福建省泉州市2019届普通高中毕业班第一次（2月）质量检查文科数学试题含答案解析（PDF版）

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1、市 质检数学 （文科 ）试题 第 1 页（ 共 9 页） 保密 启用前 泉 州市 2019 届普通高中 毕 业班 第 一次 质 量检 查 文 科 数 学 2019.2 一 、 选 择题 ： 本题 共 12 小题 ， 每 小题 5 分，共 60 分 在 每 小 题 给出 的 四个 选 项中 ， 只 有一 项 是符 合 题目 要求 的 1 已 知集 合 0,1,2 A ， = | 2 1, B x x n n A ，则AB 中元 素 的个数 为 A 1 B 3 C 4 D 5 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 集合 的表示 法 、 运算 等 基础 知识 ， 考查运 算求 解能 力 ， 体 现

2、基础性 ， 导向 对 数 学运 算 素养的 关注 预 测难 度 0.95 ，实 测难 度. 【试题 简析 】 由已知 可得 = 1,1,3 B ，所 以 1,0,1,2,3 AB 共有 5 个元素 ，故 选 D 【错选 原因 】 错选 A ： 集合 的并 集、 交 集概念 不清 ，求成AB ； 错选 B ： 概念 不清 ； 错选 C ： 概念 不清 2 记 等差 数列 n a 的前n 项和 为 n S 若 4 24 S ， 13 10 aa ，则 7 a A 15 2B 25 3C 15 D 18 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 等差 数列 的通项 公式 、 前n 项和 公式 及性质 等

3、基 础知 识 ， 考查 运算求 解能 力， 考查 化 归与转 化思 想 、 函数 与方 程思想 等， 体现 基础 性， 导向对 发展 数学 运算 、 数 学建模 等核 心素 养的 关注 预 测难 度 0.9 ，实 测难 度. 【试题 简析 】 解法一 ：由 已知 可得 41 1 3 1 4 6 24, 2 2 10, S a d a a a d 解得 1 3, 2, a d 所以 71 6 15 a a d ，故 选 C 解法二 ： 由已 知可 得 4 1 3 2 4 14 S a a a a ， 所 以 2 4 1 3 24 a a a a d ，即 2 d ， 又 1 3 2 2 10 a

4、 a a ，即 2 5 a ，所 以 72 5 15 a a d ，故选 C 解法三 ：由 已知 可得 4 1 3 2 4 3 2 14 S a a a a a ，所 以 3 7 a ；又由 1 3 2 2 10 a a a ，和 2 5 a ；由 3 7 a ， 2 5 a ，得 2 d .所以 72 5 15 a a d ，故选 C 市 质检数学 （文科 ）试题 第 2 页（ 共 9 页） 【错选 原因 】 错选 A ： 等差 数列 的前n 项和 公式 n S 记忆 错误 ； 错选 B ： 等差 数列 的前n 项和 公式 n S 记忆 错误 ； 错选 D ： 等差 数列 的性 质 运用错误

5、 3 “微 信” 和 “QQ ” 是腾 讯社交 体系 中的 两款 产品 ， 小明 为 了 解不同 群体 对这 两款 产品 的首选 情况 ， 统计 了周 围 老师和 同 学 关 于 首 选 “ 微 信 ” 或 “QQ ” 的 比 例 ， 得 到 如 下 等 高 条 形 图 根据 等 高条 形图 中的 信息， 可判 断 下 列说 法正 确的是 A 对 老 师而 言， 更倾 向 于 首选 “微 信” B 对 学 生而 言， 更倾 向于 首选“QQ ” C 首选 “微 信” 的老 师比 首选 “ 微信 ”的 同学 多 D 如果 首 选 “微 信” 的 老师比 首选 “微 信” 的同 学多， 则小 明统

