高考文科数学命题热点名师解密专题:函数问题的解题规律(含答案)
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1、专题 02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱 2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二知识点【学习目标】1了解映射的概念,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式;2在实际情境中,会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法) 表示函数;3了解简单的分段函数,并能简单应用;4掌握求函数定义域及解析式的基本方法【知识要点】1函数的概念设 A,B 是非空的数
2、集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 ,在集合 Bx中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:,其中 x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然 f(x)|xA B.2映射的概念设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的任意一个元素,在集合 B 中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A,B ,以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A到集合 B 的映射3
3、函数的特点函数是一种特殊的映射,它是由一个集合到另一个集合的映射;函数包括定义域 A、值域 B 和对应法则 f,简称函数的三要素;关键是对应法则4函数的表示法函数的表示法:图示法、解析法5判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时),则这两个函数相等6分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用几个式子表示函数,这种形式的函数叫分段函数注意:不要把分段函数误认为是多个函数,它是一个整体,分段处理后,最后写成一个函数表达式三典例分析及变式训练(一)定义域陷阱例 1. 【曲靖一中 2019 模拟】已知 ,若函数 在(3, 2)上为减函数,且函数= 在
4、上有最大值,则 的取值范围为( )A B C D 【答案】A【分析】由 在 上为减函数,可得 ;由 在 上有最大值,可得,综上可得结果,.【解析】 在 上为减函数,且 在 上恒成立, ,又 在 上有最大值,且 在 上单调递增,在 上单调递减,且 ,解得 ,综上所述, ,故选 A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性,以及利用单调性求函数最值,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减” 的含义(增增 增,
5、减减 增,增减 减,减增 减). 故答案为:D.练习 2已知函数 则 _【答案】1008【解析】分析:由 关系,可类比等差数列一次类推求值即可.详解:函数 ,则 ,故答案为:1008.点睛: 可类比“等差数列”或函数周期性来处理.(七)分段函数问题例 7 【河北省廊坊市 2019 届高三上学期第三次联考】若函数 在 上是单调函数,且 存在负的零点,则 的取值范围是( )A B C D 【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点,列出不等式,化简即可【详解】当 时, ,所以函数 在 上只能是单调递增函数,又 存在负的零点,而当 时,f(0)=1+a,当 时,f (0)=3a-2, 03a-
6、2 1+a,解得.故选 B.【点评】本题考查分段函数的应用,考查分类讨论思想,转化思想以及计算能力练习 1.已知函数 ,则 f(1)- f(9)=( )A 1 B 2 C 6 D 7【答案】A【解析】利用分段函数,分别求出 和 的值,然后作差得到结果.【详解】依题意得 , ,所以 ,故选 .【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值,只需要将自变量代入对应的函数段,来求得相应的函数值.属于基础题.练习 2已知 ,那么 等于( )A 2 B 3 C 4 D 5【答案】A【解析】将 逐步化为 ,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知, ,继而 ,由分段函数第一段解析式 ,故选
7、 A.【点睛】本题考查分段函数求函数值,要确定好自变量的取值范围,再代入相应的解析式求得对应的函数值,分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.(八)函数的解析式求法例 8. (1)已 f ( )= ,求 f(x)的解析式.(2) 已知 y =f(x )是一次函数,且有 f f(x)=9x8,求此一次函数的解析式【答案】 (1) ; (2) .【解析】 (1)利用换元法即可求解;(2)已知函数是一次函数,可设函数解析式为 f(x)=ax b,再利用待定系数法列出关于 a、b 的方程组即可求解出 a、b 的值.【详解】 (1) 设 (x0 且 x1)(2)设 f(x)=axb,则
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