2019年高考数学理科第二伦专题：导数及其应用（命题猜想）

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1、【考向解读】 高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查【命题热点突破一】导数的几何意义例 1、 （2018 年全国卷理数）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 _【答案】-3【解析】 ，则所以【变式探究】(2017天津卷)已知 aR，设函数 f(x)ax lnx 的图象在点(1 ，f (1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_；【答案】1【解析】 (1)由题意可知 f(x

2、)a ，所以 f(1)a1，1x因为 f(1)a，所以切点坐标为(1，a) ，所以切线 l 的方程为 ya(a1)(x1)，即 y(a 1)x 1.令 x0，得 y1，即直线 l 在 y 轴上的截距为 1.【变式探究】若直线 kxb是曲线 ln2x的切线，也是曲线 的切线，则 b 【答案】 1ln2【解析】对函数 lyx求导得 1yx，对 求导得 1yx，设直线 ykxb与曲线lyx相切于点 1(,)P，与曲线 相切于点 2(,)P，则，由点 1(,)xy在切线上得 ，由点 2(,)Pxy在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 . 【感悟提升】与导数几何意义有关问题的常见类型及解

3、题策略(1)已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：求出函数 yf( x)在点 xx 0 处的导数，即曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x 0)处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为 yy 0f (x0)(xx 0)(2)已知斜率求切点：已知斜率 R，求切点(x 1，f (x1)，即解方程 f(x1)k.(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决.【变式探究】 函数 f(x)e xsin x 的图像在点(0，f(0) 处的切线的倾斜角为( )A. B.34 3C. D.4 6【答案】C 【解析】因为 f（x）e xsin xe xc

4、os x，所以 f（0）1，即曲线 yf（x）在点（0，f （0） ）处的切线的斜率为 1，所以在点（0，f（ 0） ）处的切线的倾斜角为 .4【命题热点突破二】函数的单调性 与最值例 2、 （2018 年全国卷理数）若 在 是减函数，则 的最大值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以由 得，因此 ，从而 的最大值为 。【变式探究】(2017全国卷) 已知函数 f(x)lnxax 2(2a1) x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a0，故 f(x)在(0，)单调递增若 a0；当 x 时，f(x)0；当 x(1，)时，g(x)0 时，g( x)0.从而当 a0，且 f（

5、x）为（0，1）上的单调增函数，所以2x 2mx10 在（0，1）上恒成立，即m 2x 在（ 0，1）上恒成立.2x2 1x 1x设 u（x）2x ，x（0，1） ，因为 u（x）在（0，1）上是增函数，且 u（x）1，由（*）式，知 ln 0，故 f(x)在(0，)单调递增若 a0；当 x 时，f(x)0；当 x(1，)时，g(x)0 时，g( x)0.从而当 a0 恒成立，得 x2 或 x1 时，f (x)0，且 x0；21 时，f(x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.故选 A.5.【2017 课标 II，理】已知函数 ，且 。0fx(1

6、)求 ；a(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 。fx0x【答案】(1) ； 1(2)证明略。【解析】 （1） 的定义域为设 ，则 等价于因为若 a= 1，则 .当 0 x1 时， 单调递减；当 x1 时， 0， 单调递增.所以 x=1是 的极小值点，故综上，a=1（2）由（1）知设当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增又 ，所以 在 有唯一零点 x0，在 有唯一零点 1，且当 时，；当 时， ，当 时， .因为 ，所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值点由由 得因为 x=x0 是 f( x)在（0,1）的最大值点，由 得所以6.【2017 山东，理 20】已知函数 ，

7、，其中是自然对数的底数.（）求曲线 yfx在点 处的切线方程；,f（）令 ，讨论 hx的单调性并判断有 无极值，有极值时求出极值.【答案】 （1） （2）见解析【解析】（）由题意又 ，所以 ，2f因此 曲线 在点 处的切线方程为yfx,f，即 .（）由题意得 ，因为，令则所以 在 上单调递增.mxR因为 0,所以 当 时， x0,x当 时， m(1)当 时， 0axea当 时， ， 单调递减，xhx当 时， ， 单调递增，x所以 当 时 取得极小值，极小值是 ；0h(2)当 时， 0a由 得 ， hx1lna2=0x当 时， ，当 时， ， 单调递增；hx当 时， ， 单调递减；ln,0xa当