6、 计的 老师 人数一 定比 学生 多 【 命题 意图 】 本 小题 以 等高条 形图为常见 统计图 表的抽测 案例 ，考 查 对统 计图表的 识图能力 （即 阅 读理解能 力 ） 、 信息提 取能 力 ， 考查 抽象 概括能 力 ， 考查 统计 思想 、 数形 结合 思想 ， 体 现基 础性与 应用 性， 导向 对 数 据分 析素养 、 直 观想 象 素 养的 关注 预测 难 度 0.8 ，实 测 难度. 【试题 简析 】 思路 1 （ 直接 法） ： 由 图形 直观判 断 ， 老 师群 体中 首 选 “ 微信 ” 的比例 ， 明显 高于首选 “QQ ” 的比 例， 故选 A. 思路 2 （

7、排除 法） ：由 图形 直观判 断， 学生 群体 中首 选 “QQ ” 的比 例（ 约 40% ） ，低 于首选 “QQ”的 比例 （ 约 60% ） ， 排 除 B ； 由于图 表中 没有 老师 群体 和学生 群体 的统 计人 数， 所以无 法比 较首选 “微 信 ” 的 老师和 学生 的人 数， 排 除 C ；若 参与 统计 的老 师和 学 生的人 数相 等， 从图 表中 也可直 观判 断首选 “ 微信 ” 的老师 比首选 “ 微信 ”的 同学多 ， 故 D 的 结论 条件 不充分 ，排除 D. 【错选 原因 】 错选 B ： 把学 生群 体内 部 的比较 ，理 解成 不同 群体 （ 老师

8、 群体 与学 生群 体 ） 之间的 比较 ； 错选 C ： 该条 形图 统计 的 是比例 ，有 可能 小明 统计 的同学 人数 比老 师多 ； 错选 D ： 即 使统 计的 老师 人数和 学生 人数 一样 多 ， 首选 “微 信 ” 的 老师 也会 比 首选 “ 微信 ” 的同 学多 4 若 向量 13 ( , ) 22 AB ， ( 1,0) BC ，则 BAC A 30 B 60 C 120 D 150 【命题 意图 】 0.3 首选 “微信” 首选 “QQ ” 老师 学生 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.2 0.1 0市 质检数学 （文科 ）试题 第 3 页（ 共

9、 9 页） 本小题 主要 考查 向量 的 坐 标运算 、 数量 积运算 及夹 角公式 等基 础知 识 ， 或向 量及坐 标的 几何 意义 ， 考 查推理 论证 能力 、 运 算求 解能力 等 ， 考查 数形 结合 思想、 化归 与转 化思 想 ， 体现基 础性 与综 合性 ， 导 向对 发展直 观想 象、 数学 运算 等核心 素养 的关 注 预测 难度 0.8 ， 实测 难度. 【试题 简析 】 方法一 ：因为 1 3 1 3 ( , )+( 1,0) ( , ) 2 2 2 2 AC AB BC ， 所以 22 22 1 1 3 3 1 2 2 2 2 cos 2 1 3 1 3 2 2 2

10、 2 AB AC BAC AB AC ，得 60 BAC ，故选 B 方法二 ：直 接画 图， 构造 三角形ABC ，即 可直 观判 断 60 BAC 【错选 原因 】 错选 A ： 三角 函数 值记 忆 错误 ； 错选 C ： 向量 夹角 公式 记 忆错误 ； 错选 D ： 向量 夹角 公式 与 三角函 数值 记忆 错误 5已知 双 曲线 2 2 2 :1 x Cy a （ 0 a ）的渐 近 线方程 为 1 2 yx ，则C 的焦距 为 A 2 B 23 C 25 D 6 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 双曲 线的 方程 、 双 曲线 基本 量间 关 系、 焦距 等基 础知 识 ；

