北师大版高中数学必修四课件：1.1 周期现象-2 角的概念的推广

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1、1 周期现象 2 角的概念的推广,学习目标 1.了解现实生活中的周期现象. 2.了解任意角的概念，理解象限角的概念. 3.掌握终边相同的角的含义及其表示.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 周期现象,“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象，具有怎样的属性？,答案,答案 周而复始，重复出现.,(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象. (2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会 出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象.,梳理,重复,思考1,知识点二 角的相关概念,

2、将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？,答案,答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.,思考2,如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？,答案,答案 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.,梳理,(1)角的概念：角可以看成平面内 绕着 从一个位置 到另一个位置所形成的图形.,一条射线,旋转,端点,(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：,逆时针方向旋转,顺时针方向旋转,没有作任何旋转,思考,知识点三 象限角,把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？,

3、答案,答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.,梳理,在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 象限角： 在第几象限就是第几象限角； 轴线角： 落在坐标轴上的角.,终边,终边,知识点四 终边相同的角,思考1,假设60的终边是OB，那么660，420的终边与60的终边有什么关系，它们与60分别相差多少？,答案,答案 它们的终边相同.660602360，42060360，故它们与60分别相隔了2个周角的和及1个周角.,思考2,如何表示与60终边相同的角？,答案,答案 60k360(kZ).,梳理,终边相同角的表示 一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

4、S|k360，kZ， 即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与 的整数倍的和.,周角,题型探究,例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？,解答,类型一 周期现象的应用,解 因为1小时60分钟125分钟，且水车5分钟转一圈， 所以1小时内水车转12圈. 又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升， 所以每转一圈，最多盛水1610160(升)， 所以水车1小时内最多盛水160121 920(升).,(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的. (2)只要确定好周期现象中重复出

5、现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决.,反思与感悟,解 设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水1610160(升)， 所以y 16032x，为使水车盛800升的水， 则有32x800，所以x25， 即水车盛800升的水至少需要25分钟.,跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？,解答,例2 在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. (1)150；,类型二 象限角的判定,解答,解 因为150360210，所以在0360范围内， 与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.,(2)650；,解答,解 因为65036

6、0290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.,(3)95015.,解 因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角.,判断象限角的步骤 (1)当0360时，直接写出结果. (2)当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限.,反思与感悟,跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0360范围内终边相同的角. 549；,解答,解 549189360， 549角为第三象限的角，与189角终边相同.,60；,解 60300360， 60角为第四象限的角，与30

7、0角终边相同.,50336.,解答,解 50336216242360， 50336角为第三象限的角，与21624角终边相同.,(2)若是第二象限角，试确定2、 是第几象限角.,解答,解 由题意得90k360180k360(kZ)， 所以1802k36023602k360(kZ). 故2是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角.,当k为偶数时，令k2n(nZ)，,当k为奇数时，令k2n1(nZ)，,命题角度1 求与已知角终边相同的角 例3 在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角；,类型三 终边相同的角,解答,解 与10 030终边相同的角的一般形式为k36

8、010 030(kZ). 由360k36010 0300， 得10 390k36010 030，解得k28， 故所求的最大负角为50.,(2)最小的正角；,解答,解 由0k36010 030360，得10 030k3609 670， 解得k27，故所求的最小正角为310.,(3)360，720)的角.,解 由360k36010 030720，得9 670k3609 310， 解得k26，故所求的角为670.,求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.,反思与感悟,跟踪训练3 写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适

9、合不等式720360的元素写出来.,解答,解 由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ. 720360， 即720k3601 910360(kZ)，,当k4时，43601 910470； 当k5时，53601 910110； 当k6时，63601 910250.,命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y x上的角的集合.,即S|1202k180，kZ|120(2k1)180， kZ|120n180，nZ.,解答,求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.,反思与感悟,跟踪训练

10、4 写出终边在直线y x上的角的集合.,即S|302k180，kZ|30(2k1)180，kZ |30n180，nZ.,解答,当堂训练,1.下列是周期现象的为 闰年每四年一次； 某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； 某超市每天的营业额； 某地每年6月份的平均降雨量. A. B. C. D.,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 是周期现象； 中每天的营业额是随机的，不是周期现象； 中每年6月份的平均降雨量也是随机的，不是周期现象.,2,3,4,5,1,2.与457角终边相同的角的集合是 A.|k360457，kZ B.|k36097，kZ C.|k360263，kZ D.|k360263，kZ

11、,答案,2,3,4,5,1,解析 4572360263，故选C.,解析,3.2 017是第 象限角.,2,3,4,5,1,三,答案,解析 因为2 0175360217，故2 017是第三象限角.,解析,4.一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是 s.,2,3,4,5,1,1.4,答案,解析,2,3,4,5,1,解析 质点从O点向左运动，OM用了0.3 s，MAM用了0.2 s，由于MO与OM用时相同，因此质点运动半周期 0.20.3

12、20.8(s)，从而当质点第三次经过M时还要经过的时间应为MOBOM所用时间，为0.320.81.4(s).,5.已知，如图所示.,解答,解 终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ. 终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ.,2,3,4,5,1,(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；,(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.,解答,解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210,2,3,4,5,1,k360，,kZ.,规律与方法,1.判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现. 2.由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合.与角终边相同的角可表示为|k360，kZ，要领会好kZ的含义. 3.熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论.,本课结束,