北师大版高中数学必修四课件:2.5 从力做的功到向量的数量积(一)
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1、5 从力做的功到向量的数量积(一),第二章 平面向量,学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 两向量的夹角,思考1,以上几组向量中,a,b共线吗?,答案,答案 存在夹角,不一样.,思考2,ABC为正三角形,设 a, b,则向量a与b的夹角是多少?,答案,答案 如图,,延长AB至点D,使ABBD,则 a, ABC为等边三角形,ABC60, 则CBD120,故向量a与b的
2、夹角为120.,(1) 夹角:已知两个 a和b,作 a, b,则 (0180)叫作向量a与b的夹角(如图所示).,梳理,当0时,a与b ;当180时,a与b . (2)垂直:如果a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab.规定零向量可与任一向量垂直.,非零向量,AOB,同向,反向,知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义,思考1,如何计算这个力所做的功?,答案,答案 W|F|s|cos .,一个物体在力F的作用下产生位移s,如图.,思考2,力做功的大小与哪些量有关?,答案,答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.,(1)数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把 叫作
3、a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab . (2)数量积的特殊情况 当两个向量相等时,aa . 当两个向量e1,e2是单位向量时,e1e2 .,梳理,|a|b|cos ,|a|b|cos ,|a|2,|e1|e2|cos cos ,知识点三 平面向量数量积的几何意义,答案,思考1,什么叫作向量b在向量a上的射影?什么叫作向量a在向量b上的射影?,答案 如图所示, a, b,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1|b|cos .|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影,|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影.,答案,思考2,向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗?,
4、答案,答案 由射影的定义知,二者不一定相同.,(1)射影:若非零向量a,b的夹角为,则 叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影). (2)ab的几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的射影 的乘积.,梳理,|b|cos ,|b|cos ,|a|cos ,知识点四 平面向量数量积的性质,答案,思考1,向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别?,答案,答案 向量的线性运算的结果是向量,而向量的数量积运算的结果是数量.,思考2,非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符号由什么来决定?,答案,答案 由两个非零向量的
5、夹角决定. 当090时,非零向量的数量积为正数. 当90时,非零向量的数量积为零. 当90180时,非零向量的数量积为负数.,向量的数量积的性质 (1)若e是单位向量,则ea . (2)ab . (3) . (4)cos (|a|b|0). (5)对任意两个向量a,b,有|ab| |a|b|,当且仅当ab时等号成立.,梳理,ae,|a|cos ,ab0,|a|,题型探究,类型一 求两向量的数量积,例1 已知|a|4,|b|5,当(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为30时,分别求a与b的数量积.,解答,解 (1) ab,若a与b同向,则0, ab|a|b|cos 04520; 若a与b反
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