11、考 查运算 求解 、 推理 论证 能力； 考查 转化 与 化 归思 想 、数 形结 合思 想、 函数 与方程 思想 ；体 现基 础性 与综合 性， 导向 对数 学运 算 、 逻辑推 理素 养的 关注 预 测难 度 0.75 ，实 测难 度. 【试题 简析 】 方法一 ： 因 为双 曲线C 的焦 点在x 轴， 则C 的渐 近线 方程 为 b yx a ， 依 题意 得 11 2 a ，故 2 a ， 2 2 2 5 c a b ，焦距 2 2 5 c ，故 选 C 方法二： 在刻 画双 曲线 性 质的特 征图 形中， 利用 平 几知 识易直 接求 出长 方形 对角 线的长 ， 即 焦距 2 2

12、5 c ， 故 选 C 【错选 原因 】 错选 A ： 基本 量关 系误 算 成 1 c a b ； k=tan = 1 2 c b=1 a市 质检数学 （文科 ）试题 第 4 页（ 共 9 页） 错选 B ： 基本 量关 系算 成 2 2 2 3 c a b ； 错选 D ： 基本 量关 系误 算 成 2 2 2 3 c a b ，并 将焦 距错 算成 2 2c 6 若 , xy 满足 约束 条件 2 0, 3 5 0, 2 4 0, xy xy xy 则 2 z x y 的最 小值为 A 3 B 3 2 C 0 D 2 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 直线 的方 程、 线性 规划 等

13、基础 知识 ， 考 查抽 象概 括能力 、 推 理论证 能力 和运 算求解 能力， 考查化 归与 转化 思 想、 数 形结合 思想、 函数 与方程 思想， 体现 基础 性 、 综合 性 和应 用性 ， 导向 对发 展 直观 想象 、 逻 辑推 理、 数学运 算 等 核心 素养 的关 注 预 测难 度 0.75 ， 实测 难度. 【试题 简析 】 该 可行域 是 一个 以 11 7 (2,0), ( , ), (1,2) 22 A B C 为 顶点的 三角 形区 域( 包括边 界) 当动 直线 22 xz y 过点 (1,2) C 时，截 距 2 z 取得最 大值，z 取得 最小 值， 此时 1

14、 2 2 3 z ，故选 A 【错选 原因 】 错选 B：误 当 成动 直线 22 xz y 过点 11 7 ( , ) 22 B 时，z 取最 小值 ； 错选 C ： 代入 坐标 时误 把 横坐标 与纵 坐标 搞混 了 ； 错选 D ： 误把 求最 小值 求 成最大 值 7 执 行如 图所 示的 程序 框 图， 若 输出 1 3 S ，则 判断 框内 可以填 入 A 6 i B 7 i C 8 i D 9 i 开 始 结 束 输 出 =2 1 ， Si 1 ii 1 1 S S S S 是 否【命题 意图 】 市 质检数学 （文科 ）试题 第 5 页（ 共 9 页） 本小题 主要 考查 程序

15、 框图 、 循环 结构、 周期 性概念 等 基础知 识 ， 考查 推理 论证 能力和 运算 求解 能力 ， 考查 数 形结 合 思 想、 分类 与整合 思想 等， 体现 基础 性和综 合性 ， 导 向对 发展 逻辑推 理、 数学 运 算 、 数 学建 模 等核 心素 养的 关注 预 测难 度 0.7 ，实 测难 度. 【试题 简析 】 解法一 ：执 行该 程序 框图 ： 1 1 1 3, 2; , 3; , 4 , 8 2 3 3 S i S i S i S i ，故 选 C 解法二： 执行该程序框图 ： 11 3, 2; , 3; , 4; 2, 5 23 S i S i S i S i ，

16、S 的取值将出现 周 期性的 循环 ， 每 4 个 取值 循环一 次， 参考 1 ,4 3 Si ，可 选 C 【错选 原因 】错 选 A ： 计 算出错 ； 错选 B ： 少循 环一 次； 错选 D ： 多循 环一 次 8已知 正 三棱 锥A BCD 的所有 顶 点都在 球O 的球面 上 ， 3 BC 若 球心O 在三棱 锥的 高AQ 的三等 分点 处 ，则 球O 的半径 为 A 36 4B. 2 C. 3 D. 4 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 三棱 锥 与 球、 外接 球 的 有关 概念 ， 考查空 间想 象能 力 、 推理论证 能 力 、 运 算求 解能 力等 ， 考查 转化

