浙江省杭州市2019年高考命题比赛数学试题（1）含答案

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1、第 1 页（共 4 页）2019 年高考模拟试卷数学卷数 学本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。2.答题前，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式： 若事件 ,AB互斥，则 ()()PABP 棱柱的体积公式 VSh 若事件 相互独立，则 (B 其中 S表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高 若事件 在一次试验中发生的概率

2、是 ，则 n次 棱锥的体积公式 13 p独立重复试验中事件 恰好发生 k次的概率 其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高 ()(1),(0,12,)knknnPCp球的表面积公式台体的体积公式 24SR321ShV球的体积公式其中 S1， S2分别表示棱台的上、下底面积， h表示 3V棱台的高 其中 R表示球的半径选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （原创）已知集合 ， ，那么 （ ）215xM1xyNNMA B C D12x 222 （原创）设 ， ，则 tan的值是 （ ）sini )

3、0,2(A B C D33333 （原创）若复数 ( 是虚数单位)，则 （ ）iz1A B C D02012z022z 022z4(摘抄)已知 是等比数列 的公比，则“ ”是“数列 是递增数列”的 （ ）qnaqnaA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件第 2 页（共 4 页）5(摘抄)已知 为异面直线， 为两个不同平面， ， ，且直线 满足 ，nm, mnlm， ， ，则 lll（ ）A 且 B 且/l lC 与 相交，且交线垂直于 D 与 相交，且交线平行于ll6 （改编）若正数 满足 ，则 的最小值为 （ ）,ab114abA4 B6 C9 D167 （原创

4、）已知 是双曲线 的左、右焦点，若点 关于直线 的对21,F)0,(2yx 2Fxaby称点 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）MA B C D25528 （原创）已知关于 的方程 有解，其中 不共线，则参数 的解的集合为x2()0abxm,abm（ ）A 或 B. C. D.020,|9(摘抄)已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上三点，当 时，称F2:4Cyx,ABC0FABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 （ BC）A0 个 B1 个 C3 个 D无数个10(摘抄)已知函数 ， 满足 且 ， ，则当 时， （ 2()fxab,mnfmnfmxn）A B C Dfxmnfx0

5、fx0f非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11 （原创）二项式 61(2)x的展开式中， （1）常数项是 ；（2）所有项的系数和是 12(摘抄)正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为 6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为_，第 3 页（共 4 页）ED1 C1B1A1D CBA该四面体的体积为_.13(原创)若将向量 围绕起点按逆时针方向旋转 ，得(2,3)a 23到向量 ，则向量 的坐标为_，与 共线的单位向量 _bbe14 （原创）在 1,9 这

6、 个自然数中，任取 个数，（1）这 3个数中恰有 个是偶数的概率是 ；（用数字作答）（2）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1,23，则有两组相邻的数,和 2,，此时 的值是 2） 则随机变量 的数学期望 E15 （原创）若变量 满足： ，且满足： ，则参数 的取值范,xy0431xy()()0txtytt围为_16 （原创）若点 为 的重心，且 ，则 的最大值为_GABCBGACsin17 （改编）若存在 ，使得方程 有三个不等的实数根，则实数 的取值范1,2a22()()xatt围是 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 74 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

7、18 （本小题满分 14 分）（原创）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ABC, ,abc23sin5aBc1os4（）求角 的大小；（）设 边的中点为 ， ，求 的面积D192AABC19 （本小题满分 15 分）（原创）正方体 的棱长为 1， 是边 的中点，点 在正方体内部或正方体的面1ABCDE1DCF上，且满足： 面 。/EF（）求动点 轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；（）设直线 与动点 轨迹所在平面所成的角记为 ，求 1 cos第 4 页（共 4 页）20 （本小题满分 15 分）（原创）已知数列 是等差数列， ， ，数列 的前 项和为 ，且 na32a65nbnS2nb（）

8、求数列 、 的通项公式；b（）记 ，若数列 的前 项和为 ，证明： nnac12ncnT21n21 （本小题满分 15 分）（原创）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线 过椭圆的右焦点 与椭圆交于 两21xy1F2l2F,AB点（）当直线 的斜率为 1，点 为椭圆上的动点，满足条件的 使得 的面积 的lPPAB523ABPS点有几个，并说明理由；（） 的内切圆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值及此直线 的方程，若不存在，1ABF l请说明理由22 （本小题满分 15 分）(摘抄)已知函数 ，且曲线 在点 处的切线方程为),0()ln()Rbaxxf ()yfx2,()f2yx（）求

9、实数 ， 的值；ab（）函数 有两个不同的零点 ， ，求证： ()1)gfxm1x221xe第 5 页（共 4 页）2019 年高考模拟试卷数学卷答题卷本次考试时间 120 分钟，满分 150 分，所有试题均答在答题卷上一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11、 ， ； 12、 ， ； 13、 ， ；14、 ， ； 15、 ； 16、 ；17、 .三、解答题：本大题共 5 小题，共 74

