2019年高考数学理科第二伦专题：不等式与线性规划（仿真押题）

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1、1.若不等式(2) na3 n1 ( 2) n0 对任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A. B.(1，43) (12，43)C. D.(1，74) (12，74)答案 D解析 当 n 为奇数时，要满足 2n(1a) 3 n1 恒成立，即 1a n恒成立，只需 1a 1，解得 a ；13(32) 13(32) 12当 n 为偶数时，要满足 2n(a 1)3 n1 恒成立，即 a1 n恒成立，只需 a1 2，解得 a .13(32) 13(32) 74综上， a ，故选 D.12 742.已知 a0，b0，且 a1，b1，若 logab1，则( )A.(a1)(b 1)0 B.

2、(a1)(a b)0C.(b1)(ba)0 D.(b1)( b a)0答案 D解析 取 a2，b4，则(a 1)(b1)30，排除 A；则( a1)(ab)20，排除 B；(b1)( ba)60，排除 C，故选 D.3.设函数 f(x)Error!则不等式 f(x)f(1)的解集是( )A.(3， 1)(3，) B.(3，1)(2 ，)C.(1，1)(3，) D.(，3)(1，3)答案 A解析 f(1)3.由题意得Error!或Error!解得33.4. 若 a，b，c 为实数，则下列命题为真命题的是( )A.若 ab，则 ac2bc2B.若 ab0，则 a2abb 2C.若 ab0，则 1a

3、 1bD.若 ab0，则 ba ab答案 B解析 B 中，ab0，a 2aba(ab)0，abb 2b(ab)0.故 a2abb 2，B 正确.5.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60，BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长0.5 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好，则 AC 最短为 ( )A. 米 B.2 米(1 32)C.(1 )米 D.(2 )米3 3答案 D6.已知圆 C：(xa) 2(y b) 21，平面区域 ：Error! 若圆心 C ，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2b 2 的最大值为( ) 9已知 a，b(0，) ，且 ab 5，则 ab

4、的取值范围是( )1a 1bA1,4 B 2，)C(2,4) D (4，)解析：因为 ab (a b)(1 )5，又 a，b(0，)，所以 ab ，当且仅1a 1b 1ab 51 1ab 51 ( 2a b)2当 ab 时，等号成立，即(a b) 25(ab) 40，解得 1ab4，故选 A.答案：A10若 x，y 满足约束条件Error!则( x2) 2(y3) 2 的最小值为( )A1 B.92C5 D9解析：可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点 P(2，3) 到直线 xy20 的距离为 ，所以(x2) 2( y3) 2 的最小值为 2 ，故选 B.| 2 3 2|2 32 (32)

5、92答案：B11已知变量 x，y 满足约束条件Error! 若使 zaxy 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数 a 的取值集合是( )A 2,0 B1，2C0,1 D2,0,1解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分 所示由 zax y 得 yaxz.若 a0，则直线 yax zz，此时 z 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若a0，则直线 yax z 在 y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线 yax 与直线2xy90 平行时满足题意，此时a2，解得 a2；若a1)，当 xa 时，y 取得最小值 b，则 ab 等于( )9x 1A3 B2C3 D8解析：yx4

6、 x1 5，因为 x1，所以 x10， 0.所以由基本不等式，得9x 1 9x 1 9x 1yx1 52 51，当且仅当 x1 ，即(x 1) 29，即 x13，x2 时取9x 1 x 1 9x 1 9x 1等号，所以 a2，b1，ab3.答案：C15 若 x，y 满足约束条件Error!，且目标函数 zax2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则 a 的取值范围是( )A4,2 B(4,2)C4,1 D( 4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线 zax2y 的斜率为 k ，从图中可看出，a2当10 在区间1,5 上有解，则实数 a 的取值范围为( )A. B.( 235，

7、 ) 235，1C(1，) D( ，1)解析：x 2ax20 ，即 ax2x 2.x1,5，a x 成立2xa min.又函数 f(x) x 在1,5上是减函数，(2x x) 2x min 5 ，a .故选 A.(2x x) 25 235 235答案：A17设 x，y 满足约束条件Error!，则 的取值范围是( )x 2y 3x 1A1,5 B2,6C2,10 D3,11解析：设 z 12 ，设 z ，则 z的几何意义 为动点 P(x，y) 到定点x 2y 3x 1 x 1 2y 1x 1 y 1x 1 y 1x 1D(1，1) 的斜率画出可行域如图阴影部分所示，则易得 zk DA，k DB

8、，易得 z1,5，z12z3,11答 案：D18已知函数 f(x) ，若 x10，x 20，且 f(x1)f (x2)1，则 f(x1x 2)的最小值为( )4x 14x 1A B14 45C2 D4解析：由题意得 f(x) 1 ，由 f(x1)f (x2) 1 得 2 1，化简得4x 14x 1 24x 1 24 1 24 14 12x 34 14 222 12x ，解得 2x1x 23，所以 f(x1x 2)1 1 .故选 B.24 1 232 1 45答案：B19已知 a，b 都是正实数，且 2ab1，则 的最小值是_1a 2b解析： (2ab) 4 42 8，当且仅当 ，即 a ，b

9、时， “”成立，故1a 2b (1a 2b) 4ab ba 4abba 4ab ba 14 12 的最 小值是 8.1a 2b答案：820对于实数 x，当且仅当 nxn1，nN *时， xn，则关于 x 的不等式 4x236x 450 的解集是_解析：由 4x236x 450 得 x ，又当且仅当 nxn1，nN *时，xn，所以所求解集是32 1522,8)答案：2,8)21已知函数 f(x)Error!为奇函数，则不等式 f(x)4 的解集为_解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，可得 a3，b1，所以 f(x)Error!.当 x0 时，由x23x4 解得 0x4；当 x