17、与化 归 思 想、 数 形结 合思 想 等， 体 现综合 性、 应用 性和 创 新性， 导向 对发 展 直 观想 象 、 数 学抽 象、 逻 辑推 理 、 数学 运算 及数 学建 模 等 核心 素养 的关 注 预测 难度 0.65， 实测 难度. 【试题 简析 】 设球O 的半径 为R ，则OA OB R ， 1 2 OQ R .AQ 为正 三棱锥 A BCD 的 高 ， 则 3 3 3 BQ BC ，且AQ BQ ， 所以在 直角 BOQ 中， 22 1 3 4 RR ，解 得 2 R ，故选 B. 【错 选 原因 】 错选 A ： 将正 三棱 锥A BCD 当成 正四面 体 ； 错选 C

18、：计 算 过程出 错 ； 错选 D ：计 算 过程出 错 9 若 直线 1 y kx 为函数 ( ) ln f x x a 的图象 的 一条切 线， 则ka 的最小 值为 A. 2 B. 1 C.1 D. 2 【命题 意图 】 Q O D C B A市 质检数学 （文科 ）试题 第 6 页（ 共 9 页） 本小题 主要 考查 函数 导数 的应用 、 导数 几何 意义 、 函数图 象的 切线 、 直线 方 程 等基 础知 识 ， 考查 抽 象概括 能力 、 推 理论 证能 力、 运 算求 解能 力等 ， 综合 考查 函数 与方 程思 想、 数形结 合思 想、 转化 与化 归思 想、 分类 与整

19、合思 想 、 特 殊与一 般思 想 、 有 限与 无 限思想 ， 全面 体现 “ 四翼 ” 考 查要 求 ， 导 向对 发展 逻辑 推理、 数学 抽象 、 数 学运 算 、直 观想 象、 数学 建模 等核心 素养 的关 注 预测 难度 0.6 ， 实测 难度. 【试题 简析 】 方法一 ： 由题意 设切 点为 ,ln ( 0) t t a t ， 则曲线 在 ,ln t t a 处的切 线为 1 ln y x t t a t ， 整理得 1 ln 1 y x t a t ，故 1 , 1 1 ln , k t ta 解得 1 , ln , k t at 所以 有 1 ln k a t t .设

20、 1 ( ) ln , 0 g t t t t ，则 22 1 1 1 () t gt t t t ，所以 () gt 在 0,1 递减， 在 1, 递增，故 min ( ) (1) 1 g t g ，故 选 C. 方法二 ： 仿法 一得 1 , ln , k t at 消去t ，得 1 () a k e . 考察 关于 a 的函 数 1 () a k e 图象和 斜 率恒 为 1 的 动直 线ka ，可 知， 当直 线ka 与 1 () a k e 图象 相切时 ，ka 取得最 小值 （此 时切点 为 0 1 1 （ ， ） ， ） ，故 选 C. 【 错选 原因 】 错选 A ： 计算 错

21、误 ；错选 B ： 计算 错误 ；错选 D ：计 算错误 10 已 知各 项均 为正 数的 数列 n a 的前n 项和为 n S 若 1 2 a ， 1 1 21 nn nn Sa aS ，则 10 S A 1022 B 1024 C 2046 D 2048 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 数列 的递 推关系 、 等比 数列的 定义 、 通 项公 式和 数列求和 等 基础知 识 ， 考 查抽象概 括、 运 算求 解、 推理 论证 能力， 考查 函数 与方 程思 想、 转化 与 化归 思想 、 特 殊与一 般思 想 等 ， 体 现基 础性、 综合性 和创 新性 ， 导向 对发 展 数学 抽

