浙江省杭州市2019年高考命题比赛数学试题（8）含答案

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1、1试卷设计说明一、整体思路本试卷设计是在学科教学指导意见的基础上，通过对浙江省普通高考考试说明（数学）的学习与研究，结合 2018 年浙江省的高考试题卷，精心编撰形成。本试卷注重考查学生的基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验，又考查学生的学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算，数据分析。本试卷题目基本上追求原创，部分题目进行了改编，每个题目都呈现出编者的意图。整个试卷的结构、题型、分数的分布、内容的选择都力求与考试样卷保持一致，同时也为了更适合本校学生的整体水平与现阶段的考查要求，对知识点力求全面但不追求全面，做到突出主干知识，对相关知识联系设问，从而检测学生

2、通过高中数学课程的学习所获得的“四基”和“四能” 。试卷结构和 2018 年浙江省高考数学试卷保持一致，各题型赋分如下：选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分；填空题共 7 小题，单空题每小题 4 分，多空题每小题 6 分，共 36 分；解答题共 5 小题，共 74 分。主要有以下特点： 1注重考查核心素养、注重覆盖试题覆盖高中数学的核心知识，涉及函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等主要知识，考查全面而又深刻。2注重通性通法、凸显能力试题淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求，提高了试题的层次和品位。3注重分层考查、逐

3、步加深试题层次分明，由浅入深，各类题型的起点难度较低，但落点较高，选择、填空题的前几道不需花太多时间就能破题，而后几题则需要在充分理解数学概念的基础上灵活应变；解答题的 5 个题目仍然体现高考的“多问把关”的命题特点。不仅需要考生有较强的数学阅读与审题能力，而且需要考生有灵活机智的解题策略与分析问题解决问题的综合能力。二、试题安排具体思路1、对新增内容的考察。对于新增内容， 考试说明中对复数、概率排列组合、二项式定理、分布列期望方差明确的要求是了解，故此类题型本卷都涉及了而且难度不大，都放在前面。2、三角函数试题设计时，还是突出重点内容的考查，特别是对正弦余弦定理，三角函数的恒等变换及三角函数

4、的图像与性质方面突出考查。在次序上把三角2的恒等变换及三角函数的图像与性质放在大题考核，而把正弦余弦定理的考核放在了填空题，这样做与 2018 浙江省高考卷完全吻合。3、立体几何试题设计时，也是突出必考内容的考查，那就是点线面位置关系、三视图、线面角。由于新高考对二面角的要求比较低，所以在设计大题时，淡化了二面角的考核，把重点放在了线面角的处理上。4、解析几何试题的设计时，也是突出必考内容的考查，那就是双曲线的几何性质、抛物线的几何性质及直线与圆的位置关系及直线与椭圆抛物线的位置关系。5、数列试题的设计时，突出考查等差数列与等比数列的通项公式，前 n 项的公式，同时考查学生运算求解、推理能力。

5、6、函数试题的设计时，突出以导数为载体，对函数的单调性、极值、最值及可转化为这类问题的函数零点、不等式及函数图象变化等问题进行考查，进而达到对学生综合能力的考查。3试卷命题双向细目表说明：题型及考点分布按照2019 考试说明和 2018 年浙江省高考数学试卷。题序 考查内容 分值 难易程度1 集合运算 4 容易题2 双曲线性质 4 容易题3 立体几何中的三视图表面积体积 4 容易题4 复数 4 容易题5 函数图像性质 4 容易题6 充分必要条件 4 中档题7 概率中的分布列 4 中档题8 立体几何中的空间角问题 4 中档题9 平面向量的数量积计算 4 偏难题10 数列计算 4 偏难题11 数学

6、历史，应用实例 4 容易题12 线性规划问题 6 容易题13 解三角形 6 容易题14 二项式定理 6 中档题15 函数以及不等式问题 4 中档题16 排列组合 4 偏难题17 椭圆综合应用问题 6 较难题18 三角函数中的恒等变形，图像性质以及计算 14 容易题19 立体几何中的综合问题 15 中档题20 数列基本运算 15 中档偏难题21 解析几何综合问题 15 中档偏难题22 函数与导数综合问题 15 较难题难度系数 150 0.60.6542019 年高考模拟试卷（数学卷）考试采用闭卷、笔试形式。全卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。试卷一般包括选择题、填空题和解答题等题型

7、。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答应写出文字说明、演算步骤或推理论证过程。各题型赋分如下：选择题 40 分，填空题 36 分，解答题约 74 分。选择题部分（共 40 分）一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （原创题）已知集合 ， ，则 = ( )32|xA01|xBBAA B C D |21x|2|1|x（命题意图）考查集合的含义及运算，属容易题（解题思路）使用数轴求出并集2.（原创题）双曲线 的渐近线方程是 ( )

8、192yxA B C Dyx3xy91xy31（命题意图）考查双曲线的图像和性质，属容易题（解题思路）关注双曲线焦点位置，求出渐近线方程3. （改编题）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 （ ） A B C D38cm34cm32c31cm（命题意图）考查几何体的三视图，直观图，属容易题（解题思路）想象几何体，求出体积，可以使用割补的思想4.（原创题）若复数 (i 为虚数单位)，则 的共轭复数是（ ）iZ12ZA B C D23i-32i2-i（命题意图）考查复数的计算，属容易题（解题思路）化简复数，求出共轭复数5 （改编题）已知函数 ( 为自

9、然对数的底)，则 的大致图象是212)(xexf ()（ ）5A. B. C. D. （命题意图）考查应用导数研究函数的性质，属中档题（解题思路）求出导数，研究单调性6 （改编题）已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ ”是mnnmn“ n（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件（命题意图）考查充分必要条件 ，属中档题（解题思路）使用线面垂直的判定定理7、 （改编题）随机变量 的分布列是 1 2 3P ab61若 ，则随机变量 的方差 （ ）35E）（ ）（DA B C D9199597（命题意图）考查排列组合、计数原理，属中档题（解题思路）能使用随机变量