10、0 时，由x 23x4 解得 x0，所以不等式 f(x)4 的解集为( ，4) 答案：( ，4)22设不等式组Error!所表示的平面区域为 D，则可行域 D 的面积为_ _解析：如图，画出可行域易得 A ，B(0,2)，C(0,4)，可行域 D 的面积为 2 .(43，43) 12 43 43答案：4323.已知函数 f(x) .2xx2 6(1)若 f(x)k 的解集为x |x3，或 x2 ，求 k 的值；(2)对任意 x0，f(x )t 恒成立，求 t 的取值范围.24.如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮

11、弹发射后的轨迹在方程 ykx (1k 2)x2(k0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关.炮的120射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物( 忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解 (1)令 y0，得kx (1k 2)x20，120由实际意义和题设条件知 x0，k0， 故 x 10，20k1 k2 20k 1k202当且仅当 k1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 千米.(2)因为 a0，所以炮弹可击中目标 存在 k0，使 3.2ka (1k 2)a2 成立 关于 k 的方程 a2

12、k220aka 2640 有正根120判别式 (20a) 24a 2(a2 64)0 a6.所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标. 25.已知函数 f(x) ax3bx 2 (2b)x1 在 xx 1 处取得极大值，在 xx 2 处取得极小值，且130x 11x 22.(1)证明：a0；(2)若 z a2b ，求 z 的取值范围 .(1)证明 求函数 f(x)的导 数f(x)ax 22bx2b.由函数 f(x)在 xx 1 处取得极大值，在 xx 2 处取得极小值，知 x1、x 2 是 f(x)0 的两个根，所以 f(x)a( xx 1)(xx 2).当 xx 1 时，f(x)为增函数，

13、f(x)0，由 xx 10，x x 20 得 a0. (2)解 在题设下，0x 11x 22 等价于 f（0） 0，f（1） 0，f（2） 0，)即 化简得2 b 0，a 2b 2 b 0，4a 4b 2 b 0，) 2 b 0，a 3b 2 0，4a 5b 2 0.)此不等式组表示的区域为平面 aOb 上的三条直线：2b0，a3b20，4a5b20 所围成的ABC 的内部，其三个顶点分别为 A ，B(2，2)，(47，67)C(4，2).z 在这三点的值依次为 ，6，8.167所以 z 的取值范围为 .(167，8)26已知关于 x 的不等式( a24) x2( a2)x10 对任意实数 x

14、 恒成立，求实数 a 的取值范围27已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)x 22x.(1)求函数 g(x)的解析式；(2)解不等式 g(x)f(x)|x 1|.解析：(1)设函数 yf(x )的图象上任意一点 Q(x0，y 0)关于原点的对称点为 P(x，y)，点 Q(x0，y 0)在函数 yf(x) 的图象上，yx 22x ，即 yx 22x，故 g(x)x 22x.(2)由 g(x)f(x) |x1| ，可得 2x2|x1|0.当 x1 时，2x 2x10，此时 不等式无解当 x1 时，2x 2x 10 ，解得1x .因此原不等式的解集为 .12 1，1228若对

15、一切 x2 均有不等式 x22x 8(m 2)xm 15 成立，求实数 m 的取值范围解析：由 x22x 8(m2) xm 15，得 x24x7m(x1)，对一切 x2 均有不等式 m 成立x2 4x 7x 1m 应小于或等于 f(x) (x2)的最小值x2 4x 7x 1又 f(x) (x 1) 2x2 4x 7x 1 4x 12 22，（x 1） 4x 1当且仅当 x1 ，即 x 3 时等号成立 4x 1f(x) minf(3)2.故 m 的取值范围为(，2 29某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和EFGH 构成的，是面积为 200 平

16、方米的十字形地带计划在正方 MNPQ 上建一座花坛，造价是每平方米 4 200 元，在四个相同的矩形(图中阴影部分 )上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米 210 元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米 80 元(1)设总造价是 S 元，AD 长为 x 米，试建立 S 关于 x 的函数关系式；(2)当 x 为何值时，S 最小？并求出最小值解析：(1)设 AMy，则 x2 4xy200.y .50x x4S4 200x 22104 xy804 y24 000x 2410 5 38 000(x0) 12 1x2(2)S4 000x 2410 5 38 0001x22 38 000118 000，4

17、 000x2400 000x2当且仅当 x 时等号成立，10即 x 米时， S 有最小值 118 000 元103 0在平面直角坐标系中，不等式组Error!(r 为常数) 表示的平面区域的面积为 ，若 x，y 满足上述约束条件，则 z 的最小值为_x y 1x 3解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知 r2，解得14r2.z 1 ，表示可行域内 的点与点 P(3,2)连线的斜率加上 1，由图知当可行域内的点与x y 1x 3 y 2x 3点 P 的连线与圆相切时斜率最小设切线方程 为 y2k( x3)，即 kxy 3k20，则有 2，解|3k 2|k2 1得 k 或 k0(舍去)，所以 zmin1 .125 125 75答案：7531.不等式组Error!所表示的平面区域的面积为 S，则当不等式 a 恒成立时，实数 a 的取值范围是S 3m 1_. 答案 ( ，6