22、象 、 逻辑 推理 、 数 学运算 、 数学 建模 等核 心素 养的关 注 预 测难 度 0.55 ， 实测难 度. 【试题 简析 】 解法 一 （消 n a 思 路 ） ：由 1 1 21 nn nn Sa aS 可得 11 20 n n n n S a S a ， 又 0 n a ， 所以 1 0 nn Sa ， 所以 1 0 n n n S S S ， 1 2 nn SS ， 所以 数列 n S 是首 项为 2 ， 公比 为 2 的等比 数列，市 质检数学 （文科 ）试题 第 7 页（ 共 9 页） 所以 9 10 2 2 1024 S ，故选 B 解 法 二 （消 n S 思 路 ）

23、：由 1 1 21 nn nn Sa aS 可得 11 20 n n n n S a S a ， 又 0 n a ， 所以 1 0 nn Sa ， 1 02 nn S a n ， 所以 11 0 n n n n S a S a ，即 1 22 nn a a n ，所以 1 2, 1, 2 , 2, n n n a n 所以 29 10 2 2 2 2 1024 S ，故选 B 解法 三 （消 n a 思路 ） ：由 1 1 21 nn nn Sa aS 可得 22 11 2 n n n n S a S a ，所以 2 2 11 2 n n n n n n S S S S S S ，所以 11

24、2 2 0 n n n n S S S S ， 又 0 n a ，所以 1nn SS ， 1 20 nn SS ，所以 1 20 nn SS ，即 1 2 nn SS ，所 以数 列 n S 是首项为 2 ，公 比为 2 的等 比数 列， 所以 10 S 9 2 2 1024 ，故选 B. 解法四 ：令 1 n n S t a ，得 2 2 1, 2 0 t t t t ，解 得 1 t ，即 1 0 nn Sa .下 同前 述解 法. 【错 选 原因 】 错选 A ： 计算 错误 ； 错选 C ： 错将 数列 n a 算成 首项 为 2 ， 公比为 2 的等 比数 列 ； 错选 D ： 多

25、算一项 11 田 忌赛 马 是 中国 古代 对策论 与运 筹思 想的 著名 范例 故 事中 齐将 田忌 与 齐王赛 马 ， 孙 膑献 策 ： 以 下 马 对齐王 上马 ，以 上马 对齐 王中马 ，以 中马 对齐 王下 马，结 果田 忌一 负两 胜从 而获胜. 该故 事中 以局 部的 牺牲换 取全 局的 胜 利 成为 军事上 一条 重要 的用 兵规 律. 在比 大小 游戏 中 （大 者 为胜） ， 已 知我 方的 三个数 为 cos a ， sin cos b ， cos sin c ， 对 方的 三个 数以 及排序 如下 表 ： 第一局 第二局 第三局 对方 2tan sin 当 0 4 时，

26、 则我 方必 胜的 排序 是 A , abc B , , , b c a C , c a b D , c b a 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 三角 函数 的性质 、 同角 三角函 数关 系、 和差 角公 式等知识， 考查推理 论证 能力 与运 算求解 能力 ， 考查转化 与 化归思想 、 函 数与方 程思 想 ， 结合 并展 现传统 文化 中的数 学思 想与 数学 方法 的 光 芒， 体 现 综 合性 、 应 用性 和创新 性， 导向 对发 展 数 学抽象 、 逻 辑推 理、 数学 运算及 数学 建模 等核 心素 养的 关注 预测 难 度 0.5 ，实 测 难度. 市 质检数学 （文