10、的期望和方差公式8、 （原创题）已知四边形 中， , ,再将 沿着A0BAB翻折成三棱锥 的过程中，直线 与平面 所成角均小于直线 与平BDCD-A面 所成角,设二面角 ， 的大小分别为 ，则 CB-、（ ）A B C存在 D 的大小关系无法确定、（命题意图）考查立体几何中直线与平面所成角、二面角的问题，属偏难题（解题思路）使用直线与平面、二面角的定义9、 （原创题）若平面向量 ，满足 ， ， ， ，cba,2|a4|ba3|-|bac则 的最大值为 （ |-|bc6）A、 B、 C、 D、373-73123-12（命题意图）考查平面向量的数量积计算问题，属偏难题（解题思路）使用向量的模长和数

11、量积计算公式10、 （原创题）已知数列 满足 ， ， ，数列 满足na0141a21nnanb， ， 。若存在正整数 ，使得 ，0nb122nb)(,qp14qp则 （ ）A、 B、 C、 D、3,qp6,4qp1,9p2,0（命题意图）考查数列计算问题，属难题（解题思路）使用数列的递推公式证明二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11.（改编题） “赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，现已知大正方形面积为 9，小正方形面积为 4，则每个直角三角形的面积是_；每个直角三角形的周长是_。（命题意图）考查数学历史典故以及基本计算，属容易题（

12、解题思路）使用正方形的面积公式和周长12. （改编题）若实数 满足不等式组 ，且 的最小值等于 ，,xy20xym2zyx2则实数 _，Z 的最大值_。m（命题意图）考查线性规划中的最值问题，同时考察数形结合的思想方法，属容易题（解题思路）使用线性规划中的作图研究13. （改编题）在 中，角 的对边分别为 , , ，ABC、abc4B5cosA,则 _， _。2bcosa（命题意图）考查解三角形问题中的正弦、余弦定理的运用，属容易题（解题思路）使用正弦、余弦定理的公式14.(原创题) 二项式 的展开式的各项系数之和为_， 的系数为_。7）（ x3x（命题意图）考查二项式定理的相关内容，属中档题

13、（解题思路）使用二项式定理的公式15. （改编题）已知函数 ，若 对任意的)()(Raexf1)(2bxf7恒成立，则 的取值范围是_。1,0xba（命题意图）考查函数的最值和恒成立问题，属中档题（解题思路）先求导，再使用恒成立的解题思路16 （改编题）甲、乙、丙三位同学独立地从 7 门选修课程中任选三门进行学习，则三位同学选择的课程中有且只有一门相同，其余互不相同的选法有_ 种（用数字回答） 。（命题意图）考查排列组合计算问题，属偏难题（解题思路）进行分类讨论，不重不漏17. （原创题）已知椭圆 ， 是椭圆上关于原点对称的两点，)0(12bayxNM,是椭圆上任意一点，且直线 的斜率分别为

14、，若 的PPN, )0(,21k|21k最小值为 1，则椭圆的离心率为 。（命题意图）考查椭圆综合应用问题，属较难题（解题思路）使用坐标表示斜率，并使用基本不等式或者函数性质研究最小值三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。18. （改编题） （本题满分 14 分）已知 。Rxxf，)12cos()(（）已知角 的顶点和原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ,求 ），（ 31的值；)(f（）若 ， ， 的值。），（ 205)(f2sin求（命题意图）考查三角函数化简、求值，属容易题（解题思路）第一问使用三角函数的定义，第二问能够使

15、用二倍角公式计算 的值2sin19 .(改编题)（本题满分 14 分）如图，已知多面体 的底面 是边长为 2 的ABCDEP菱形， 底面 ， ，且 。PABCDPAE| 2（1）证明：平面 平面 ；PACE（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求直线 与平面 所成角的余弦值。BD45ACPE（命题意图）考查空间中线线、线面、面面垂直的判断及用向量、几何法求线面角，二面8角，属中档题（解题思路）第一问使用面面垂直的判断定理，第二问使用直线 与平面 所成角的ACPE定义，或者等体积方法，或者建立空间直角坐标系20(改编题)（本题满分 14 分）已知数列 满足 , 。na1Nnan,421（）求数列

16、的通项公式；na（）设数列 满足 。当数列 的前nb )(,82321 nababn nb项和取得最大值时，求 的值。n（命题意图）考查数列基本运算问题，属中档题（解题思路）第一问使用数列的递推公式，第二问使用 与 的关系nsa21. （改编题） （本小题满分 15 分）如图，直线 与抛物线 相交于:=+ :2=4两点， 是抛物线 的焦点，若抛物线 上存在点 ，使点 恰为 的重心。, （1）求 的取值范围；（2）求 面积的最大值。（命题意图）考查直线和圆锥曲线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属中档偏难题（解题思路）第一问使用联立方程求出 的取值范围，第二问表达出 面积，并求出最 大值22. （改编题） （本小题满分 15 分）已知 。()=2（1）当 ， 时，证明：函数 只有一个零点；=1 =1 ()9（2）若 的图像与 轴交于 ， 两点， 中点为 ，求证：() (1,0) (2,0)(10 2+0 1+2=4,12=4所以 ， 4 分1+2=(1+2)+2=42+2由点 为 的重心可得 ，(0,1) 1+2+33 =01+2+33 =1 则 ，且 ，3=43=3422 3=34220而 ，即 ，(4)2=4(3422)2=328代入得 ，解得 ，328 +034328 20 120 00 (1)=012 (0)0