2019年高考数学理科第二伦专题：平面向量与复数（命题猜想）

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1、【考向解读】 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量例 1、(2018全国)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中 线，E 为 AD 的中点，则 等于( )EB A. B. 34AB

2、 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 答案 A解析 作出示意图如图所示. ( ) ( ) .EB ED DB 12AD 12CB 1212AB AC 12AB AC 34AB 14AC 故选 A. 【方法技巧】(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(2)已知 O 为平面上任意一点，则 A，B，C 三点共线的充要条件是存在 s，t，使得 s t ，且OC OA OB st1，s ，tR.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.【变式探究】 【2017 课标 1，理 13】已知

3、向量 a，b 的夹角为 60，| a|=2，| b|=1，则| a +2 b |= .【答案】 23【解析】利用如下图形，可以判断出 的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度，2所以 .【变式探究】如图，在ABC 中，N 是 AC 边上一点，且 ，P 是 BN 上的一点，若 m AN 12NC AP AB 29，则实数 m 的值为( )AC A. B. C.1 D.319 13答案 B解析 ， ，AN 12NC AN 13AC m m .AP AB 29AC AB 23AN 又 B，N，P 三点共线，m 1，m .23 13【变式探究】(1)设 00，2得 2sincos ，tan .12方法

4、一 因为 a， b，D 为 BC 的中点，AB AC 所以 (ab) AD 12所以 (ab)AE 12AD 14所以 CE CA AE AC AE b (ab)14 a b.14 34所以 x ，y ，所以 x y .14 34 12方法二 易得 EF MD，MD CF，12 12所以 EF CF，所以 CE CF.14 34因为 b a，CF CA AF AC AF 13所以 (b a) a b.CE 34 13 14 34所以 x ，y ，则 xy .14 34 12【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用 (2)运算过程中重视数形结合，

5、结合图形分析向量间的关系【变式探究】如图，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若 ，则 等于AC AM BN ( )A.2 B. C. D.83 65 85答案 D解析 方法一 如图以 AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1， ， AM (1，12) BN ， (1 ，1).( 12，1) AC ，AC AM BN (1，12) ( 12，1) ( 2，2 )Error! 解得Error!故 .85方法二 以 ， 作为基底，AB AD M，N 分别为 BC，CD 的中点， ， ，AM AB BM AB 12AD BN BC CN AD 12AB ，A

6、C AM BN ( 2)AB (2 )AD 又 ，AC AB AD 因此Error! 解得Error! 所以 .85【命题热点突破二】平面向量的数量积(1)数量积的定义：ab| a|b|cos.(2)三个结论若 a(x，y)，则|a| .aa x2 y2若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则| | .AB x2 x12 y2 y12若 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)， 为 a 与 b 的夹角，则 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y2例 2、 （2018 年天津卷）如图，在平面四边形 ABCD 中， ， ， ， . 若点 E 为边 CD 上的

7、动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，点 在 上，则 ，设 ，则：，即 ，据此可得： ，且：， ，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得： ，结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值 .本题选择 A 选项. 【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数对一些常见的运算，如(1i) 22i， i， i 等要熟记1 i1 i 1 i1 i例 4、(2018全国)设 z 2i，则| z|等于( )1 i1 iA.0 B. C.1 D.12 2答案 C解析

8、z 2i 2i 2ii ，1 i1 i 1 i21 i1 i 2i2|z| 1.故选 C.【变式探究】 【2017 山东，理 2】已知 aR,i 是虚数单位，若 ，则 a=（A）1 或-1 （B） 7-或 （C）- 3 （D） 3【答案】A【解析】由 得 24a，所以 1a，故选 A.【变式探究】已知 ,abR， i 是虚数单位，若 ，则 ab的值为_.【答案】2【解析】由 ，可得 10，所以 21， ，故答案为 2【变式探究】(1)若复数 z ，则|z| ( )21 3iA B 12 32C1 D2(2)已知复数 z (i 为虚数单位 )，则复数 z 在复平面内对应的点在( )1 iiA第一

9、象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】(1)C (2)B 【解析】 (1)z i， ，所以|z| 1.21 3i 2（1 3i）4 12 32 （12）2 （32）2(2)z 1i，则复数 z1i，对应的点在第二象限1 ii【高考真题解读】1. （2018 年浙江卷）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b24eb+3=0，则| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【答案】A【解析】设 ，则由 得 ，由 得因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径 1，为 选 A.2. （2018 年天津卷）如图，在平面

10、四边形 ABCD 中， ， ， ， . 若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，点 在 上，则 ，设 ，则：，即 ，据此可得： ，且：， ，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得： ，结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值 .本题选择 A 选项.3. （2018 年全国 I 卷理数） 设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于M，N 两点，则 =A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】根据题意，过点（2，0）且斜率为 的直线方程为 ，

