人教A版高中数学必修四《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》课件
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1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,第二章 2.2 平面向量的线性运算,学习目标 1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 向量数乘的定义,思考1,实数与向量相乘结果是实数还是向量?,答案 向量.,答案,思考2,向量3a,3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?,答案 3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同. 3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向
2、量a的方向相反.,思考3,a的几何意义是什么?,答案 a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当|1时,表示a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的|倍.,答案,梳理,向量数乘运算 实数与向量a的积是一个 ,这种运算叫做向量的 ,记作 ,其长度与方向规定如下: (1)|a| .,特别地,当0或a0时,0a 或0 .,向量,数乘,a,|a|,0,0,0,0,思考,知识点二 向量数乘的运算律,类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?,答案,答案 结合律,分配律.,梳理,向量数乘运算律 (1)(a)()a; (2)()aaa; (3)(ab)ab.,知识点三 向量共线定理
3、,思考1,若b2a,b与a共线吗?,答案,答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知,b与a共线. 如果有一个实数,使ba(a0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a0)是共线向量,那么有且只有一个实数,使得ba.,思考2,若b与非零向量a共线,是否存在满足ba?若b与向量a共线呢?,答案,答案 若b与非零向量a共线,存在满足ba;若b与向量a共线,当a0,b0时,不存在满足ba.,梳理,(1)向量共线定理 向量a (a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使 . (2)向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b,以及任意实数、1、2,恒有(1a2b) .
4、,ba,加,减,数乘,1a2b,题型探究,解答,类型一 向量数乘的基本运算,4a4b.,解答,(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x2ya,4x3yb,求向量x,y.,由32,得x3a2b,代入得3(3a2b)2ya, 所以x3a2b,y4a3b.,反思与感悟,(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程和方程组求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当的运用运算律,简化运算.,解答
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