浙江省杭州市2019年高考命题比赛数学试题（2）含答案

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1、2019 年浙江省普通高校招生考试模拟卷数学卷双向细目表考 试 要 求试题来源 题号 分值预期难度 考查知识条目 了解 理解 掌握 应用原创题 1 4 容易题 集合 原创题 2 4 容易题 解析几何抛物线准线 原创题 3 4 容易题 复数，虚部 原创题 4 4 容易题 逻辑，数列 原创题 5 4 容易题 函数，图像，导数 原创题 6 4 容易题 立体几何体积 改编题 7 4 容易题 期望方差 原创题 8 4 稍难题 线性规划 原创题 9 4 稍难题 向量，最值 原创题 10 4 较难题 立体几何外接球 原创题 11 6 容易题 函数，计算 原创题 12 6 容易题 三角函数 原创题 13 6

2、容易题 二项式 原创题 14 6 容易题 解三角形，平面向量 原创题 15 4 稍难题 函数与方程 原创题 16 4 稍难题 排列组合，概率 改编题 17 4 较难题 绝对值 原创题 18 14 容易题 三角函数 原创题 19 15 容易题 立体几何 原创题 20 15 稍难题 数列 原创题 21 15 稍难题 解析几何 原创题 22 15 较难题 导数 2019 年浙江省普通高校招生考试模拟卷数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 6 页，选择题部分 1 至 3 页；非选择题部分 3 至 6 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考生注意：1答题前，请务必将自己的姓名、准

3、考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 柱体的体积公式P(A+B)= P(A)+ P(B) V=Sh如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P(AB)= P(A)P(B) 锥体的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p， V= Sh13那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.k 次的概率 球的表面积公式Pn(k)= S=4R2(1

4、)(0,12,)knknCpn台体的体积公式 球的体积公式V= (S1+ +S2) h V= R33 4其中 S1、S 2 表示台体的上、下底面积， 其中 R 表示球的半径h 表示棱台的高. 选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(原创题)已知集合 ， ，则3Px 104xQRCPQA. B. C. D.3,1,1， 1，【命题意图】本题主要考查集合的交、并、补的运算，检测对基础知识的了解程度.2.(原创题)抛物线 的焦点坐标24yxA. B. 1,0 0,1C. D.6， 6，【命题意

5、图】本题主要考查抛物线的基本概念.3.(原创题)复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部是z12izi zA. B. 45 45iC. D.3 3i【命题意图】本题主要考查复数的概念及代数运算.4.(原创题)已知 是公比不为 的等比数列且公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ” na1qnnS10a 4652S的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充要条件的相关知识以及逻辑推理、判断的思维能力.5.(原创题)函数 的图像可能是sinl2yxA BC D【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，图像的平移变换等.6.(原创

6、题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. 3 532C. D.2 9【命题意图】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“三视图的几何体”的相互转化和空间想象能力.7.(改编自 2017 年清华大学自主招生暨领军计划第 30 题)已知 为随机变量，则下列说法错误的是A. B. 211P 221DC. D.D22E【命题意图】本题主要考查概率、随机变量的分布列、数学期望和方差的概念.8.(原创题)若 ，当 时，恒有 ，且以 为坐标点 所形成的平面0,ab1xym1axby,ab,Pab区域的面积为 ，则16A. B. C. D.31336【命题意图】本题主要考查数形结合的思想，以及

7、综合运用函数思想解题的能力.9.(原创题)已知 为空间单位向量， .若空间向量 满足 ，且123,e1231=2eea123=e对于任意 ， ，则 的最小值为,xyR124axeyaA. B. 364 36+4C. D.【命题意图】本题考查向量的基本运算、向量的几何意义，以及基本的数学方法.10.(原创题)三棱锥 中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为 且底面面PABC 12,60积为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为242113A. B. C. D.193793763316【命题意图】本题考查学生的空间想象能力、抽象概括能力.非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7

8、小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.11.(原创题)计算： ， .3log93log4l【命题意图】本题考查指数和对数的基本运算.12.(原创题)已知 ，则 ， .sincosin0xxAwxbA =b【命题意图】本题考查三角函数的基本运算和变形能力.13.(原创题)已知多项式 ，32 234567011+xxaxaxaxa则 ， .3a7【命题意图】本题考查二项式定理的基础概念及运算能力.14.(原创题)在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，ABC, ,abc4,3cCDB3cos8A则 ， .=a=AD【命题意图】本题考查解三角形思想及平面向量的几何意义.15

