高考数学命题热点名师解密专题:不等式的性质的解题技巧理
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1、专题 32 不等式的性质的解题技巧一 【学习目标】1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用二 【知识要点】 1不等式的定义用不等号“,”将两个数学表达式连接起来,所得的式子叫做不等式2实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0a b;ab0ab;abb b b,bc a c;(3)可加性:ab a+cb+c;ab,cd a+cb+d;(4)可乘性:ab,c0 acbc;a b,c b0,cd0acbd;(5)倒数法则:a b,ab0 ;1(6)乘方性质:a b0 (n2,nN *);(7)开方性质:a b0 (n2,nN *);na(8)有关分数的性
2、质:若 ab0,m 0,则真分数的性质: (bm0);bab ma m假分数的性质: ;aba mb m0)aba mb m4基本不等式(1)a2b 22ab;变式: ab;当且仅当 ab 时等号成立;a2 b22(2)如果 a0,b0,则 ;变式:ab ,当且仅当 ab 时,等号成立,其中 叫a b2 ab (a b2 )2 a b2做正数 a,b 的算术平均数, 叫做正数 a,b 的几何平均数ab5(1)若 a0,b0,且 abP(定值),则由 ab 可知,当 ab 时,ab 有最大值 ;(a b2 )2 P24 P24(2)若 a0,b0 且 abS(定值),则由 ab2 2 可知,当
3、ab 时,ab 有最小值 2 .ab S S三典例分析 (一)由已知条件判断不等式例 1已知条件甲: ,条件乙: 且 ,则甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要 不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件,属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意:首先弄清条件 和结论 分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.练习 1已知 ,有下列命题:若
4、 ,则 ;若 ,则 ;若 ,则 ; 若 ,则 ;其中真命题的个数为( )A 1 B2 C3 D4【答案】C【解析】取 ,则 ,但 ,故错;因 ,所以 ,因此 ;即正确;因 ,所以 ,故正确;因 ,由 ,得 ,所以 ,故正确.练习 2有下列四个命题:已知-1 a b0 ,则 0.3a a2 ab;若正实数 a、 b 满足 a+b=1,则 ab 有最大值 ;若正实数 a、 b 满足 a+b=1,则 有最大值 ;x, y(0,+) , x3+y3 x2y+xy2其中真命题的个数是( )A 1 B2 C3 D4【答案】D【解析】 已知 1ab0,则 0.3a1,1a 2ab0,即有 0.3aa 2ab
5、 正确;若正实数 a、 b 满足 a+b 1,则 ab( ) 2 ,有最大值 正确;若正实数 a、 b 满足 a+b 1,则 ,有最大值 正确; 练习 3设 ,给出下列三个结论: ; ; 其中所有的正确结论的序号是 ( )A B C D【答案】B【解析】逐一分析所给的不等式:由于 ,故 ,结合 可得 ,说法正确;由于 ,故 幂函数 在区间 上单调递减,结合 可得 ,说法正确;由于 ,故 ,对数函数 单调递减,故 ,说法错误.综上可得:所有的正确结论的序号是.本题选择 B 选项.练习 4已知函数 在区间 内有唯一零点,则 的取值范围为( )A B C D【答案】A【解析】由题意 在区间 内有唯一
6、实数解令 ,解得 ,函数 在区间1,e上单调递增, 则 ,则 的取值范围为 .故选 A.(三)作差法比较大小例 3已知 , , ,则 与 的大小关系为A B C D【答案】D【解析】因为 ,所以 ,故选 D.练习 1设 , , , ,则 的 大小关系是( )A BC D【答案】D【解析】因为 , 所以 可得因为 ,所以 递减,所以 可得 ,故选 D.练习 2设 且 ,则 与 的大小关系为( )A B C与 值有关,大小不定 D以上都不正确【答案】A【解析】, 当 时, , ;当 时, ;当 时, , ,综上可得 ,故选 A.练习 3若 则下列式子:( 1) , (2) ,(3 ) , (4 )
7、 .其中恒成立的个数是A 1 个 B2 个 C 3 个 D4 个【答案】A【解析】(1 ) = ,当 a=1,b=-2.时不等式不成立;(2) = 当 a=1,b=-1 时,不等式不成立;(3) 恒成立.选项正确 .(4) ,故不正确.故答案为:A.(四)作商法比较大小15设 1,则( )A aaa bb a Ba ab aa b Ca ba ab a Da bb aa a【答案】C【解析】 1,0ab1. a ab 1.a ba a. , ,0 1,a0, 1.a ab a.a ba ab a.故答案为:C【点睛】 (1)本题主要考查比较法和指数函数的性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和
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