苏教版高中数学必修五课件:1.2 余弦定理(二)
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1、第1章 解三角形,1.2 余弦定理(二),1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解决简单的实际问题. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形,思考,答案,能.在余弦定理b2a2c22accos B中,已知三个量ACb,ABc,cos B,代入后得到关于a的一元二次方程,解此方程即可.,梳理 已知两边及其一边的对角,既可先用正弦定理,也可先用余弦定理,满足条件的三角形个数为0,1,2,具体判断方法如下:,(1)当A为钝角时,则B必为锐角,三角形
2、的解唯一; (2)当A为直角且ab时,三角形的解唯一;,(3)当A为锐角时,如图,以点C为圆心,以a为半 径作圆, 三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系: 当ab,则有AB,所以B为锐角,此时B的值唯一.,知识点二 判定三角形的形状,思考1,答案,不需要.如果所知条件方便求角,只需判断最大的角是钝角,直角,锐角;如果方便求边,假设最大边为c,可用a2b2c2来判断cos C的正负.而判断边或角是否相等则一目了然,不需多说.,三角形的形状类别很多,按边可分为等腰三角形,等边三角形,其他;按角可分为钝角三角形,直角三角形,锐角三角形.在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定?,思考2,答案
3、,A,B(0,),2A,2B(0,2), 2A2B或2A2B, 即AB或AB 2 .,ABC中,sin 2Asin 2B,则A,B一定相等吗?,梳理 判断三角形形状,首先看最大角是钝角、直角还是锐角;其次看是否有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价.,知识点三 证明三角形中的恒等式,思考,答案,前面我们用正弦定理化简过acos Bbcos A,当时是把边化成了角;现在我们学了余弦定理,你能不能用余弦定理把角化成边?,梳理 证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异.,题型探究,例1 一商船行至某海域时,遭到海盗的追击,随即发出求救信号.正在该海域执行护航任务的海军
4、舰艇在A处获悉后,即测出该商船在北偏东45,距离10海里的C处,并沿方位角为105的方向,以9海里/时的速度航行,舰艇立即以21海里/时的速度前去营救.求舰艇靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程.,解答,类型一 用余弦定理解决实际问题,如图,若舰艇以最短时间在B处追上商船,则A, B,C构成一个三角形. 设所需时间为t小时,则AB21t,BC9t. 又AC10,依题意得ACB120. 根据余弦定理,得 AB2AC2BC22ACBCcosACB. 所以(21t)2102(9t)22109tcos 120, 所以(21t)210081t290t, 即360t290t1000,,解决实际测量问题的
5、过程一般要充分理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.,反思与感悟,跟踪训练1 某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?,解答,如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追 上走私船, 则CB10x,AB14x,AC9, ACB7545120,由余弦定理, 得(14x)292(10x)22910xcos 120,所以巡逻艇需要1.5小时才追赶上该
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