27、科 ）试题 第 8 页（ 共 9 页） 【试题 简析 】 当 0, 4 时， 对方 三个 数的 大小 顺序是 2 tan sin ，我 方三 个数 的大 小顺序 是 2 bac ， sin cos 2 sin 1, 2 4 b ， 对方 的最 大数 2 大的 最 大数b ， 故我 方 已无取 得三 胜的 可能 性， 只能争 取一 负二 胜. 当 0, 4 时， 因为 1 tan b ， 2 cos sin 2 a ， 所以 根据 “田忌 赛马 ” 的 策略 ， 我 方 对阵排 序应 为 , c b a ，故选 D 【 错选 原因 】 错选 A ： 误认 为cos sin sin ；错选 B ：

28、误认 为 tan 是对方 三个 数中 最大的 ，或 者误 认为 sin cos 2 ；错选 C ： 误 认为sin cos 2 12 在 直角 坐标 系xOy 中，点F 是抛物 线 py x C 2 : 2 （ 0 p ）的 焦点 ， 过C 上的点A 作准 线l 的垂 线交l 于B ， 过A 作FB 的垂线 交FB 于D ，若 p OD ， 则直线AF 的斜率 为 A. 1 2 B. 3 4 C. 1 D. 4 3 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 抛物 线的 定义 与 几何 性质 、直 线斜 率等基 础知 识 ， 考查 运算 求解、 推理 论证 能力， 考查数 形结 合、 转化 与化归

29、、 分 类与整 合思 想 ， 体 现综合 性与 应用 性， 导 向 对数学 运算、 直观 想象、 逻辑 推理 等 核心 素养 的关 注 预测难 度 0.45 ， 实测 难度. 【试题 简析 】 抛物线 定义 可知 ， AB AF ，又 BF AD ，故D 为BF 的中点 ，又 由抛 物线 焦点与 准线 的特 征 ， 可知D 落在x 轴上， 故B 点横坐 标为 2p ，从而A 点横 坐标 也为 2p 当 ) 2 , 2 ( p p A ， ) 2 , 0 ( p F ，可 知直 线AF 的斜率 为 4 3 ； 当 ( 2 ,2 ) A p p ， ) 2 , 0 ( p F ，可 知直 线AF

30、的斜率 为 3 4 ，故选 B 市 质检数学 （文科 ）试题 第 9 页（ 共 9 页） 【错选 原因 】 错选 A ： 将 抛物 线的 焦点F 坐标算 成 (0, ) p ；错 选 C ： 误 认 为计算OA 的斜 率； 错 选 D ： 将抛物 线的 焦点F 坐标算 成 ( ,0) 2 p ，或者 错用 斜率公 式 市 质检数学 （文科 ）试题 第 1 页（ 共 4 页） 保密 启用前 泉 州市 2019 届普通高中 毕 业班 第 一次 质 量检 查 文 科 数 学 2019.2 二 、 填 空题 ： 本题 共 4 小 题， 每 小 题 5 分， 共 20 分 13 已知 复数 2019 i

31、 1 i z ，则 z 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 复数 的运 算 、 复数 的模 等基 础知 识 ， 考 查运 算求 解能 力 等 ， 体现基 础性 ， 导向 对发 展 数学 运算 核心 素养 的关 注 预 测难 度 0.8 ， 实测 难 度. 【试题 简析 】 解法一 ：由 2019 4 504 3 3 i =i =i = i ，所 以 2019 i 1 i = i 1 i = 1 i z ，所以 2 z 解 法二 ： 2019 | | |i | 1 i|=1 2= 2 z 14. 设 函数 2 log , 1, () 1 , 1, 1 xx fx x x 则满 足 ( ) 1

32、fx 的 x 的取 值范围 是 【命题 意图 】 本小题 主 要 考查 分段 函数 、 对 数函 数等 基础 知识 ， 考查运 算求 解能 力 ， 考 查 分类与 整合 思想 、 函数 与 方程思 想、 数形 结合 思想 ， 体现 基础 性 与 综合 性 ， 导向对 发展 逻辑 推理 、 数学 运算 、 直 观想 象 等 核心 素养 的关注 预 测难 度 0.6 ， 实 测难度. 【试题 简析 】 方法一 ： 当 1 x 时， ( ) 0 fx ， 恒满 足 ( ) 1 fx ；当 1 x ， 2 log 1 x ， 解得12 x ， 综上 2 x 方法二 ：通 过作 出分 段函 数的图 象草