8、 时， ， 单调递增.x所以 当 时 取得极大值.lxhx极大值为 ，当 时 取到极小值，极小值是 ；0xh当 时， ，1aln0所以 当 时， ，函数 在 上单调递增，无极值；0hxhx,当 时， l所以 当 时， ， 单调递增；,0xlnxae当 时， ， 单调递减；,lnal当 时， ， 单调递增；ln0xae所以 当 时 取得极大值，极大值是 ；0xh当 时 取得极小值.lna极小值是 .综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，0ahx,00,函数 有极小值，极小值是 ；当 时，函数 在 和 和 上单调递增，在 上单调递减，函数1x,lna,l, ln,0a有极大值，也有极

9、小值，hx极大值是极小值是 ；当 时，函数 在 上单调递增，无极值；1ahx,当 时，函数 在 和 上单调递增，0ln,a在 上单调递减，函数 有极大值，也有极小值， 0,lnx极大值是 ；极小值是 .7.【2017 天津，理 20】设 ，已知定义在 R 上的函数 在区间 内aZ (1,2)有一个零点 ， 为 的导函数.0x()gfx（）求 的单调区间；（）设 ，函数 ，求证： ；（）求证：存在大于 0 的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且 满足A,pq.【答案】 （）增区间是 ， ，递减区间是 .（）见解析；（III）见解析.,1,41,4【解析】 （）解：由 ，可得 ，进而可得 .令 ，解

10、得 ，或 .0gx1x4当 x 变化时， 的变化情况如下表：(),gxx (,1)(1,)41(,)4()+ - +g 所以， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 .()gx(,1)(,)41(,)4（）证明：由 ，得 ，.令函数 ，则 .由（）知，当 时， 1,2x，故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 0gx01,x10Hx1x0,x0H单调递增.因此，当 时， ，可得1H.令函数 ，则 .由（）知， 在 上单调gx1,2递增，故当 时， ， 单调递增；当 时， ， 01,x20Hx2x0,2x20H单调递减.因此，当 时， ，可得 .2H所以， .（III）证明：对于任意的正整数

11、， ，且 ，pq令 ，函数 .pmq由（II）知，当 时， 在区间 内有零点；01),x()h0(,)mx当 时， 在区间 内有零点.0(,2x(0,所以 在 内至少有一个零点，不妨设为 ，则 .()h1, 1x由（I）知 在 上单调递增，故 ，gx,2于是 .因为当 时， ，故 在 上单调递增，12,x()0gx()fx1,2所以 在区间 上除 外没有其他的零点，而 ，故 .()fx1,20x0pxq()0pfq又因为 ， ， 均为整数，所以 是正整数，pqa从而 .所以 .所以，只要取 ，就有 .()2Ag1. 【2016 高考山东理数】若函数 yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两

12、点处的切线互相垂直，则称 ()yfx具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）（A） sin（B） lnyx（C） exy（D） 3yx【答案】A【解析】当 siyx时， cosyx， ，所以在函数 sinyx图象存在两点 ， 使条件成立，故 A 正确；函数 的导数值均非负，不符合题意，故选 A。2.【2016 年高考四川理数】设直线 l1，l 2 分别是函数 f(x)= 图象上点 P1，P 2 处的切线，l 1与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l 2 分别与 y 轴相交于点 A，B ，则PAB 的面积的取值范围是( )（A）(0,1) （ B）(0,2) （ C）(0,+) （D

13、 ）(1,+)【答案】A【解析】设 （不妨设 ） ，则由导数的几何意义易得切线12,l的斜率分别为 由已知得 切线 1l的方程分别为，切线 2l的方程为 ，即 .分别令0x得 又 1l与 2的交点为 ， 1x， 故选 A3.【2016 高考新课标 2 理数】若直线 ykxb是曲线 ln2yx的切线，也是曲线 的切线，则 b 【答案】 1ln【解析】对函数 l2yx求导得 1yx，对 求导得 1yx，设直线 ykxb与曲线l2yx相切于点 1(,)P，与曲线 相切于点 2(,)P，则，由点 1(,)xy在切线上得 ，由点 2(,)Pxy在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 .4.

