北师大版高中数学必修一课件：3.2 指数扩充及其运算性质

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1、2 指数扩充及其运算性质,第三章 指数函数和对数函数,学习目标 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化. 2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质. 3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 分数指数幂,思考 由a222(a0)易得 由此你有什么猜想？,答案 当a0，b0时，若ambn，则 (m，n为非零整数).,梳理 分数指数幂 (1)定义：给定 a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在,唯一的 b，使得 ，我们把b叫作a的 ，记作b .,正实数,正实数,bnam,次幂,(2)意义,0,知识点二 无

2、理数指数幂,思考 无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？,答案 随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数.,梳理 无理数指数幂 无理数指数幂a(a0，是无理数) 是一个确定的正实数.至此，指数幂a的指数取值范围扩充为R.,知识点三 实数指数幂的运算性质,思考1 在实数指数幂ax中，为什么要规定a0?,答案 把指数扩大为全体实数后，若a0.,梳理 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.,思考2 初中，我们知道a0，m0，m，n为任意实数时，上式还成立吗？,梳理 一般地，当a0，b0时，有：

3、(1)amanamn； (2)(am)namn； (3)(ab)nanbn，其中m，nR.,思考 如何化简 ？,知识点四 实数指数幂的化简,答案,梳理 实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简.,思考辨析 判断正误 1. ( ) 2. ( ) 3.当a0时，(ar)s(as)r.( ) 4. R.( ),题型探究,类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化,解答,命题角度1 分数指数幂化根式 例1 用根式的形式表示下列各式(x0).,(1),(2),反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域中，根式形式较容易观

4、察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握.,解答,跟踪训练1 用根式表示 (x0，y0).,解,命题角度2 根式化分数指数幂 例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0，b0.,解答,解,解答,解,解,反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a0时， 有时有意义， 有时无意义.如 1，但 就不是实数了.为了保证在 取任何实数时， 都有意义，所以规定a0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分.,跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂.,解答,解,解,解答,解,解,类型二 运用指数幂运算公式化简求值,例3 计算下列各式(式中字母都是正数).,解答,

5、解,解答,解 原式,4ab04a.,解,反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.,跟踪训练3 (1)化简：,解答,解 原式,解答,(2)化简：,解,解答,解 由 两边同时平方得x2x125，,类型三 运用指数幂运算公式解方程,例4 已知a0，b0，且abba，b9a，求a的值.,解答,解 方法一 a0，b0，又abba，,方法二 abba，b9a，a9a(9a)a，,反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对

6、指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的.,解答,解 由67x33，得,由603y81，得,达标检测,1.化简 的值为 A.2 B.4 C.6 D.8,答案,1,2,3,4,5,A. B. C. D.,1,2,3,4,5,答案,3.以下说法中正确的是(以下n1且nN) A.正数的n次方根是一个正数 B.负数的n次方根是一个负数 C.任何数的n次方根都是正数 D.a的n次方根用 表示,1,2,3,4,5,答案,A.a16 B.a8 C.a4 D.a2,1,2,3,4,5,答案,A.32 B.16 C.64 D.128,1,2,3,4,5,答案,1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质. 2.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.,规律与方法,