2019年高考数学文科第二伦专题：数列、等差数列﹑等比数列（命题猜想）

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1、【考向解读】 1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项 an，前 n 项和 Sn 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数列的常用性质.【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算例 1、 （2018 年浙江卷）已知 成等比数列，且 若 ，则A. B. C. D. 【答案】B【变式探究】

2、(2017高考全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4a 524，S 648，则 an的公差为( )A1 B2C4 D8【解析】通解：选 C.设a n的公差为 d，则由Error! 得Error!解得 d4.故选 C.优解：由 S648 得 a4a 316，(a4a 5)(a 4a 3)8，d4，故选 C. 解得 q2，a 12.故a n的通项公式为 an(2) n.(2)由(1)可得Sn (1) n . 21 2n1 2 23 2n 13由于 Sn2 S n1 (1) n43 2n 3 2n 232 2S n， 23 1n2n 13 故 Sn1 ，S n，S n2 成等差数列【

3、变式探究】已知数列a n的各项均为正数，且 a11，a n1 ana n1 a n0(n N *)(1)设 bn ，求证：数列b n是等差数列；1an(2)求数列 的前 n 项和 Sn.ann 1【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：定义法，即 ana n1 d(d 为常数，nN *，n2) an为等差数列； 等差中项法，即 2an1 a na n2 (nN *)an为等差数列；通项公式法，即 ananb(a，b 是常数， nN *)an为等差数列； 前 n 项和公式法，即 Snan 2bn(a，b 是常数，nN *)an为等差数列等比数列的判定与 证明有以下三种方法：定义法，即

4、q(q 为常数anan 1且 q0，nN *，n2) an为等比数列； 等比中项法，即 a a nan2 (an0，nN *)an为等比数列；2n 1通项公式法，即 ana 1qn 1(其中 a1，q 为非零常数，n N*)an为等比数列【变式探究】若a n是各项均不为零的等差数列，公差为 d，S n 为其前 n 项和 ，且满足a S 2n1 ，nN *.数列b n 满足 bn ，T n 为数列 bn的前 n 项和2n1anan 1(1) 求 an 和 Tn.(2) 是否存在正整数 m，n(11，且 an， an1 ，a n2 成等差数列（nN *）.an54（1）求数列 的通项公式； an（

5、2）记 bnna n，数列 的前 n 项和为 Sn，若（n1） 2m（S nn1）对于 n2，nN *恒成立，bn求实数 m 的取值范围.（2）因为 bnna nn2 n，所以 Sn12 22 232 3n2 n，2Sn12 222 332 4（n1）2 nn2 n1 ，所以 Sn（22 22 32 nn2 n1 ）（ n2 n1 ）（n1）2 n1 2.2 2n 11 2因为（n1） 2m（S nn1 ）对于 n2，nN *恒成立，所以（n1） 2m（n1）2 n1 2n1 恒成立，即（ n1） 2m（n1） （2 n1 1）恒成立，于是问题转化为 m 对于 n2，nN *恒成立.n 12n

6、 1 1令 f（n） ，n2，则 f（n1）f（n）n 12n 1 1 1，且 a3+a4+a5=28，a 4+2 是 a3，a 5 的等差中项数列bn满足 b1=1，数列（b n+1bn）a n的前 n 项和为 2n2+n（）求 q 的值；（）求数列 bn的通项公式 【答案】 （）（）【解析】（）由 是 的等差中项得 ， 所以 ， 7. （2018 年江苏卷）设 ，对 1，2， ，n 的一个排列 ，如果当 st 时，有 ，则称是排列 的一个逆序，排列 的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1) ，则排列 231 的逆序数为 2记

7、 为 1，2，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数（1）求 的值；（2）求 的表达式(用 n 表示) 【答案】 （1）2 5（2）n5 时， 【解析】 （1）记 为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有，所以 对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， 1(2017高考全国卷) 记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4a 524，S 648，则 an的公差为( )A1 B2C4 D8【解析】通解：选 C.设a n的公差为 d，则由Error! 得Error!解得 d4.故选 C.

8、优解：由 S648 得 a4a 316，(a4a 5)(a 4a 3)8，d4，故选 C.2(2017高考全国卷) 等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则 an前 6项的和为( )A24 B3C3 D8【解析】选 A.由已知条件可得 a11，d0，由 a a 2a6 可得(12d) 2(1d)(15d) ，23解得 d2.所以 S661 24.故选 A.65 223(2017高考全国卷) 设等比数列 an满足 a1a 21 ，a 1a 33，则 a4_.【答案】84(2017高考全国卷) 记 Sn为等比数列 an的前 n 项和已知 S22，S 36.

9、(1)求a n的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1 ，S n，S n2 是否成等差数列解：(1) 设 an的公比为 q.由题设可得Error! 于是当 2,4T时， .又 30rS，故 130a，即 1.所 以数列 n的通项公式为 .（2）因为 ， ，所以 .因此， 1rkSa.1.【2015 高考重庆，理 2】在等差数列 na中，若 2=4， 4a=2，则 6= （ ）A、-1 B、 0 C、1 D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得 ，选 B.2.【2015 高考福建，理 8】若 ,ab 是函数 的两个不同的零点，且,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列

10、，则 pq 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D3.【2015 高考北京，理 6】设 na是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A若 120a，则 230 B若 130a，则 120aC若 12，则 1a D若 1，则【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例 ， 120a而 230a，A错误，B 举同样反例 ， 130a，而 12，B 错误，下面针对 C 进行研究， na是等差数列，若 120a，则 ,设公差为 d，则 ，数列各项均为正，由于，则213a，选 C.4.【2015 高考新课标 2，理 16】设 nS是数列 na的前 n 项和，且 1a， ，则nS_【答案】1n【

11、解析】由已知得 ，两边同时除以 1nS，得 ，故数列1nS是以 为首项， 1为公差的等差数列，则 ，所以1nS5.【2015 高考广东，理 10】在等差数列 na中，若 2576543aa，则 82a= .【答案】10【解析】因为 na是等差数列，所以 3746285，3456752a即 5a，所以 28510a，故应填入 106.【2015 高考陕西，理 13】中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 【答案】5【解析】设数列的首项为 1a，则 ，所以 15a，故该数列的首项为 5，所以答案应填：57.【2015 高考浙江，理 3】已知 n是等差数列，公差

12、 d不为零，前 n项和是 nS，若 3a， 4， 8成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B.8.【2015 高考安徽，理 14】已知数列 na是递增的等比数列， ，则数列 na的前 n项和等于 .【答案】 21n【解析】由题意， ，解得 或者 ，而数列 na是递增的等比数列，所以 ，即3418aq，所以 2q，因而数列 na的前 项和.学￥科网9. 【2014 高考北京版理第 5 题】设 na是公比为 q的等比数列，则“ 1q”是“ na为递增数列” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分 条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D10. 【20 14 高考福建卷第 3 题】等差数列 na的前 项和 nS，若 ，则 6a( ).8A.10B .2C .14D【答案】C【解析】假设公差为 d,依题意可得 .所以 .故选C.