高考文科数学命题热点名师解密专题:含参数的导数问题解题规律
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1、专题 08 含参数的导数问题解题规律一知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)_( C 为常数); ( x)_;(x 2)_; _;(1x)( ) _x(2)初等函数的导数公式(x n)_; (sin x) _;(cos x)_; (e x)_;(a x)_; (ln x)_;(log ax)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x) _;(2)f(x)g(x)_;(3) _f(x)g(x)6复合函数的导数(1)对于两个函数 yf(u)和 ug(x),如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称这两个函数(函数yf(u)和 ug(x)的复合函数为 yf( g(x) (二)构
2、造函数例 2已知函数 .(1)讨论 的单调性;(2)当 , 为两个不相等的正数,证明: .【答案】 (1) 时, 在区间 内为增函数; 时, 在区间 内为增函数; 在区间 内为减函数; (2)见解析.【解析】 (1)求出 ,分两种种情况讨论 的范围,在定义域内,分别令 求得 的范围,可得函数增区间, 求得 的范围,可得函数 的减区间;(2)设 ,原不等式等价于,令 ,则原不等式也等价于即 .设 ,利用导数可得 在区间 内为增函数, ,从而可得结论.【详解】 (1)函数 的定义域为 , .若 , ,则 在区间 内为增函数;若 ,令 ,得 .则当 时, , 在区间 内为增函数;当 时, , 在区间
3、 内为减函数.(2)当 时, .不妨设 ,则原不等式等价于 ,令 ,则原不等式也等价于即 下面证明当 时, 恒成立.设 ,则 ,故 在区间 内为增函数, ,即 , 所以 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,利用导数证明不等主要方法有两个,一是比较简单的不等式证明,不等式两边作差构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;二是较为综合的 不等式证明,要观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式 变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.练习 1.已知函数 .(1)证明: fx有两个零点
4、;(2)已知 1,若 0xR,使得 ,试比较 与 02x的大小.【答案】 (1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析:(1) 在 0,3上单调递减,在 3,上单调递增,根据函数的最值情况确定零点个数; (2) 由 , ,可得:,令 t, 函数 ht在1,上单调递增, , ,又 在 1,上是增函数, 02x,即 0x.试题解析:(1)据题知 ,求导得: 令 0fx,有 3;令 0fx,得 3x,所以 fx在 0,3上单调递减,在 3,上单调递增,令 1x,有 0f;令 2xe,有故 f在 ,3和 ,各有 1 个零点. fx有两个零点.(2)由 ,而令 t, 则 ,函数 ht在 1,上单调递增,
5、故 . ,又 在 1,上是增函数, 02x,即 0x.(三)极值点偏移例 3已知函数 (其中 e 是自然对数的底数, kR) (1)讨论函数 的单调性;(2)当函数 有两个零点 时,证明: 【答案】 (1)见解析;(2)见解析.【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。 (1)求导数后,根据导函数的符号判断出函数的单调性。 (2)根据题意将证明 的问题转化为证明 ,即证 ,构造函数 ,利用函数 的单调性证明即可。试题解析:(1)解: 。当 时,令 ,解得 ,当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增。当 时, 恒成立,函数 在 R 上单调递增 . 综上,当 时, 在
6、 上单调递减,在 上 单调递增。当 时, 在 R 上单调递增 .(2)证明:当 时,由(1)知函数 单调递增,不存在两个零点。所以 。设函数 的两个零点为 ,则 ,设 ,解得 ,所以 ,要证 ,只需证 ,设设 单调递增,所以 ,所以 在区间 上单调递增,所以 ,故 练习 1.已知函数 .(1)讨论 的单调性;(2)已知 存在两个极值点 , ,令 ,若 , ,求 的取值范围.【答案】 (1)见解析; (2) .【解析】 (1)对函数进行求导,讨论导数的正负,求得单调区间.(2)将 变形为 ,利用韦达将其转化为关于 a 的函数,求得最值,即可得到 的取值范围.当 时,在 上 , 单调递增;在 上
7、, 单调递减.当 时,在 和 上 , 单调递减;在 上 , 单调递增.(2) ,则 ,由(1)可知, , ,且 .则 ,从而 .令 , ,则 .因为 ,所以 ,所以 在 上单调递减,则 ,即 .因为 , ,即 ,所以 ,即 的取值范围为 .【点睛】本题考查了导数和函数的单调性,极值,最值的关系,以及函数的能成立的问题,培养学生的转化能力,运算能力,属于难题(四)多变量问题 例 4已知函数 ( 0x) , ( mR) ()求 fx的单调区间;()求证:1 是 g的唯一极小值点;()若存在 a, 0,b,满足 ,求 的取值范围.(只需写出结论)【答案】(1) 单调递增区间为 3,4, fx的单调递