33、 图， 可直 观判 断写出 答案. 15. 在 长方 体 1 1 1 1 D C B A ABCD 中， 22 AB BC ， 直线 1 DC 与平面ABCD 所成 的角 为 45 ， 则 异 面 直线 1 AD 与 1 DC 所成 角的 余弦 值为 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 线面 角和 异面直 线所 成角 等基 础知 识 ， 考查 空间 想象能 力 能 力、 推理 论证 能力 、 运 算 求解能 力等 ， 体 现基 础性 、 综合 性和 应用 性， 导向 对发展 逻辑 推理 、 直 观想 象、 数 学运 算等 核心 素养 的关 注 预 测难 度 0.4 ， 实测 难 度. 【试题

34、 简析 】 在长方体 1 1 1 1 D C B A ABCD 中，因为 11 / CD AB ， 所 以 四 边 形 11 CDAB 为 平 行 四 边 形 ， 所 以市 质检数学 （文科 ）试题 第 2 页（ 共 4 页） 11 / AD BC ，所以 异面 直线 1 AD 与 1 DC 所成角 为 1 BCD 或其 补角 ； 侧棱 1 CC 平面ABCD ， 所 以直 线 1 DC 与平面ABCD 所成的 角为 1 45 CDC ， 所以 矩形 11 CCDD 中， 1 2 CC CD AB ，所以 1 22 CD ；由 1 2 CC CD ， 1 BC ，得 1 5 CB BD ； 取

35、 1 CD 中点O ，连接OB ，则 1 OB CD ， 1 2 OC ，所以 1 2 10 cos 5 5 BCD ， 故异面 直 线 1 AD 与 1 DC 所成角 的余 弦值 为 10 5 . O D1 C1 B1 A1 D C B A16 已 知函 数 1 0, ( ) 4sin ,0 1, 1 , 1. xx x f x x x af x x ， 若函数 2 ) ( ) ( x f x g 的所 有零点 之和 为3 ，则a 的取值 范围 为 【命题 意图 】 本小题 主要 考查 函数 图象 的变换 、 函数 周期 性 、 函 数零点 、 三角 函数 的图 象 与性质 等基 础知 识

36、， 考查 抽象概 括 、 运 算求 解 、 推理 论证 能力 ， 考查 数形 结 合、 转化 与化 归 、 函 数与 方程 、 分 类与 整合 、 有限 与无 限 思想 ， 体现 综合 性、 应 用性 和 创新 性 ， 导 向对 发 展 数学 抽象、 逻辑 推理、 直观想 象、 数 学运 算等 核 心素 养的关 注 预测 难 度 0.1 ， 实测难 度. 【试题 简析 】 方法一 ： 当 0 x 时， 令 1 2 x x 解得 1 1 x ，故 2 ) ( ) ( x f x g 除 1 1 x 外的 其它零 点之 和为 4 ； 当01 x 时， 令 4sin( ) 2 x ，得 2 ) (

37、) ( x f x g 在0,1) 的两 个零 点满足 23 1 xx . 故 命题 转化 为 2 ) ( ) ( x f x g 在1, ) 的所 有 零 点之和 为3 . 当12 x 时， ( ) ( 1) 4 sin( ) f x af x a x . 当 1 2 a 时， 2 ) ( ) ( x f x g 在1,2) 没有零 点 ， 且可 判断在2, ) 也没 有其 它的 零点 ； 市 质检数学 （文科 ）试题 第 3 页（ 共 4 页） 当 1 2 a 时， 2 ) ( ) ( x f x g 在1,2) 有唯一 零点 3 2 ，且 可判断 在2, ) 没有其 它的 零点 ； 当

