人教A版高中数学选修2-2课件:第二章推理与证明 习题课 数学归纳法
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1、第二章 推理与证明,习题课 数学归纳法,学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题的方法. 2.掌握证明nk1成立的常见变形技巧:提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 归纳法,归纳法是一种 的推理方法,分 和_ 两种,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明.,由特殊到一般,完全归纳法,不完全归,纳法,知识点二 数学归纳法,(1)应用范围:作为一种证明方法,用于证明一些与 有关的数学命题; (2)基本要求:它的证明过程必须是两步,最后还有结
2、论,缺一不可; (3)注意点:在第二步归纳递推时,从nk到nk1必须用上归纳假设.,正整数n,题型探究,类型一 求参数问题,例1 是否存在常数a,b,c,使等式1(n212)2(n222) n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立?并证明你的结论.,解答,解 分别将1,2,3代入,得,下面用数学归纳法证明:,(2)假设当nk(kN*,k1)时,等式成立, 则当nk1时,左边1(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2 1(k212)2(k222)k(k2k2)1(2k1)2(2k1)k(2k1),由(1)(2)知,等式对一切正整数都成立.,这类猜测存在性问
3、题的思路:若存在a,b,c使等式成立,首先在n1,2,3时,等式应成立,因此由n1,2,3,先把a,b,c求出,再代回等式,最后用数学归纳法证明存在常数a,b,c,使等式成立.,反思与感悟,解答,解 令n1,得3ab1, 令n2,得10a3b2,,以下用数学归纳法证明:,(1)当n1时,易知结论成立. (2)假设当nk(k1,kN*)时,结论成立,则,则当nk1时,,故当nk1时,结论也成立. 根据(1)(2)知,对一切正整数n,结论成立.,类型二 整除问题,证明,例2 求证:当nN*时,an1(a1)2n1能被a2a1整除.,证明 (1)当n1时,a11(a1)211a2a1,命题显然成立.
4、 (2)假设当nk(kN*)时,ak1(a1)2k1能被a2a1整除, 则当nk1时, ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设,上式中的两项均能被a2a1整除, 故当nk1时,命题成立. 由(1)(2)知,对任意nN*,命题成立.,证明整除性问题的关键是“凑项”,先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑成当nk时的情形,再利用归纳假设使问题获证.,反思与感悟,证明,跟踪训练2 用数学归纳法证明(3n1)7n1(nN*)能被9整除.,证明 (1)当n1时
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