高考文科数学命题热点名师解密专题:幂指对函数性质活用(含答案)
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1、专题 05 幂指对函数性质活用一命题陷阱及易错点分析指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数,初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时,主要有概念类、分类讨论、转化不等价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中:1.概念类陷阱,包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论,指数函数对数函数的定义中对底数的限制及对数对真数的限制; (1)指数幂的运算.注意几个运算公式的使用.(2)指数函数底数讨论. 当 时函数是减函数,当 时函数是增函数.xya011a(3)指数函数定义.函数必须严格具备 形式的函数是指数函数.(4)对数
2、的底数和真数,它们都必须大于 0,底数还要不等于 1.2.隐含条件陷阱,对含有 的式子,隐含着 .0xa3. 迷惑性陷阱,含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题.4.分类讨论陷阱,含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏.5. 等价转化陷阱,指数函数与对数函数互为反函数问题,转化为数形结合问题.6.定义域为 R 与值域为 R 及特定定义域陷阱7.幂指对函数中的倒序求和二 【学习目标】1理解对数的概念,掌握指数与对数的相互转化,会运用指数、对数运算法则进行有关运算2掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用3掌握以对数函数为载体的复
3、合函数的有关性质4了解指数函数 ya x与对数函数 ylog ax 互为反函数(a0 且 a1)的关系三 【知识要点】1对数的定义如果 axN(a0 且 a1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作_,其中 a叫做对数的底数,N 叫做真数2几种常见的对数对数形式 特 点 记法一般对数 底数为 a(a0 且 a1) logaN常用对数 底数为 10 lg N自然对数 底数为 e ln N3.对数的性质(a0,且 a1,N 0) _;log aaN_; 换底公式:_;log ab ,推广 logablogbclogcdlog ad.1logba4对数的运算法则如果 a0 且 a1,M0,
4、N0,那么log a(MN)_;log a _ ;MNlog aMn_;log amMn_5对数函数的概念、图象和性质定义形如 ylog ax(a0,且 a1)的函数叫对数函数图象(1)定义域:_ (2)值域:_(3)过点_ _,即 x1 时,y0(4)在(0,)上是_ 在(0 ,) 上是_性质 (5)x1 时,_01 时,_0 a10,m=a b1aa1n=ba1,则 mn,本题选择 C 选项.2.幂指对函数的性质例 2【江苏扬州 2019 模拟】已知 是 上的减函数,那么 的取值范围是 ( )A B C D【答案】C【分析】由 在 上递减, 在 上递减,结合 即可得结果.【点评】本题主要考
5、查分段函数的解析式及单调性,属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点,也是高考命题热点,要正确解答这种题型,必须熟悉各段函数本身的性质,在此基础上,不但要求各段函数的单调性一致,最主要的也是最容易遗忘的是,要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.练习 1.函 数 的单调递增区间为( )A (,2) B (2,+) C ( ,4) D (4,+ )【答案】D【解析】先求得函数的定义域,函数 是复合函数,外函数是增函数,再找出内函数在定义域内的增区间即可。【详解】由函数 ,可得 x24x0,求得 x0 或 x4,故函数的定义域为x |x0 或 x4 ,令 tx 24x, 则 因为 是定
6、义域内的增函数,只需找出函数 tx 24x 在定义域内的增区间利用二次函数的性质可得 t x24x 在定义域内的增区间为(4,+) ,故选:D【点睛】研究函数的单调性,首先要考虑函数的定义域,要注意函数的单调区间是定义域内的某个区间。对于复合函数的单调性,要综合考虑内外函数的单调性,利用“同增异减”的方法。练习 2.函数 y =log0. 5(x2-3x-10)的递增区间是 ( )A(- ,-2) B(5,+ ) C(- , ) D( ,+ )【答案】A【解析】由 得 或 .当 时, 单调递减,而 ,由复合函数单调性可知, 在 上是单调递增的,故选 A.学_科网点睛:复合函数单调性的判断: .
7、当内层函数 单调递增,外层函数 单调增,则 单调递增;当内层函数 单调递减,外层函数 单调减,则 单调递增;内层函数 单调递减,外层函数 单调增,则 单调递减;内层函数 单调递增,外层函数 单调减,则 单调递减.将上述判断方法简称为“同增异减”.3.幂指对函数的定义问题例 3 【2019 四川遂宁模拟】函数 f(x)(a 23a3)a x 是指数函数,则有( )Aa1 或 a2 Ba1 Ca2 Da0 且 a1【答案】C【分析】根据指数函数的定义得到 a23a3=1, a0 且 ,解出方程即可.【解析】函数 f(x)(a 23a 3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到 a23a3=1,
8、且 a0,解得 a=1 或2,因为指数函数的底数不能为 1,故结果为 2.故答案为:C.【点睛】这个题目考查的是指数函数的定义,即形如 ,a0 且 ,即是指数函数,题型基础.练习 1.若幂函数 的图像经过点 ,则它在点 处的切线方程是( )A BC D【答案】C【解析】试 题分析: 经过点 A 的幂函数,所以 m=1, ,所以 ,则它在点 A 的切线方程为 4x-4y+=0,故选 C考点:本题考查幂函数以及用导数研究函数的切线点评:解决本题的关键是掌握幂函数的定义,以及导数的几何意义练习 2 函数 2xya的图象经过的定点坐标是( )A. 0,1 B. ,1 C. 2,1 D. 2,0【答案】
9、C【解析】由指数函数 xya过定点 0,,令 x, ,则函数 2xya过定点 ,1,故选 C.4.幂指对函数的图像问题例 4 【沈阳 2019 模拟】若函数 的图象如图所示,则下列函数与其图象相符的是( )A B C D【答案】B【解析】由函数 的图象可知,函数 3a,则下图中对于选项 A, 3xy是减函数,所以 A 错误;对于选项 B, 3yx的图象是正确的,故选 B考点:对数函数与幂函数的图象与性质【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题,属容易题识图问题常见类型及策略有:1由实际情景探究函数图象,关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题;2由解析式确定
10、函数的图象,此类问题往往先化简函数的解析式,利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断,常用排除法;3已知函数图象确定相关函数图象,此类问题主要考查函数的图象变换(如平移变换、对称变换等) ,要注意函数 yfx与函数 yfx、 yfx、 、 yfx、 yfx等的相互关系;4借助动点探究函数图象,解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式,求出函数解析式后再判断函数的图象,也可采用“以静观动”,即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征,从而作出选择练习 1下图中曲线是幂函数 在第一象限内的图象,已知 p 分别为 , 中的一个,则相应于曲线 C1、C 2、C 3、C 4 的 p 值依次是
11、( )A-2, , ,2 B ,-2 , 2,C2, , ,-2 D2, ,-2 ,【答案】C【解析】做直线 ,与四个函数图象从上到下的交点依次记为而 ,从而相应于曲线 的 n 依次为 2, , ,-2故选 C.练习 2.已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为( )A BC D【答案】A【解析】由题意可得 x-1-lnx 0,且 x0,令 ,所以gx在(0,1)单调递减,在(1,+ )上单调递增,且 g(x)g(1)=0,即 g(x)0 恒成立,所以 f(x)0,且在(0,1)单调递增,在(1,+ )上单调递减。选 A.【点睛】对于函数图像选择题,一般从四个选项的差异性入手讨论函
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