9、.(原创题)若 为实数，且关于 的方程 有实数解，ax221xax则 的取值范围是 .【命题意图】本题考查函数与方程的相关知识，及利用导数知识来解方程的能力.16.(原创题)某校共开设了六门选修课：物理、化学、生物、政治、历史、地理，要求每名学生选三门课，其中物理、化学、生物中至少要选两门.现有 A、B、C 三人选课，则任意一名学生与其他两名学生均至少有两门选修课相同的概率为 .【命题意图】本题考查概率、排列、组合知识的综合应用，同时考查学生分类讨论思想和解决问题的能力.17.(2018 年浙江省新名校第一次联考第 17 题改编)设函数 ，当 时，2()=,fxaxbR2,x记 的最大值为 ，

10、则 的值为 .()fx258a【命题意图】本题考查含有绝对值不等式的解法，以及数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想和能力.三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(原创题)（本题满分 14 分）已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终Ox边上有一点 的坐标是 ，其中 .P3,a0（1）求 的值；cos（2）若 ，求 的值.tan21tan【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力.19.(原创题)（本题满分 15 分）如图，已知多面体 ， 均垂直于平面1ABCD11,ABCD，

11、， ， ， .ABCD 1=2ABCDA1=14（1）证明： 平面 .11（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.11【命题意图】本题考查空间、点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.20.(原创题)（本题满分 15 分）已知数列 满足 （ ），数列na21133+2nnaa N满足 ， ， ， 为数列 的前 项和.nb1=+1nnbaNbcSnc D1B1 C1CA DA1高三数学试题卷第 2 页，共 6 页高三数学试题卷第 4 页，共 6 页（1）求数列 的前 项和；（2）求 .nb01932nbS【命题意图】本题考查数列的概念及通项公式的求解，前 n 项求

12、和问题，同时考查转化与化归、整体思想的能力.21.(原创题)（本题满分 15 分）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 作直线 与抛物线 交于C28yxFlC两点，分别过 作抛物线 的切线，交 轴于 两点，且两切线相交于点 .,AB,AB,MNE（1）证明：点 在定直线上，并求该直线方程.E（2）求四边形 面积的最小值.MN【命题意图】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.22.(原创题)（本题满分 15 分）已知函数 .()=1xfxe（1）求 在点 处的切线方程；(fx1,()f（2）若 ，证明： 在 上恒成立.aeln2fxa

13、ex1,（3）若方程 有两个实数根 ，且 ，证明： .()fxb12,12 2131bex【命题意图】本题考查导数在单调性与最值、极值、切线问题中的应用，及不等式性质、恒成立等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论及分析问题和解决问题的能力.高三数学试题卷第 2 页，共 6 页高三数学试题卷第 3 页，共 6 页2019 年浙江省普通高校招生考试模拟卷数学答案解析选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】由 ， ，所以 ，选 C.4104,14xxQ=,3RCP1RCPQ

14、，2.【答案】D【解析】 ，焦点在 轴上且焦点坐标为 ，选 D.24yxy106，3.【答案】A【解析】 ，所以虚部为 ,选 A.212415iiizi454.【答案】C【解析】 ，所以选 C.4124465 1 12 0aqSaqa- 5.【答案】D【解析】 为偶函数，且 ， ，选 D.sinlcosln2yxx 0xy另解： ，选 D.,0y6.【答案】B【解析】如下图所示，该几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥.体积 ，选 B.223135344V7.【答案】B【解析】对于选项 A，由于 ，命题正确；21对于选项 B，考虑举反例：取 ，则 ，命题错误；112P220,10D对于选项 C， ，

15、命题正确；21DD对于选项 D， ，命题正确；220ED8.【答案】C【解析】只要 ，显然线性目标函数 最大值在可行域的边界取到，有max1byaxby，所以点 所形成的平面区域为关于 轴对称的四边形，1abm,P，选 C.11236Sm9.【答案】A【解析】由题意 两两夹角为 ，记 ，以 为原点建立空间直角坐标系，123,e60123=,eOABeCO，设 则123=,0,1， ， ,axyz.12332,2=yxaexazy 又 ，不妨取 .则124axeyz3=42a， ， 23 2236=6384364 25=8 10.【答案】D【解析】设侧面与底面所成角均为 ，由射影面积法知 ，且点

16、241cos1603在底面上的射影恰为 的内心 .又三个侧面的面积分别为 知 三边之PABCI ,2ABC比为 .注意到底面面积为 ，所以 三边为 为直角三角形，内切圆半径为3:4524ABC6,810，2三棱锥 的高为 .设三棱锥 的外接圆圆心为 ，半径为 ，且 内PABC23PORABC心与外心 的距离为 .由球心在三棱锥 的外面构成直角三角形易得IO5ABC.222 2793165+3543RRSR非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.11【答案】 ，128【解析】由对数运算知 ， .1233logl9333l