8、减区间为 3,4 (2)见解析(3)34me【解析】试题分析:()求出 fx, 0f求得 x 的范围,可得函数 fx增区间, 0fx求得 的范围,可得函数 f的减区间;()先求得 ( 0) ,可得1g,又可证明 在定义域内递增,即可证明 1 是 g(x)的唯一极小值点;()令两函数的值域有交集即可.() 因为 令 0fx,得 因为 ,所以 34x 当 x变化时, f, f的变化情况如下:x30,43,4fx0fA极大值 A故 fx的单调递增区间为 30,4, fx的单调递减区间为 3,4 ()证明: ( 0x) , 设 ,则 故 gx在 0,是单调递增函数, 又 1,故方程 0gx只有唯一实根
9、 1x 当 x变化时, , 的变化情况如下:0,11 1,gx0A极小值 A故 gx在 1时取得极小值 1gm,即 1 是 gx的唯一极小值点. ()34me(五)与 三角函数有关的函数问题例 5已知函数 ( 0x).(1)若 1a,求函数 fx的极大值;(2)若 0,2x时,恒有 0f成立,求实数 a的取值范围【答案】 (1) k;(2) 1,【解析】试题分析:(1)当 1a时, ,对其求导 ,判断导数与 0 的关系,故而可得其极值;(2)对 fx求导, ,当 1a时,函数单调递增,不等式成立;当 时,对其进行二次求导,可得 0fx恒成立, fx单调递增,结合零点存在定理可得 fx有唯一零点
10、 0x,进而可得当 0,时, f单调递减,且 ,即0f不恒成立;试题解析:(1) 1a时, ,当 , kN时, 0fx, fx单调递增,当 , kN时, 0fx, fx单调递减,所以,当时, fx取得极大值 21, .(2)当 10a,即 1时, 0fx,所以 fx单调递增,所以 ;当 时, ,所以 fx单调递增, , ,所以 fx有唯一零点,记为 0x,当0,时, 0f, fx单调递减,且 ,即 不恒成立;综上所述,a的取值范围是 1,.练习 1.已知函数的 图象在点 处的切线方程为 54yx. (1)求 ,ab的值(2)求函数 fx在 ,42值域.【答案】 (1) 3,;(2) .【解析】
11、试题分析:(1)求得 fx的导数,可得切线的斜率和切点,由已知切线的方程可得 ,ab的方程组,解方程即可得到所求;(2)求得 fx的导数,利用导数研究函数 的单调性,利用单调性即可得到函数 fx在 ,42值域.试题解析:(1) 为 ) ,又,解得 3,1ab.(2)由(1)知, , 函数 fx在,4上递增, , , 函数 fx在 ,42上的值域为 .(六)构造函数求参数例 6设函数 .(1)当 a时,求函 数 gx的极值;(2)设 ,对任意 ,都有 ,求实数 b的取值范围.【答案】 (1) 无极大值;(2) 27b.【解析】试题分析:(1) 当 1a时, ,定义域为 0,, ,结合函数的单调性
12、可得,函数没有极大值.(2) 由已知 ,构造函数 ,则Gx在 0,2上单调递减,分类讨论可得:当 1时, 7b.当 ,x时, ,0,综上,由得: 2.(2)由已知 ,设 ,则 Gx在 0,2上单调递减,当 1,x时, ,所以 ,整理: 设 ,则 在 1,2上恒成立,所以 hx在 1,2上单调递增,所以 hx最大值是 .当 0,时, ,所以 ,整理: b 设 ,则 在 0,1上恒成立,所以 mx在 0,1上单调递增,所以 mx最大值是 ,综上,由得: 27b.练习 1.已知函数 在 处的切线斜率为 .(1)若函数 在 上单调,求实数 的最大值;(2)当 时,若存在不等的 使得 ,求实数 的取值范
13、围.【答案】 (1) ;(2) .【解析】 (1)先根据切线的斜率求出 ,再根据函数单调,得到 恒成立,求出 b 的最大值.(2) 转化为存在不等的 ,且 使得 ,进而得到 k0.【详解】 (1)函数 在 处的切线斜率为解得 .所以 ,故因为函数 在 上单调故 或 在 上恒成立.显然 即 在 上不恒成立.所以 恒成立即可.因为可知 在 上单减, 单增故 ,所以实数 的最大值为 1.(2)当 时,由(1)知函数 在 上单调递增不妨设 ,使得即为存在不等的 ,且 使得.其否定为:任意 ,都有即:函数 在 上单调递增.由(1)知: 即所以若存在不等的 使得实数 的取值范围为 .(七)讨论参数求参数例
14、 7已知函数 , ( e为自然对数的底数) ()当 1a时,求函数 fx在点 0,f处的切线方程;()若函数 gx有两个零点,试求 a的取值范围;()当 0时, 恒成立,求实数 的取值范围【答案】(1) 1yx (2) ,(3)【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义得到 01f, 1f,根据这两点可以写出切线方程。 (2)对函数 gx进行单调性的研究,分 a, , 0a,三种情况讨论单调性,研究函数的图像变换趋势,得到参数方位。 (3)原不等式等价于 恒成立,对右侧函数研究单调性得最值即可。解析:()当 1a时, . 01f, 1f.所以函数 fx在点 0,f处的切线方程为 yx.()函数
15、 g的定义域为 R,由已知得 .当 0a时,函数 只有一个零点;当 ,因为 20xea,当 ,x时, g;当 ,x时, 0gx.所以函数 在 ,上单调递减,在 0上单调递增. 又 1, ga,因为 0x,所以 10x, xe所以 ,所以取 ,显然 0且 0g所以 , .由零点存在性定理及函数的单调性知,函数有两个零点.当 0a时,由 ,得 0x,或 .)i当 12,则 0lna.当 x变化时, g, x变化情况如下表:注意到 01g,所以函数 gx至多有一个零点,不符合题意.)i当 2a,则 0lna, 在 ,单调递增,函数 gx至多有一个零点,不符合题意.若 ,则 .当 x变化时, gx,
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