2019年高考数学理科第二伦专题：算法、排列、组合与二项式定理（命题猜想）

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1、【考向解读】 1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.【命题热点突破一】程序框图例 1、 （2018 年全国卷理数）为计算 ，

2、设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入 ，选 B.【变式探究】 【2017 课标 1，理 8】右 面 程 序 框 图 是 为 了 求 出 满 足 3n2n1000 的 最 小 偶 数 n， 那 么 在 和两 个 空 白 框 中 ， 可 以 分 别 填 入AA1 000 和 n=n+1BA1 000 和 n=n+2CA 1 000 和 n=n+1DA 1 000 和 n=n+2【答案】D【解析】由题意，因为 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 ，故填10A，又要求

3、为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填 ，故选 D.10An 2n【变式探究】执行右面的程序框图,如果输入的 ,则输出 x,y 的值满足（A） 2yx （B） 3yx （C） 4yx （D） 5yx【答案】C【解析】当 时， ，不满足 ；，不满足 ； ，满足 ；输出 3,62xy，则输出的 ,xy的值满足 4x，故选 C.【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构” 为主的程序框图以 “条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序

4、框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用【变式探究】 某程序框图如图 所示，若该程序运行后输出的 S 的值为 72，则判断框内填入的条件可以是( )An8? Bn9? Cn10? Dn11?【答案】A 【解析】依题意，可知程序运行如下：n1，S0S021 2， n2S2226，n3S62312，n4S122420，n5S202530，n6S302642，n7S422756，n8S562872，n9，此时输出 S 的值为 72，故判断框中应填“n8？”.【命题热点突破二】排列与组合例 2、 （2018 年浙江卷）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2

5、，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为因此一共有 个没有重复数字的四位数.【变式探究】 【2017 课标 II，理 6】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成 三份：有 种方法，然后进行全排列 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有 种方法。 故选24C3AD。【变式探究】用数字

6、 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为 1 或 3 或 5，其他位置共有 4A种排法，所以奇数的个数为 4372，故选 D.【感悟提升】解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解，间接法是从问题的对立面求解不论是直接法还是间接法，都要遵循“特殊元素、特 殊位置优先考虑”的原则注意几种典型的排列组合问题：相邻问题(捆绑法) 、不相邻问题 (插空法)、定序问题( 组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等【变式探究】已知直

7、线 1(a，b 是非零常数) 与圆 x2y 2100 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那xa yb么这样的直线有_条. 【变式探究】在 6(12)x的展开式中， 2的系数为_.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式 可知， 2x的系 数为 。【感悟提升】(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的(2) 二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值【变式探究】(ax)(1 x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_ _【答案】

8、3 【解析】 （ax） （1x） 4 的展开式中 x 的奇数次幂项一部分来自第一个因式取 a，第二个因式取 C x 及 C14x3；另一部分来自第一个 因 式取 x，第二个因式取 C x0，C x2 及 C x4.所以系数之和为34 04 24 4aC aC C C C 8a832，所以 a3.14 34 04 24 4【高考真题解读】1. （2018 年天津卷）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据： ，结果为整数，执行 ， ，此时不满足 ；，结果不为整数，

9、执行 ，此时不满足 ；，结果为整数，执行 ， ，此时满足 ；跳出循环，输出 ，本题选择 B 选项.2. （2018 年江苏卷）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为_【答案】8【解析】由伪代码可得 ，因为 ，所以结束循环，输出3. （2018 年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】初始化数值 ，循环结果执行如下：第一次： 不成立；第二次： 成立，循环结束，输出 ，故选 B.4. （2018 年全国卷理数）为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 得程序框图先对奇数项

10、累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入 ，选 B.5.（2018 年浙江卷）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1 260【解析】若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为因此一共有 个没有重复数字的四位数.6. （2018 年全国卷理数） 的展开式中 的系数为A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】C【解析】由题可得令 ,则 ，所以 ，故选 C.7. （2018 年浙江卷）二项式 的展开式的常数项是_【答案】7【解析】二项式 的展开式的通项公式为 ,令 得 ，故