17、og4llog2l4log812. 【答案】 ，21【解析】 .1cos2in2121sinssi ,4xxxxAb13【答案】 ，19【解析】由 知3333322222+1+1+11xxxxxx ， .10302323239aCC7=a14【答案】 ，41【解析】 ，解得 ；22cos16abA4a由 ，平方得 .34ADBC22291331=cos=684DABCAB所以 .215【答案】 34a【解析】记 （ ），则 ，所以22()=1fxaxx 22()10xfa ()fx单调递增.当 时， ；当 时， .综上， .()01fa 3()4fa 34a16【答案】 79250【解析】每名

18、学生不同的选法有 .21330C若三人均选了 三门，则选法有 种；,AB若三人恰有两人选了 三门，则选法有 种；, 2137C若三人恰有一人选了 三门，则选法有 种；,C2135A若三人没有一人选了 三门，则选法有 种.,ABC12131335CCA所以所求概率为 .31+2751679=02517【答案】 238a【解析】记 ，则,cbda，22max 11,=max,6,64416254 ,28fxcdcd所以 且 ，解得 .56=8c58d3a三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分 14 分）【答案】（1）见解析；（2） .

19、17【解析】（1）当 时，点 在第一象限， ；0a P2310cos+a当 时，点 在第三象限， .0a P2310cos+a（2）由题意点 在一三象限， ，所以 .1tan32tan3ta41所以 .t2tn2tan=2=719.（本题满分 15 分）【答案】（1）见解析；（2） .14【解析】（1）连接 ，由于 且 ，所以四边形 为平AC1C 1A 1AC行四边形，即 .又底面 为等腰梯形，且有 .1 BDD侧棱 平面 , 平面 ，所以 .1CB1又 ，所以 平面 ，故 平面 .1DAC11AC1（2）由题意 ,延长 、 、 、 交于点 ,取 中点 ，连 .12D1B1GCMBAC、 MG

20、D1B1 C1DACA1H由 , 平面 ， 平面 ，所以 平面 .1BMAC B1AC11ABCM 1ABC因此点 到平面 的距离和点 到平面 的距离相等.1M1由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以平面 面 .11D1111D过点 作 ，则 平面 ，即点 到平面 的距离为 .M1HG1ABC1ABC2MH所以直线 与平面 所成角为 ，则有 .1BC1A12sin4MH解法二：建系法以 为原点如图建立空间直角坐标系，则 .O113,0,23,3,2BABC, ，设平面 的法向量为 .120BC113,0,2,ACC1 ,nxyz由 ，解得 .取法向量 .1nxyz 3,yxz,32n设直线 与平

21、面 所成角为 ，则 .1BC1A11sinco,4BC20.（本题满分 15 分）【答案】（1） ；（2） .1043149n【解析】（1）当 时， ；n=a当 时， ， ，2n21133+2nna 1221313+nnaa两式相减得 .又 也符合表达式，所以 .13nn na1=n122019234520891242018bbbbbaa 21091034（2）由题意 ，则nbc.12211122311=+3 2 4 =3494n nnnnnbSbb 21.（本题满分 15 分）zyx D1B1C1OACA1【答案】（1） ；（2） .x1【解析】（1）不妨设点 ，则切点弦 ： .又切点弦 过

22、点 ，有0,ExyAB004+xyAB2,0F，因此点 在定直线上 上.004+2=2xx2（2）设 .直线 ： 与抛物线 ： 联立得1212,0,8yABy AB2xmyC28yx.过点 的切线方程为 .2121260+=8,6ymm114x令 得 ，同理可得 .x114Myx2Ny过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，则,ABy1,AB111 12212=SAMNBAMBNySxyx 231212121121243xy y.12121212 4834=6486=123yym当且仅当 时取等号.0m22.（本题满分 15 分）【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析.1eyx【解析】（1

23、）由 知， ， ，所以在点 处的 1xf1fe=0f1,()f切线方程为 .1eyx（2）当 时， ，所以 .,xln0ln21ln2axexe下先证： .1l2=1eexf即证： .=ln2gxxe，又 在 上单调递增，且 知 在 122exg1,10gx上单调递增，故 .因此 ，得证.1,x=0ln+2ln+2xexeae（3）由（1）知 在点 处的切线方程为 .fx1,()f1s构造 ， ， .11xeFxfxe 12xFxe 3xFxe所以 在 上单调递减，在 上单调递增. ,33,又 ， ， ，所以 在 上单调递减，在 310e 1limxFe0x,1上单调递增.所以 .,1efxs设方程 的根 .又 ，由 在 上单调递减，所以1=esxb1ebx11fxssxR.1另一方面， 在点 处的切线方程为 .fx1,2e31txex构造 .31=xGft ee， . 23xxe xG所以 在在 上单调递减，在 上单调递增. ,3,又 ， ， ，所以 在 上单调递减，在 310Ge limxe10GFx,1上单调递增. 所以 .1,3fxte设方程 的根 .又 ，由 在 上单调递增，所以31=txexb213ebx22tfxttxR. 所以 ，得证.22121