11、与抛物线方程联立 ，消元整理得： ，解得 ，又 ，所以 ，从而可以求得，故选 D.4. （2018 年全国 I 卷理数） 在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以 ，故选 A.5. （2018 年全国卷理数）已知向量 ， 满足 ， ，则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】因为所以选 B.6. （2018 年江苏卷）在平面直角坐标系 中，A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为_ 5.【2017 天津，理 13】在 中， ， ，

12、.若 ，ABC 60 3AB2CBDC，且 ，则 的值为_.【答案】 31【解析】 ,则.6.【2017 山东，理 12】已知 12,e是互相垂直的单位向量，若 123e与 12e的夹角为 60，则实数 的值是 .【答案】 3【解析】 ，解得： 37【2017 浙江，15】已知向量 a，b 满足 则 的最小值是_，最大值是_【答案】4， 25【解析】设向量 的夹角为 ，由余弦定理有： ，,ab，则：，令 ，则 ，据此可得： ，即 的最小值是 4，最大值是 258.【2017 浙江，10】如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC 与 BD 交于点 O，记 ， ， ，

13、则1IAB 2IOC 3IDA B C D321I231II213I312II【答案】C【解析】因为 ， ， ，所以OAB，故选 C。9.【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量 , , 的模分别为 1,1, , 与 的夹角为 ,C2OAC且 tan =7, 与 的夹角为 45.若 , 则 .OBC(,)mnRnA C BO(第 12 题) 【答案】3 10.【2017 江苏，16】 已知向量（1）若 ab,求 x 的值；（2）记 ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值.()f()f x【答案】 （1） （2） 时， 取得最大值，为 3； 时， 取得最小值，为56x0xfx56fx.

14、3【解析】解：（1）因为 ， ，ab，所以 .若 ，则 ，与 矛盾，故 .cos0xsinx cos0x于是 . 又 ，所以 .0,x56x（2） .因为 ，所以 ，0,x从而 .于是，当 ，即 时， 取到最大值 3；6x0xfx当 ，即 时， 取到最小值 .6x56xfx231.【 2017 课标 1，理 3】设有下面四个命题1p：若复数 z满足 R，则 z； 2p：若复数 z满足 2R，则 z；3：若复数 12,满足 12，则 1； 4：若复数 ，则 .其中的真命题为A. 13,pB 14,pC 23,pD 24,p【答案】B【解析】令 ，则由 得 0b，所以 zR，故 1p正确； 当 i

15、z时，因为 ，而 izR知，故 2p不正确；当 12时，满足 ，但 1，故 3不正确；对于 4p，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 4正确，故选 B.2.【2017 课标 II，理 1】 3i（ ）A 12i B 2i C 2i D 2i【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有： ，故选 D。3.【2017 山东，理 2】已知 aR,i 是虚数单位，若 ，则 a=（A）1 或-1 （B） 7-或 （C）- 3 （D） 3【答案】A【解析】由 得 24a，所以 1a，故选 A. 3.【2016 高考新课标 2 理数】已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是（ ）（A）

16、 (31)， （B） (13)， （C ） (1,)+ （D） (3)-，【答案】A【解析】要使复数 z对应的点在第四象限应满足： m301，解得 3m1，故选 A.4.【2016 年高考北京理数】设 aR，若复数 ()ia在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.【答案】1【解析】 ，故填：15.【2016 高考山东理数】若复数 z 满足 其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）（A）1+2i （B） 1 2i （C） 2 （D） 12i【答案】B【解析】设 biaz，则 ，故 ，则 iz，选 B.6.【2016 高考天津理数】已知 ,aR，i 是虚数单位 ，若 ，则 ab的值为_.【答案】2【解析

17、】由 ，可得 10ba，所以 21， ，故答案为 27.【2016 高考江苏卷】复数 其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_. 【答案】5【解析】 ，故 z 的实部是 51(2015新课标全国，2)若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a( )A1 B0 C1 D22(2015 广东，2)若复数 z i(32i)(i 是虚数单位) ，则 z( )A32i B32i C23i D23i解析 因为 zi(32i)23i，所以 z23i ，故选 D.答案 D3(2015四川，2)设 i 是虚数单位，则复数 i3 ( )2iAi B3i Ci D3i解析 i 3 i i2i i. 选 C.2i 2ii2答案 C4(2015山东，2)若复数 z 满足 i，其中 i 为虚数单位，则 z( )z1 iA1i B1i C1i D1i解析 i，zi(1i)i i 21i ，z 1i.z1 i答案 A5(2015新课标全国，1)设复数 z 满足 i ，则|z| ( )1 z1 zA1 B. C. D22 3解析 由 i，得 1z izi，z i，|z| |i|1.1 z1 z 1 i1 i答案 A