2019年高考数学理科第二伦专题：三角函数的图像与性质（命题猜想）

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1、【考向解读】 1.三角函数 yAsin (x )(A0，0)的图象变换，周期及单调性是高考热点2.备考时应掌握 ysin x，y cos x，ytan x 的图象与性质，并熟练掌握函数 yAsin (x)(A0，0)的值域、单调性、周期性等3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式例 1、 （2018 年全国卷理数）若 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故答案为 B.【变式探究】(2017北京卷

2、) 在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 sin ，则 cos( )_.13【答案】79【解析】(2)由题意知 2k(k Z)， 2k (kZ )，sin sin ，cos cos .又 sin ，13 cos() cos cos sin sin cos 2sin 22sin 212 1 .19 79【变式探究】若 ，则 sin2（ ）（A） 725 （B ） 15 （C） 15 （D） 725【答案】D【解析】 ，且 ，故选 D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在 x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的

3、纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义【变式探究】 当 x 时，函数 f(x)Asin(x)(A0)取得最小值，则函数 yf 是( )4 (34 x)A奇函数且图像关于点 对称(2，0)B偶函数且图像关于点( ，0) 对称C奇函数且图像关于直线 x 对称2D偶函数且图像关于点 对称(2，0)【答案】C 【命题热点突破二】 函数 yAsin(x)的图像与解析式例 2、 （2018 年天津卷）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递

4、增 B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足： ，即 ，令 可得一个单调递增区间为： .函数的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得一个单调递减区间为： .本题选择 A 选项. (2)将函数 yf(x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ，再将得到的图象向左平移 个单位，4得到函数 yg( x)的图象，求 g(x)在 上的最小值 4，34解析：(1)因为 f(x)sin sin ，(x 6) (x 2)所以 f(x) si

5、n x cos xcos x32 12 sin x cos x32 32 3(12sin x 32cos x) sin .3 (x 3)由题设知 f 0，所以 k，kZ，(6) 6 3所以 6k2 ，k Z.又 03，所以 2.(2)由(1)得 f(x) sin ，3 (2x 3)所以 g(x) sin sin .3 (x 4 3) 3 (x 12)因为 x ，所以 x . 4，34 12 3，23当 x ，即 x 时，g( x)取得最小值 .12 3 4 32【变式探究】函数 yA sin(x)的部分图象如图所示，则 ( )Ay2sin By2sin(2x 6) (2x 3)Cy 2sin

6、Dy 2sin(x 6) (x 3)解析：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定 A， 与 的值由图象知 ，故 T ，因此 2.又图象的一个最高点坐标为 ，所以 A2，且T2 3 ( 6) 2 2 (3，2)2 2k (kZ )，故 2k (kZ)，结合选项可知 y2sin .3 2 6 (2x 6)答案：A【变式探究】已知函数 f(x) 2cos2x2 sin xcos xa ，当 x 时，f(x)的最小值为 2.3 0，2(1)求 a 的值，并求 f(x)的单调递增区间；(2)先将函数 f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的 ，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移 个单位12 12长度，得到

7、函数 g(x)的图像，求方程 g(x)4 在区间 上所有根之和0，2【解析】解：（1）f（x） cos 2x1 sin 2xa2sin a1.x ，2x ，3 (2x 6) 0，2 6 6，76f（x） minf（ ）1a12，得 a2，2故 f（x）2sin 3.(2x 6)令 2k 2x 2k ，kZ ，2 6 2得 k xk ，kZ，3 6函数 f（x）的单调递增区间为 ，kZ .k 3，k 6（2）由题意得 g（x）2sin 3，(4x 6)由 g（x）4，得 sin ，(4x 6) 12解得 4x 2k 或 4x 2k ，kZ，6 6 6 56即 x 或 x ，kZ，k2 12 k2

8、 4又x ，x 或 ，故所有根之和为 .0，2 12 4 12 4 3【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为 yAsin(x)的形式，再结合题目要求，利用函数 yAsin(x) 的图像与性质解决问题【高考真题解读】1.（2018 年全国卷理数）若 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故答案为 B.2. （2018 年天津卷）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知： 将 的图象向右平移 个单位

9、长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足： ，即 ，令 可得一个单调递增区间为： .函数的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得一个单调递减区间为： .本题选择 A 选项.3. （2018 年北京卷）设函数 f（x ）= ，若 对任意的实数 x 都成立，则 的最小值为_【答案】【解析】因为 对任意的实数 x 都成立，所以 取最大值，所以，因为 ，所以当 时， 取最小值为 .4. （2018 年江苏卷）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是_【答案】【解析】由题意可得 ，所以 ，因为 ，所以5. （2018 年全国卷理数）函数 在 的零点个数为_【答案】【解析】由题可知 ，或解得 ,或故

