北师大版高中数学必修五课件：1.2.2 等差数列的前n项和(一)

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1、第一章 数列,1.2.2 等差数列的前n项和(一),1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等差数列前n项和公式的推导,高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？,答案,不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：

2、设Sn123(n1)n， 又Snn(n1)(n2)21， 2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)，2Snn(n1)，Sn .,“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下： Sna1a2a3an1an a1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d； Snanan1an2a2a1 an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d. 两式相加，得2Snn(a1an)， 由此可得等差数列an的前n项和公式Sn . 根据等差数列的通项公式ana1(n1)d， 代入上式可得Snna1 .,梳理,知识点二 等差数列前n项和公式的特征,思考1,等差数列an中，若已知a27，

3、能求出前3项和S3吗？,答案,思考2,答案,我们对等差数列的通项公式变形：ana1(n1)ddn(a1d)，分析出通项公式与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下Snna1 d吗？,梳理,等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形：,知识点三 等差数列前n项和公式的性质,(a4a5a6)(a1a2a3) (a4a1)(a5a2)(a6a3) 3d3d3d 9d， 同样，(a7a8a9)(a4a5a6)9d. a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是公差为9d的等差数列.,思考,若an是公差为d的等差数列. 那么a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是等差数列吗？如果是，公差是多少？,

4、答案,梳理,等差数列的前n项和常用性质.(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d. (2)项的个数的“奇偶”性质. an为等差数列，公差为d.设S奇为前n项中序号为奇数的项之和.S偶为前n项中序号为偶数的项之和.,题型探究,命题角度1 根据条件选择公式求和 例1 等差数列an中，公差为d，Sn为前n项和. (1)a13，d2，求S10；,解答,类型一 求和,(2)a1105，an994，d7，求Sn.,解答,反思与感悟,跟踪训练1 (1)已知数列an中，a11，anan1 (n2)，则数列an的前9

5、项和等于_.,答案,解析,27,(2)等差数列an中，a4a70，则前10项的和为_.,答案,解析,0,命题角度2 实际问题求和 例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？,解答,设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则 a1501 0001%60(元)， a250(1 00050)1%59.5(元)， a1050(1 000950)1%55.5(元)， 即第10个月

6、应付款55.5元. 由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，,反思与感悟,建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.,跟踪训练2 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_米.,答案,解析,2 000,假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都

7、组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为,类型二 等差数列前n项和公式的应用,例3 已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？,解答,方法一 由题意知S10310，S201 220，,反思与感悟,(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用； (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.,跟踪训练3 在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.,解答,类型三 等差数列前n项和性质的应用,例4 (1)等差数列an的前m

8、项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；,解答,方法一 在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列.30,70，S3m100成等差数列. 27030(S3m100)，S3m210.,解答,反思与感悟,等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.,跟踪训练4 设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列 的前n项和，求Tn.,解答,当堂训练,1.在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是 A.12 B.24 C.36 D.48,答案,解析,1,2,3,4,答案,

9、解析,2.记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于 A.2 B.3 C.6 D.7,解得d3. 方法二 由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.,1,2,3,4,答案,解析,3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.,190,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,解答,(2)a11，an512，Sn1 022，求d.,1,2,3,4,规律与方法,1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用： 若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)；若mn2p，则anam2ap. 3.本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.,本课结束,