14、【2016 高考新课标 3 理数】已知 fx为偶函数，当 0x时， ，则曲线yfx在点 (1,3)处的切线方程是_ 【答案】 21【解析】当 0x时， ，则 又因为 ()fx为偶函数，所以，所以 ，则切线斜率为 (1)2f，所以切线方程为，即 21yx5.【2016 高考新课标 1 卷】 （本小题满分 12 分）已知函数 有两个零点.(I)求 a 的取值范围；(II)设 x1,x2 是 f的两个零点,证明： 12x.【答案】 (0,)【解析】（） （i）设 0a,则 , ()fx只有一个零点（ii）设 ,则当 (1)x时, 0；当 (1,)时, ()0fx所以 ()fx在 ,1)上单调递减,在

15、 (1,)上单调递增又 fe, (2fa,取 b满足 且 ln2ab,则,故 ()fx存在两个零点（iii ）设 0a,由 ()fx得 1或 ln(2)xa若 2e,则 ln,故当 (,时, 0f,因此 ()fx在 1,)上单调递增又当 1x时,()fx,所以 ()fx不存在两个零点若 ea,则 l1a,故当 时, ()fx；当 时, ()0fx因此()fx在 1,n(2)单调递 减,在 单调递增又当 1时, ()0fx,所以 不存在两个零点 综上, a的取值范围为 (0,)（）不妨设 12x,由（）知 , , ()fx在 ,1)上单调递减,所以 12等价于 ,即 由于 ,而 ,所以设 ,则

16、所以当 1x时, ()0g,而 (1),故当 1x时, ()0g从而 ,故 126.【2016 高考山东理数】(本小题满分 13 分)已知 .（I）讨论 ()fx的单调性；（II）当 1a时，证明 对于任意的 1,2x成立.【答案】 （）见解析；（）见解析【解析】（） )(xf的定义域为 ),0(；.当 0a， )1,(x时， ()0fx， )(f单调递增；， 单调递减.当 0a时， .（1） 2， 1a，当 ),0(x或 ),(时， ()0fx， )(f单调递增；当 )2,1(a时， ()fx， )(f单调递减；（2） 时，1，在 x),0(内， ()0fx， )(f单调递增；（3） a时，

17、20a，当),(x或 x),1(时， ()0fx， )(f单调递增；当 ),2(a时， 0f， f单调递减.综上所述，当 0a时，函数 )(xf在 1,0内单调递增，在 ),1(内单调递减；当 2时， f在 ,内单调递增，在 2,a内单调递减，在 ),2(a内单调递增；当 a时， )(xf在 ),0内单调递增；当 2， f在 2,a内单调递增，在 )1,2(a内单调递减，在 ),1(内单调递增.（）由（）知， 1时， 2,1x，令 ， 2,1x.则 ，由 可得 ， 当且仅当 1x时取得等号.又 ，设 ，则 )(x在 2,1单调递减，因为 ，所以在 2,1上存在 0x使得 ),(0x 时， 时，

18、 0)(x，所以函数 ()h在 ),上单调递增；在 )2,上单调递减，由于 ，因此，当且仅当 2x取得等号，所以 ，即 对于任意的 2,1x恒成立。7.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）已知函数 .设12,ab.（1）求方程 ()fx的根;（2）若对任意 R,不等式 恒成立，求实数 m的最大值；（3）若 ，函数 有且只有 1 个零点，求 ab的值。【答案】 （1）0 4（2）1【解析】（1）因为 ,ab，所以 .方程 ()2fx，即 2x，亦即 ，所以 10，于是 1，解得 0x.由条件知 .因为 对于 xR恒成立，且 ()0fx，所以 对于 恒成立.而 ，且 ，所以 4m，故

