北师大版高中数学必修四课件:2.3.1 数乘向量
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1、3.1 数乘向量,第二章 3 从速度的倍数到数乘向量,学习目标 1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 向量数乘的定义,思考1,实数与向量相乘的结果是实数还是向量?,答案,答案 向量.,思考2,向量3a,3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?,答案,答案 3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同. 3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相
2、反.,思考3,a的几何意义是什么?,答案 由实数与向量的积的定义可以看出,它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当|1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的|倍; 当|1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的|倍.,答案,数乘向量 一般地,实数与向量a的积是一个向量,记作 .它的长度为|a|a|.它的方向:当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a的方向相反;当0时,a0,方向任意.,梳理,a,思考,知识点二 向量数乘的运算律,类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?,答案,答案 结合律,分配律.,梳理,向量数乘运算律 (1
3、)(a)()a. (2)()aaa. (3)(ab)ab.,思考,知识点三 向量共线定理,若b2a,b与a共线吗?,答案,答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知,b与a共线. 如果有一个实数,使ba(a0),那么b与a是共线向量; 反之,如果b与a(a0)是共线向量,那么有且只有一个实数,使得ba.,梳理,(1)向量共线的判定定理 a 是一个 向量,若存在一个实数,使得 ,则向量b与非零向量a共线. (2)向量共线的性质定理 若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数,使得b .,非零,ba,a,向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).,知识点四 向量的线
4、性运算,题型探究,解答,类型一 向量数乘的基本运算,4a4b.,(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式 3x2ya,4x3yb,求向量x,y.,由32,得x3a2b, 代入得3(3a2b)2ya,即y4a3b. 所以x3a2b,y4a3b.,解答,(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程和方程组求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当的运用运算律,简化运算.,反思与感悟,跟踪训练
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- 北师大 高中数学 必修 课件 2.3
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