38、1 2 a 时， 2 ) ( ) ( x f x g 在1,2) 有两个 零点 ，且 满足 45 3 xx ， 故 2 ) ( ) ( x f x g 在2, ) 不能再 有其 它的 零点 ， 即 2 2 4 2, 2 aa . 综上，a 的取 值范 围为 12 , 22 方法二 ： 当 0 a 时， 易得 不合 题意 ； 当 0 a 时， 由已 知 可 知， 在y 轴右侧， 图象 每 向 右移 一个 单位， 纵坐 标 变 为原 来的a 倍 当 1 2 a 时， 函数 () y f x 与 2 y 的图象 有 4 个交 点 （如 图一 所示 ） ， 其 中 1 1 x ， 4 3 2 x 根据

39、图 象的 对称 性， 23 1 xx ，故 2 ) ( ) ( x f x g 的所有 零点 之和 为 3 2 ； 当 2 2 a 时， 函数 () y f x 与 2 y 的图象 有 6 个交点（ 如图 二所 示） ，其 中 1 1 x ， 6 5 2 x ，根据 图象 的对 称性 ， 23 1 xx ， 45 3 xx ，故 2 ) ( ) ( x f x g 的所有 零点 之 和为 11 2 ； 当 12 22 a 时 ， 函 数 () y f x 与 2 y 的 图 象有5 个 交点 （如 图三 所示） ， 其中 1 1 x ，根据图 象的 对称 性， 23 1 xx ， 45 3 x

40、x ，所以 2 ) ( ) ( x f x g 的所有 零点 之和 为3 ； 当 1 0 2 a 或 2 2 a 时，也 易得 不合 题意 ； 综上，a 的取 值范 围为 12 , 22 市 质检数学 （文科 ）试题 第 4 页（ 共 4 页） 图一 图二 图三 市 质检数学 （文科 ）试题 第 1 页（ 共 13 页） 保密 启用前 泉 州市 2019 届普通高中 毕 业班 第 一次 质 量检 查 文 科 数 学 2019.2 三、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、 证明 过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，每个 试题 考 生都必须作答 第 22 、23 题为选考题，考生根 据

41、要 求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） ABC 的内角 , A B C 的对 边分 别为 , abc.已知 5 b ， sin 2 sin a b A b A C . （1） 证明 ： ABC 为等腰 三 角形 ； （2） 点D 在边AB 上， 2 AD BD ， 17 CD ，求AB. 【命题 意图 】 本小题 主要 考查正 弦定 理 ， 余弦 定理 等 解三 角形 的 基 础知 识 ， 考查推 理论 证能 力与 运算 求 解 能力等 ， 考查 数形 结合 思 想、 化归 与转 化思 想、 函 数与方 程思 想等 ， 体现 基 础性 、 综 合性与 应用性 ，导 向对 发

42、展 直观 想象、 逻辑 推理 、数 学运 算及数 学建 模等 核心 素养 的关注 【试题 简析 】 解法一 ： （1 ） ABC 中， sin 2 sin 2 sin a b A b A C b B ， 1 分 由正弦 定理 sin sin ab AB ， 4 分 得： 2 2 a a b b ， 整理得 ： 20 a b a b ， 5 分 因为 20 ab ，所以ab ， 所以 ABC 为等腰 三角 形. 6 分（2 ）设BD x ，则 2 AD x ， 由余弦 定理 ，得 ： 2 4 17 25 cos 2 2 17 x CDA x ， 2 17 25 cos 2 17 x CDB x ， 9 分 因为 CDA CDB ，所以 22 4 17 25 17 25 2 2 17 2 17 xx xx ， 10 分 解得： 2 x ，所 以 6 AB . 12 分 市 质检数学 （文科 ）试题 第 2 页（ 共 13 页） C B D A解法二 ： （1 ） ABC 中， sin 2 sin 2 sin a b A b A C b B