数时， 恒为常数 ，则 _*mnnp三、解答题共 6 小题，

6、共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 （本小题 13 分）已知函数 ，且 .2()cos2)sin()3fxxaR()03f（）求 的值；a（）若 在区间 上是单调函数，求 的最大值.()f0,mm16 （本小题 13 分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务在此背景下，某信息网站在 15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 4 / 11（）若某大学毕业生从这 15 座城市中随机选择一座城市就业，

7、求该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的概率；（）现有 2 名大学毕业生在这 15 座城市中各随机选择一座城市就业，且 2 人的选择相互独立记 为选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的人数，求 的分布列和数学期望 ；X X()EX（）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为 ，月平均期望薪资对应数据的方差为 ，判21s 2s断 与 的大小 （只需写出结论）21s17 （本小题 14 分）如 图 ， 四 棱 柱 中 ， 底 面 为 直角梯形， ， ，平 面1ABCDABCDABCD B平 面 ， ， ABCD1601=22（）求证： ；1（）求二面角 的余弦值；（）在线段 上是否存在

8、点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，1BMC 1DA1DMB请说明理由 MCDBA1111CDBA丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 5 / 1118 （本小题 13 分）已知函数 .321()2)exfxax（）当 时，求函数 的单调区间；0a(f（）当 时，求证： 是函数 的极小值点.e 1x()fx19 （本小题 14 分）已知抛物线 过点 ， 是抛物线 上不同两点，且 （其中 是坐2:Cypx(2,)M,ABCABOM标原点） ，直线 与 交于点 ，线段 的中点为 .AOBPQ（）求抛物线 的准线方程；（）求证：直线 与 轴平行.Qx20 （本小题 13 分）设 且 ，

9、集合 .*nN2 1211(,)|,|2|(,1)nniiSxxxn （）写出集合 中的所有元素；（）设 ， ，证明：“ ”的充要条件12(,)na 12(,)nb S1niiab是“ ”；,3,ib（）设集合 ，求 中所有正数之和.12|(,)ni nTxxS nT丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 6 / 11（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区 20182019 学年度第二学期综合练习（一）高三数学（理科）答案 201903一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D A B A B C二、填空题（共

10、6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分）9 10 11 1212 13 ； 14 ；4621三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15.（共 13 分）解：（）2()cos2)sin3fxxa1co13cos2inxa1(s2)x.3sin2)xa因为 ,(0f所以 . 1a（）解法 1：因为 函数 的增区间为 . sinyx2,2kkZ由 ， ， 223kxk Z所以 ， .511 所以 函数 的单调递增区间为 ， . ()fx5,12kkZ因为 函数 在 上是单调函数，0,m丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 7 / 11所以 的最大值为

11、 . m12解法 2：因为 ，0,x所以 .233 因为 是函数 的增区间，,sinyx所以 .23m所以 .1所以 的最大值为 . 216 （共 13 分）解：（）设该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市为事件 A.因为 15 座城市中月平均收入薪资高于 8500 元的有 6 个，所以 . 2()5PA（）由（）知选中平均薪资高于 8500 元的城市的概率为 ，低于 8500 元的概率为 ，2535所以 X .2(,)5B；2390P；12()5C. 4()X所以随机变量 的分布列为：P0 1 292545所以 X的数学期望为 .()EX（） . 21s17.（共 14 分）解：（）

12、因为 平面 平面 ，平面 平面 ， ，ABCD1ABCD1ABAC平面 ，所以 平面 .1因为 平面 ，1丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 8 / 11所以 . 1BCA（）取 的中点 ，连结 .1NB平行四边形 中 ， .易证 .11A160BN1A由（）知 平面 .故以为 原点， 所在直线为坐标轴，C， ，建立如图所示空间直角坐标系 .xyz依题意， ，1(2,0)(,30),(1)AD设平面 的一个法向量为1D,n则 ，,， ， ） 则 ， 即 ，10An0xyz令 ，得 =y(3,)易知平面 的一个法向量为 ，1B=(,1)m设二面角 的平面角为 ，可知 为锐角，D则 ，32co

13、s, 7n即二面角 的余弦值为 1AB217（）解：设 ， ， DM0,(,)Mxyz因为 ， ， ，(,0)1(3)C所以 12,1,所以 .xyz(,3),C因为 平面M 1DA所以 0=n即 ，所以 3(12)301=2所以存在点 ，使得 平面 ，此时 C 1A1DMB18.（共 13 分）解：（）因为 0a， Rx所以 ()2)exfx，故 ()1ef，令 0x，得 ，所以单调递增区间为 (1,)；令 ()f，得 1，所以单调递区间为 , Nz yx MCDBA 1111CDBA丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 9 / 11（）由题可得 ()1(e)xfxa. 当 时，对任意 0

14、,+，都有 e0xa恒成立，0a所以当 1x时， ()fx；当 1时， ()f.所以函数 ()f在 处取得极小值，符合题意. 当 时，设 g()=exa，依然取 (0,+)x.0ea则 g()=x，令 0，得 ln，所以 在 0,ln)a上单调递减，在区间 (,)a上单调递增，所以 ming()(1ln)xa.因为 ，所以 （当且仅当 时，等号成立，此时 ）.0ea minl0gx =ea1x所以对任意 ，都有 exa恒成立. (,1)x所以当 0时， 0fx；当 1时， ()0f. 所以函数 ()fx在 1处取得极小值，符合题意.综上可知：当 时 是函数 的极小值点. ea x()fx19

15、（共 14 分）解：（）由题意得 ，解得 2=4p1所以抛物线 C 的准线方程为 2px（）设 ，221,yABy由 得 ，则 ，所以 OM 1AOMk2121yy21y所以线段 中点 的为纵坐标 BQQy直线 AO 方程为 12yx直线 BM 方程为 22xy丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 10 / 11联立解得 ，即点 的为纵坐标 12yxP1Py如果直线 BM 斜率不存在，结论也显然成立所以直线 与 轴平行 PQx20 （共 13 分）解：（）因为 ，所以 ，1|x2|x所以 中的元素有 . 2S(,)1,(),12（）先证充分性因为对于任意的 ，都有 ，所以 ,23,in ia

16、b1niiab再证必要性因为 ，所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所11|,|iixx|ix以 |2ii假设存在 ，使得 2,3jn |jjab所以 或 jjabjj若 ，不妨设 ，则 ，jj 0jj因为 ， 1|ab11 -12| |2jjj j jii jxx 所以 ， ，这与 矛盾10ji1ji1jjiiab所以 jjab当 时，必有 21所以 对于任意 ，都有 ,23,in iab综上所述， “ ”的充要条件是 “ ” 1niiabi(1,23,)n（）因为 ，1-112| |nn niixx 丰台区高三数学（理科）一模考试参考答案 11 / 11所以 为正数，当且仅当 1nix0nx因为 对于任意的正整数 ， 或 ，所以集合 中，元素为正数的个数为k12k1knT，112nnC个所以 所有的正数元素的和为 . 111224nnnx（若用其他方法解题，请酌情给分）