10、 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. (本 题 满 分 14 分 )第 6 页（共 4 页）20. (本题满分 15 分)19. (本题满分 15 分) 第 19 题图ED1 C1B1A1D CBA第 7 页（共 4 页）21 （本题满分 15 分）第 8 页（共 4 页）22 （本题满分 15 分）第 9 页（共 4 页）2019 年高考模拟试卷数学卷参考答案与评分标准一、选择题（ 本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1B 【命题意图】 本题考查集合的运算，属于容易题【解题思路】 因为 ，所以 ，所以选 B1,2|xNxMNM12x2A 【命题意图】 本题考查三

11、角恒等变换，属于容易题【解题思路】 ， ， ，sincosi2in21cos23sin)0,2(， ，选 A3ta3ta3D 【命题意图】考察复数的运算【解题思路】 ，代入验证得 D 成立22(1)zi4D 【命题意图】 本题考查等比数列单调性及充要条件，属于容易题【解题思路】 等比数列 中， ，若 ，则数列 是递减数列；若数列 是递增数na011qnana列，则 ，所以选 D10q5D 【命题意图】 本题考查线面位置关系判定，属于中档题【解题思路】 若 ，且 ， ，则 ，矛盾，故 A 不正确；所以 与 相交由/mnnm/ ， ， ，可知 ，同理 ，可得 平行两个平面的交线所以选 Dmll/l

12、/ll6A 【命题意图】 本题考查基本不等式，属于中档题【解题思路】 由 ，可得 ， ，所以 ，选 A1baab1414baa第 10 页（共 4 页）7C 【命题意图】 本题考查双曲线的定义和几何性质，属于中档题【解题思路】 如图，连接 ，易知 与直线 平行，故 ，1MF1xaby21MF且 ，所以 ，由双曲线定义可知 ，cF21b2,2 a2故 ，所以选 C5ae8B【命题意图】 本题考查向量中基底的应用，属于中档题【解题思路】 ，由于 不共线，2()(2)0xamxb,ab或 ，选 B 09D【命题意图】本题考查抛物线的定义与性质，属于中档题【解题思路】解析：如图，由 得 为 的重心，设

13、点0FABCFABC坐标为 ， ，则点 坐标为 ，只要满足点A0,xy3M 003,2xy在抛物线内部，即 ， 时，直线M20034yx0与抛物线 的交点 关于点 对称，此00034:2xly2:4Cyx,BCM时 为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”ABC10A【命题意图】本题考查函数性质的应用，属于较难题【解题思路】因为函数 是上凹函数，所以 ，因此2()fxab1fxfmfnffxmn二、填空题部分（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分）11 ； 207964【命题立意】考察二项式定理的应用及赋值法，属于容易题【解题思路】：（1） rrrrr

14、 xCxCT 2661 )1(2)( ，令 0r，得 3r故展开式的常数项为 036；（2）令 ，即可得所有项的系数和是 x679()x12Fy第 11 页（共 4 页）12 ，6218【命题意图】 本题考查解三视图，属于中档题【解题思路】正视图的高明显不对，应该是 ，底面正三角形的边长是 6，对应图形的面积为62，正四面体的体积为 621 21843113. ， 与53(,)142,7( )12,75(【命题意图】本题考查学生的向量共线及数量积的运算，属于中档题【解题思路】设所求向量为 且满足 ，解完后注意验证，单位向量b(,)mn273cosnm与 |be)142,75()142,75(1

15、4 ； 1023【命题意图】考察概率及数学期望的综合运用，属于中档题【解题思路】 （1）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则1245390()CP；. （2）随机变量 的取值为 0,12的分布列为0 1 2P51所以 的数学期望为 0123E 15. 423t【命题意图】 本题考查可行域及直线恒过定点，属于中档题【解题思路】 ，所以直线恒过定点 ，画出可行域，由题意知，直:(1)(2)0ltxyxy(2,1)线恒过定点 点及可行域内一点，直线 方程可改写成： ， （1）由图知，当2,)ltytxt斜率不存在时，符合题意；（2）当斜率存在时， ；综上：,)2kt43。43t第 12 页

16、（共 4 页）16 53【命题意图】 本题考查解三角形，属于中档题【解题思路】 解法一：设 中点为 ， 的对边为 ， ，所以ABDCB,cba,BGA， 和 中对 用余弦定理后两式相加可得 ，23,cCDGADC, 225c故 ，所以 54)(cos2abab53sin解法二：设 ， ，且 ，故 ， ， ，CAB3CG32baA32baBG0BGA解得 ，所以 ，故 baab54)(522 54cos5sinC17 3,018【命题意图】考察函数的图象和性质，属于较难题【解题思路】函数 的图象与与直线 有三个交32(0)()xafxx 2()yat点，数形结合得 即2()03aat2309(1