11、所求的常数项为8. （2018 年天津卷）在 的展开式中， 的系数为_.【答案】【解析】结合二项式定理的通项公式有： ，令 可得： ，则 的系数为： .9.（2018 年浙 江卷）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作 答)【答案】1260【解析】若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为因此一共有 个没有重复数字的四位数.1.【2017 课标 1，理 6】 展开式中 的系数为2xA15 B20 C30 D35【答案】C2.【2017 课标 II，理 6】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成

12、 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成 三份：有 种方法，然后进行全排列 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有 种方法。 故选24C3AD。3.【2017 天津，理 14】用数 字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_ _个.（用数字作答）【答案】 1080【解析】 4.【2017 山东，理 11】已知 13nx的展开式中含有 2x项的系数是 54，则 n .【

13、答案】 4【解析】由二项式定理的通项公式 ，令 2r得： 2C354n，解得 n5.【201 7 课标 II，理 8】执行右面的程序框图，如果输入的 1a，则输出的 S（ ）A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】阅读流程图，初始化数值 循环结果执行如下：第一次： ；第二次： ；第三次： ；第四次： ；第五次： ；第六次： ；结束循环，输出 3S 。故选 B。6.【2017 课标 1，理 8】右 面 程 序 框 图 是 为 了 求 出 满 足 3n2n1000 的 最 小 偶 数 n， 那 么 在 和 两 个 空白 框 中 ， 可 以 分 别 填 入AA1 000 和 n=n+1BA1 000

14、 和 n=n+2CA 1 000 和 n=n+1DA 1 000 和 n=n+2【答案】D【解析】由题意，因为 ，且 框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 10A，故填10A，又要求 n为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填 2n，故选 D.7.【2017 天津，理 3】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为 24，则输出 N的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】依次为 8N , ，输出 2N ，选 C.8.【2017 山东，理 6】执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的 x的值为 7，第二次输入的 x的值为 9，则第一次、第二次输出的 a的值分别

15、为（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0【答案】D【解析】第一次 ；第二次 ，选 D.9.【2017 北京，理 2】若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（A）（，1） （B）（ ，1） （C）（1，+ ） （D ）（ 1，+ ）【答案】B【解析】设 ，因为复数对应的点在第二象限，所以 10 a，解得：1a，故选 B.10.【2017 天津，理 9】已知 aR，i 为虚数单位，若 i2a为实数，则 a 的值为 .【答案】 2 【解析】 为实数，则 .11.【2017 江苏，2】 已知复数 其中 i 是虚数单位，则 z的模是 .【答案】 10 【解析】 ，

16、故答案为 1012.【2017 江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入 x的值为 6,则输出的 y的值是 .【答案】 2【解析】由题意得 ，故答案为 21.【2016 高考新课标 1卷】执行右面的程序框图,如果输入的 ,则输出 x,y 的值满足（A） 2yx （B） 3yx （C） 4yx （D） 5yx【答案】C2.【2016 高考新课 标 3 理数】执行下图的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 n（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一次循环，得 ；第二次循环，得 ，2n；第三次循环，得 ；第四次循环，得，退出循环，输出 4n，故选 B3.【2016 年高考四川理

17、数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法 .如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（A）9 （B）18 （C）20 （D）35【答案】B【解析】程序运行如下结束循环，输出 18v，故选 B. 答案 1 5607(2015北京，9)在(2x) 5 的展开式中，x 3 的系数为_(用数字作答)解析 展开式通项为：T r1 C 25r xr，当 r3 时，系数为 C 253 40.r5 35答案 408(2015天津，12)在 的展

18、开式中，x 2 的系数为_ (x 14x)6 9(2015四川，6)用数字 0， 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( )A144 个 B120 个 C96 个 D72 个解析 由题意，首位数字只能是 4，5，若万位是 5，则有 3A 72 个；若万位是 4，则有 2A 个4834 34个，故 40 000 大的偶数共有 7248120 个选 B.答案 B10. (2015陕西，4)二项式(x1) n(nN )的展开式中 x2 的系数为 15，则 n( )A4 B5 C6 D7解析 由题意易得：C 15，C C 15，即 15，解得 n6.n 2n n 2n 2nn（n 1）2答案 C