北师大版高中数学必修五课件：1.4 数列在日常经济生活中的应用

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1、第一章 数列,1.4 数列在日常经济生活中的应用,1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题. 2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 单利、复利,第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？,按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的.,答案,思考2,第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？,不同.因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月

2、的利息是递增的.,答案,梳理,一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息. 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为 . (2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的. 利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和.,a(1rx),a(1r)x,知识点二 数列应用问题的常见模型,1.整存整取定期储蓄 一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，到期本息合计为an，则 .其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题. 2.定期存入零存整取储蓄 每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第

3、n期末时，应得到本息合计为： .其本质为已知首项和公差，求前n项和问题.,anA(1np),3.分期付款问题 贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止.其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计还款本利合计.,题型探究,类型一 等差数列模型,例1 第一年年初存入银行1 000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为_元.,1 036,答案,解析,设各年末的本利和为an， 由ana(1nr)，其中a1 000，r0.72%， a51 000(150.72%)1 036(元). 即第5

4、年末的本利和为1 036元.,反思与感悟,把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等.,跟踪训练1 一同学在电脑中按a11，anan1n(n2)编制一个程序生成若干个实心圆(an表示第n次生成的实心圆的个数)，并在每次生成后插入一个空心圆，当某次生成的实心圆个数达到2 016时终止，则此时空心圆个数为 A.445 B.64 C.63 D.62,答案,解析,由题意可得： a11， a2a12， a3a23， a4a34， anan1n， 将上式相加，可得an123n ， 令 2 016，解得n63， 由题意可得，空心圆为63个，故选C.,类型二

5、 等比数列模型,定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an，则 a1880.0258(10.025)， a2a1a10.0258(10.025)2， a3a2a20.0258(10.025)3， a58(10.025)5， 即5年末的本利和是81.0255.,例2 现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是_万元.,答案,解析,81.0255,反思与感悟,在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律.,跟踪训练2 银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息.银行为吸收长期

6、资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于_.,设储户开始存入的款数为a，由题意得， a(13q)a(1r)3，q (1r)31.,答案,解析,类型三 分期付款,例3 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息.签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？,解答,购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列an， 则a12(255)10%4(万元)； a22(2552)10%3.8(万元)； a32(25522)10

7、%3.6(万元)，,因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元.,反思与感悟,建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则.不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律.,跟踪训练3 某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还,答案,解析,根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则 x(1)4(1)31a(1)5，,当堂训练,设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a11，a25a1a16a1，a35a2a26a2， an是首项为1，公比为6的等比数列. a7a1q7166.,1.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞

8、出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂 A.65只 B.66只 C.216只 D.36只,答案,解析,1,2,3,1,2,3,可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，得65个存活.,2.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是 A.32 B.31 C.64 D.65,答案,解析,1,2,3,3.一群羊中，每只羊的

9、重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有 A.6只 B.5只 C.8只 D.7只,答案,解析,1,2,3,依题意除去一只羊外，其余n1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列. 设a17，d0，Sn1651055，,1,2,3,55115且(n1)为正整数，,规律与方法,1.数列应用问题的常见模型 (1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(d为常数). (2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型. (3)如果容易找到该数列任意一项 an1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.,2.数列综合应用题的解题步骤 (1)审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题. (2)分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等. (3)求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答. (4)还原将所求结果还原到实际问题中.,本课结束,