17、)at由于存在 ， 成立， ，1,29(1)t2min309(1)at得 308t三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分18本题主要考查两角和差公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力本题满分 14 分（）由 ，得 ， 1 分1cos4B3sin14又 ，代入得 ，235ac7ac由 ，得 ， 3 分siiACisinAC， 5n7()3os7csinBA分得 ， 7ta32分第 13 页（共 4 页）JIHGFED1 C1B1A1D CBAOED1 C1B1A1D CBA（） ， 9 分419cos22 BDAB， ，则 11)67()(c37a分14

18、分415321sinBaS19本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识同时考查空间向量的应用，考查空间想象能力和运算求解能力满分 15 分解：（）如图，在正方体内作出截面 EFGHIJ， （或画出平面图形）4 分它的形状是一个边长为 正六边形5 分2可以计算出它的面积为 7 分34（）法一：如图，连 交 于 点，连 ，1BD1ACOB所求面/面 ， 所求角= 与面 所成的角，1面 面 ， 线 在面 的投影为 ，1AC1 O即为所求的角11 分DBO在 中，由余弦定理知112cos3DBO所以， 15 分2cos3法二：以 为 轴， 为 轴， 为 轴建议直角坐标系，DAxCy1z则

19、10 分11(,0)(,)(0,)(,)BD可求出平面 的法向量为 ，又 12 分1,n1(,)Bcos,3n所以， 15 分220本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前 项和 与 的关系等基nnSa础知识同时考查数列单调性的探究方法，运算求解能力等本题满分 15 分第 14 页（共 4 页）（1）由已知得 ，解得 ，所以 3 分6431da1,21da1na当 时， ， （1）4 分n2b1，当 时， （2）6 分21nSb时 ，当 1nb由（1） ， （2）得 7 分（）由() 知，所以 9 分)2(13ncn12 分)()(21nn14 分)(Tnn15 分21

20、n21本题主要考查，直线、圆、圆锥曲线的方程，直线与椭圆的位置关系等基本知识同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分 15 分解：（）由题意，得 代入椭圆方程 中得 ， 1 分:1lyx21xy2340x124,3x得到 2 分2124|3AB设点 到直线 的距离为 ，由Pld1425|233ABPSdd 得到 -4 分512d设 00|1|(,)xyPxy令 ，又 ，代入得到 ，01t20220(1)xt化简得到： ，则于 ，220034()4xtxt得到 ，51t第 15 页（共 4 页）当 时， 椭圆上方的点到直线 距离的最大值为510tl512椭圆上方存在两个这样的 点，使得

21、的面积 ；PAB3ABPS当 椭圆下方的点到直线 距离的最大值为051tl512椭圆下方仅存在一个 点，使得 的面积 ；PAB3ABPS综上，椭圆上存在这样的 点有三个7 分（）设 的内切圆的半径为 ，1ABFr111(|)2ABFFr， 要使内切圆的面积最大，即使得 最大9 分1 142ABFSaS1ABFS设直线 ，代入椭圆得到 10 分:lxmy2()0my， 11 分28(1) 212|设点 到直线 的距离为1Flh1 2 22 21 21|()01| |2AB mmSmyh 13 分令 2tm时，即 时， 取得最大值，所以 ，121ABFtSt0m1ABFS1max()2ABFS，

22、的内切圆面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 15 分maxr1 4l22本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等综合应用能力，同时考查逻辑推理能力和创新意识满分 15 分解：（1）由曲线 在点 处的切线方程为 ，故 ，2 分)(xfy)2(,f 2xy0)(f又 ， ，4 分baxfln)( 21xbaf第 16 页（共 4 页）所以 ，解得 6 分1420)ln(ba0,1ba（2）由（1）知， ，故 ，所以 ，)ln()xf xfln)()(ln)(Rmxg的两个不同的零点 ，不妨设 ，mxgl)( 21, 021因为 ，所以 ，0)(21llmxx要证明 ，即证明 ，而ex n)(221e)()ln(2121x故只需证明 即可，8 分)(21m又 ，所以 ，2121lnxx21lxm故只需证明 10 分2121l即需证 ，即证2121)(lnxx1)(2ln21x即只需证 即可，12 分01)(ln21x令 ，由于 ，故 ，21xt21t设 ，)(ln)(ttF，)1(,)1(4 22tttt显然 ，故 是增函数，0)lnt所以 ，又 ，所以 恒成立，(Ft0)(0)(F即 成立，因此 ，得证15 分1)2lnt 21ex第 17 页（共 4 页）