19、实数 的最大值为 4.因而函数 ()gx在 0,)上是单调减函数，在 0(,)x上是单调增函数.下证 0.若 0x，则 02x，于是 ，又 ，且函数 ()gx在以 02和 loga为端点的闭区间上的图象不间断，所以在 02x和 loga之间存在 ()gx的零点，记为 1. 因为 1，所以 l20a，又 0x，所以 1与“0 是函数 ()的唯一零点”矛盾.若 0x，同理可得，在 0x和 l2a之间存在 ()x的非 0 的零点，矛盾.因此， .于是 ln1ab，故 ，所以 1b.8.【2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分）设函数 , Rx， 其中 a,(I)求 )(xf的单调区间；(I

20、I) 若 存在极值点 0x，且 ，其中 01x，求证： 1023x；（）设 a，函数 ，求证： )(g在区间 ,上的最大值不小于 4.【答案】 （）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】（）解：由 ，可得 .下面分两种情况讨论：（1）当 0a时，有 恒成立，所以 )(xf的单调递增区间为 ),(.（2）当 时，令 0)(xf，解得 31ax，或 31a.当 x变化时， f， f的变化情况如下表： 31a31a)(xf 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以 )(xf的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .（）证明：因为 )(xf存在极值点，所以由（）知 0a，且 1x，由

21、题意，得 ，即 ，进而 .又 ，且023x，由题意及（）知，存在唯一实数 1x满足 ，且 01x，因此 0123x，所以 31.（）证明：设 )(xg在区间 2,0上的最大值为 M， ,mayx表示 ,两数的最大值.下面分三种情况讨论：（1）当 3a时， ，由（）知， )(xf在区间 2,0上单调递减，所以)(xf在区间 2,0上的取值范围为 )0(,2f，因此，所以 .（2）当 34a时， ，由（）和（）知， ，所以 )(xf在区间 2,0上的取值范围为 ，因此.（3）当 430a时， ，由（ ）和（）知， ，所以 )(xf在区间 2,0上的取值范围为 ，因此.综上所述，当 0a时， )(x

22、g在区间 2,0上的最大值不小于 41.9.【2016 高考新课标 3 理数】设函数 ，其中 0a，记 |()|fx的最大值为 A（）求 ()fx；（）求 ；（）证明 【答案】 （） ；（） ；（）见解析【解析】（） . （）当 1时，32(0)f.因此 A. 当 1时，将 ()fx变形为 令 ，则 A是 |()|gt在 1,上的最大值， (1)g， ，且当14t时， ()gt取得极小值，极小值为 令 ，解得 13（舍去） ， 15（）当 105时， ()gt在 1,内无极值点， |(1)|g， ， ，所以 23A（）当 15a时，由 ，知 又，所以 综上， （）由（）得 .当 105时， .

23、 当 时， ，所以 .当 1时， ，所以 . 10.【2016 高考浙江理数】 （本小题 15 分）已知 3a，函数 F（x）=min2| x1|，x 22ax+4a2，其中 minp，q= ,q.， ， （I）求使得等式 F（x）=x 22ax+4a2 成立的 x 的取值范围；（II） （i）求 F（x ）的最小值 m（a） ；（ii）求 F（x）在区间 0,6上的最大值 M（a）.【答案】 （I） 2,a；（II ） （i） ；（ii） 【解析】（）由于 3a，故当 1x时， ，当 时， 所以，使得等式 成立的 x的取值范围为 2,a（） （）设函数 ， ，则 ， ，所以，由 Fx的定义知 ，即（）当 02时，当 26x时， 所以， 学_科网11.【2016 高考新课标 2 理数】() 讨论函数 的单调性，并证明当 0x时，； ()证明：当 0,1)a时，函数 有最小值.设 ()gx的最小值为 ()ha，求函数h的值域【答案】 （）详见解析；（）21(,.4e.【解析】（） ()fx的定义域为 .