10、有 3 个零点。6. （2018 年全国卷理数）已知 ， ，则 _【答案】【解析】因为 ， ，所以 ，因此7. （2018 年浙江卷）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（） （）求 sin（+）的值；（）若角 满足 sin（ +）= ，求 cos 的值【答案】 （） , （） 或 【解析】 （）由角 的终边过点 得 ，所以 .（）由角 的终边过点 得 ，由 得 .由 得 ，所以 或 .8. （2018 年江苏卷）已知 为锐角， ， （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1）（2）【解析】 （1）因为 ， ，所以 因为 ，所以 ，因此， （2）因为

11、 为锐角，所以 又因为 ，所以 ，因此 因为 ，所以 ，因此， 1、(2017北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若sin ，则 cos( )_.13【答案】79【解析】(2)由题意知 2k(k Z)， 2k (kZ )，sin sin ，cos cos .又 sin ，13 cos() cos cos sin sin cos 2sin 22sin 212 1 .19 792. (2017天津卷 )设函数 f(x)2sin(x )，xR ，其中 0，|. 若 f 2，f 0，且 f(x)的最小(58) (118)正周期大于 2，则( )

12、A ， B ， 23 12 23 1112C ， D ， 13 1124 13 7243、(2017浙江卷)已知函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sin xcos x(xR )3(1)求 f 的值；(23)(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间【解析】 (1)由 sin ，cos ，23 32 23 12得 f 2 22 ，得 f 2.(23) ( 32) ( 12) 3 32 ( 12) (23)(2)由 cos 2xcos 2xsin 2x 与 sin 2x2sin xcos x 得f(x)cos 2x sin 2x2sin ，3 (2x 6)所以 f(x)的最小正周期是 .

13、由正弦函数的性质得 2k2x 2k，kZ ，2 632解得 kx k，k Z，6 23所以 f(x)的单调递增区间是 (kZ)6 k，23 k4. (2017山东卷)设函数 f(x)sin sin ，其中 03，已知 f 0.(x 6) (x 2) (6)(1)求 ； 14.【2016 高考新课标 3 理数】函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】 【解析】因为 ， ，所以函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移 3个单位长度得到15.【2016 高考新课标 3 理数】在 ABC 中， 4=， B边上的高等于 13BC,则 cosA=（ ）（A） 310 （B） 10

14、（C） 10- （D ） 0-【答案】C【解析】设 边上的高为 AD，则 3，所以 ，由余弦定理，知 ，故选C16.【2016 高考新课标 2 理数】若 ，则 sin2（ ）（A） 725 （B ） 15 （C） 15 （D） 725【答案】D【解析】 ，且 ，故选 D.17.【2016 高考新课标 3 理数】若 3tan4 ，则 （ ）(A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D) 1625 【答案】A【解析】由 3tan4，得 或 ，所以，故选 A1.【2015 高考新课标 1，理 2】 =( )（A）32（B）3（C）12（D）12【答案】D【解析】原式= = osin30=12

15、，故选 D.2.【2015 江苏高考，8】已知 tan2， ，则 tan的值为_.【答案】3【解析】3.【2015 高考福建，理 19】已知函数 f()x的图像是由函数 的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 2p个单位长度.()求函数 f()的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于 x的方程 在 0,)p内有两个不同的解 ,ab（1)求实数 m 的取值范围；（2)证明：【答案】() ， ；() （1） (5,)-；（2）详见解析 【解析】解法一：(1)将 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变

16、）得到y2cosx=的图像，再将 y2cosx=的图像向右平移 2p个单位长度后得到 的图像，故，从而函数 图像的对称轴方程为(2)1) （其中 ）依题意， 在区间 0,2)p内有两个不同的解 ,ab当且仅当|15m，故 m 的取值范围是(5,)-.2)因为 ,ab是方程 在区间 0,2)内有两个不同的解，所以 ， .当 1m5时，当 -时, 所以解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为 ,ab是方程 在区间 0,2)p内有两个不同的解，所以 ， .当 1m5时，当 -时, 所以于是4.【2015 高考山东，理 1 6】设 .（）求 fx的单调区间；（）在锐角 ABC中，角 ,

17、的对边分别为 ,abc,若 ,求 ABC面积的最大值.【答案】 （I）单调递增区间是 ；单调递减区间是（II） ABC 面积的最大值为234【解析】（I）由题意 知由 可得由 可得所以函数 fx 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是（）由 得1sin2A由题意知 A为锐角，所以3co由余弦定理： 可得： 即： 当且仅当 bc时等号成立.因此 所以 ABC面积的最大值为2345.【2015 高考重庆，理 9】若 ，则 （ ）A、1 B、2 C、3 D、4【答案】C【解析】由已知， ，选 C.6.【2015 高考山东，理 3】要得到函数 的图象，只需要将函数 sin4yx的图象（ ）（A）向左平移 12个单位 （B ）向右平移 12个单位（C）向左平移 3个单位 （D ）向右平移 3个单位 【答案】B【解析】因为 ，所以要得到函数 的图象，只需将函数sin4yx的图象向右平移 12个单位.故选 B.7.【2015 高考新课标 1，理 8】函数 ()fx= cos)的部分图像如图所示，则 ()fx的单调递减区间为( )(A) (B)(C) (D)