2019年高考数学文科第二伦专题：三角恒等变换与解三角形（命题猜想）

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1、【考向解读】 正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力2.预测高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题 【命题热点突破一】三角恒等变换例 1、 （2018 年全国 III 卷）若 ，则A . B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，故答案为 B.【变式探究】 【2017 山东，文 7】函数 最小正周期为A. B. C. D. 2

2、232【答案】C【变式探究】(1)已知 是第四象限角，且 sin ，则 tan _.( 4) 35 ( 4)【解析】基本法：将 转化为 .4 ( 4) 2由题意知 si n ， 是第四象限角，所以( 4) 35cos 0，所以 cos .( 4) ( 4) 1 sin2( 4) 45tan tan . ( 4) ( 4 2)1tan( 4)cos( 4)sin( 4)4535 43【变式探究】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（）证明：a+b=2 c;（）求 cosC 的最小值.【答案】 （）见解析；（）12【解析】（）由题意知 ，化简得 ，即 .因为 ,所以 .从而

3、 .由正弦定理得 2abc.【感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小解题时要注意利用三角形内角和定理，即 ABC.【答案】 23【解析】 0，cos Bcos C 2ac bcccos B2acos Cbcos C0，由正弦定理得 sin Ccos B2sin Acos Csin Bcos C0，sin（B C）2si n A

4、cos Csin A2sin Acos C0，sin A0，cos C ， C .12 23【变式探究】在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，且 csin Bbcos C3.(1)求 b；(2)若ABC 的面积为 ，求 c.212【解析】【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化只要知道了三角形三边之间的比例关系即 可利用余弦定理求出三角形的内角【命题热点突破三】 正、余弦定理的

5、应用例 3、 （2018 年天津卷）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c已知 bsinA=acos(B )（）求角 B 的大小；（）设 a=2，c =3，求 b 和 sin(2AB)的值【 答案】() B= ；() b= ， 【解析】（ ）在ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，又由 ，得，即 ，可得 又因为 ，可得 B= （）在 ABC 中，由余弦定理及 a=2，c =3，B= ，有 ，故 b= 由 ，可得 因为 ac，故 因此 ，所以， 【变式探究】【2017 课标 1，文 11】ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c。已知，a=2，c= ，则 C=

6、2A. B. C. D. 12643【答案】B【变式探究】已知一块四边形园地 ABCD 中，A45 ， B60，C105.若 AB2 m，BC 1 m，则该四边形园地 ABCD 的面积等于_m 2.【答案】 6 34【解析】 如图所示，连接 AC.根据余弦定理可得 AC m，易知ABC 为直角三角形，且3ACB90，BAC30 ，所以DAC 15，DCA 15，故ADC 为等腰三角形.设 ADDCx m，根据余弦定理得 x2x 2 x23，即 x2 3（2 ）. 332 3 3由余弦定理得 （负值舍去）.4. （2018 年北京卷）若 的面积为 ,且 C 为钝角，则B=_； 的取值范围是_.【

7、答案】 (1). (2). 5. （2018 年江苏卷）在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交于点 D，且 ，则 的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得 ，因此当且仅当 时取等号，则 的最小值为 9.6. （2018 年全国 I 卷） 的内角 的对边分别为 ，已知， ，则 的面积为 _【答案】【解析】 根据题意，结合正弦定理，可得 ，即 ，结合余弦定理可得 ，所以 A 为锐角，且 ，从而求得 ，所以 的面积为。7. （2018 年天津卷）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c已知 bsinA=acos(B )（）求角

8、B 的大小；（）设 a=2，c =3，求 b 和 sin(2AB)的值【答案】() B= ；()b= ， 【解析】1.【2017 课标 1，文 11】ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c。已知，a=2，c= ，则 C=2A. B. C. D. 12643【答案】B【解析】由题意 得，即 ，所以 34A由正弦定理 得 ， 即 ，1sin2C因为 ca，所以 CA，所以 ，故选 B6C2.【2017 课标 3，文 6】函数 的最大值为（ ）A B1 C D 65 3515【答案】A3.【2017 课标 II，文 3】函数 的最小正周期为A. B. C. D. 422【答案】

9、C【解析】由题意 ，故选 C. 7.【2017 浙江，13】已知ABC，AB=AC =4，BC=2 点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连结 CD，则BDC 的面积是_，cosBDC=_【答案】150,248.【2017 北京，文 9】在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin = ，则 sin =_13【答案】 【解析】因为角 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，所以.9.【2017 课标 3，文 15】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C=60，b= ，c=3，则6A=_.【答案】75【解析】由题意： ，

10、即 ，结合 可得 bc45B，则 .1.【2016 高考新课标 2 文数】若 ，则 sin2（ ）（A）725（B ）15（C）15（D）725【答案】D【解析】 ，且 ，故选 D. 2.【2016 高考浙江文数】 （本题满分 14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 已知 b+c=2a cos B.（I）证明：A =2B；（II）若ABC 的面积2=4aS，求角 A 的大小.【答案】 （I）证明见解析；（ II） 2或 【解析】（）由正弦定理得 ，故 ，于是 又 A， 0,B，故 ，所以 或 BA，因此 （舍去）或 2AB，所以， 23.【2016 高考山东文数

11、】 （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （）证明：a+b=2 c;（）求 cosC 的最小值.【答案】 （）见解析；（）12【解析】（）由题意知 ，化简得 ，即 . 因为 ,所以 .从而 .由正弦定理得 2abc.（）由（ ）知 ,所以 ，当且仅当 ab时，等号成立.故 cosC的最小值为12.1.【2015 高考四川，理 12】 .【答案】62.2.【2015 高考浙江，理 11】函数 的最小正周期是 ，单调递减区间是 【答案】 ， ， Zk.【解析】 ，故最小正周期为 ，单调递减区间为， Zk.3.【2015 高考天津，理 15】 （本小题

12、满分 13 分）已知函数 ， Rx(I)求 ()fx最小正周期；(II)求 ()f在区间,34p-上的最大值和最小值.【答案】(I) ; (II) , .4.【2015 高考重庆，理 18】 已知函数（1）求 fx的最小正周期和最大值；（2）讨论 f在2,63上的单调性.【答案】 （1）最小正周期为 p，最大值为23-；（2） ()fx在5,612上单调递增； ()fx在52,3上单调递减.【解析】（1） ,因此 ()fx的最小正周期为 p，最大值为23-.（2）当2,63时，有 ，从而当 时,即512x时， ()fx单调递增，当 时,即 时， ()fx单调递减，综上可知， ()fx在5,61

13、2上单调递增； ()f在52,13上单调递减.5.【2015 高考上海，理 14】在锐角三角形 CA中，tan2， D为边 C上的点， DA与CDA的面积分别为 2和 4过 D作 于 ， F于 ，则 F【答案】1656.【2015 高考广东，理 11】设 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，若 3a， 1sin2B， 6C，则 b . 【答案】1【解析】因为1sin2B且 0,，所以 6B或5，又 6C，所以 6，23AC，又 a， 10.【2015 高考新课标 2，理 17】 （本题满分 12 分）ABC中， D是 上的点， AD平分 BC， AD面积是 C面积的 2 倍() 求sin；()若 1AD，2C，求 BD和 AC的长 【答案】() ；() 【解析】() ， ，因为 ，所以 2ABC由正弦定理可得