浙江省杭州市2019年高考命题比赛数学试题（15）含答案

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1、2019 高考模拟卷数学卷本试卷分为选择题和非选择题两部分。考试时间 120 分种。请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上。参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式 V=Sh24SR球的体积公式 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式： 34VR其中 表示球的半径 V= h（ ） 3121SS棱锥的体积公式 其中 分别表示台体的上、下底面积，21,sV= Sh h 表示台体的高31其中 S 表示锥体的底面积， 如果事件 互斥，那么AB，h 表示锥体的高 ()()PP第 I 卷（选择题 共 40 分）1、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，在每小题给

2、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请在答题卡指定区域内作答。1.【原创】在复平面内，复数 对应的点位于 （ 2)1(iiz） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 【原创】盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么概率是 的事件为 ( )310A恰有 1 只是坏的 B恰有 2 只是好的 C4 只全是好的 D至多有 2 只是坏的3.【原创】在 的展开式中, x的幂指数是整数的项共有 （ 43)(x）A3 项 B4 项 C5 项 D6 项4.【原创】已知集合 ， ，则下列选项中不是034|2xAaxB|的充分条件的是 （ ）A B C

3、 D4aa435一个多面体的三视图如图所示，正视图为等腰直角三角形，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该多面体的表面积为 （ ）A B24624C D2 6.【原创】将函数 f(x) (cos x2sin x)sin 2x 的图象向左平移 个单位)3sin 8长度后得到函数 g(x)，则 g(x)具有性质 ( )A在(0， )上单调递增，为奇函数 B周期为 ，图象关于( ，0)对称 4 4C最大值为 ，图象关于直线 x 对称 D在( ，0)上单调递增，为偶函数2 2 27.经过双曲线 =1（ab0）的右焦点为 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于 M，N 两点，若 O 是坐标原点，OM

4、N 的面积是 ，则该双曲线的离心率是 （ ）A2 B C D8.【原创】设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则满足 的正nanS786S01nS整数 的值为 （ n）A12 B13 C14 D159.已知 f（x）=x（1+lnx） ，若 kZ，且 k（x2）f（x）对任意 x2 恒成立，则 k 的最大值为 （ ）A3 B4 C5 D610.【原创】已知 三点共线， 为平面直角坐标系原点，且满足A,O, ,若函数 ， ，其中mO34Ramxbf)( ),，记 为 的最小值，则当 时， 的取值范围为（ Rba,0)(ba(xf 2),(）A. B C D01b1b第 II 卷（非选择题 共 110

5、 分）2、 填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分。请在答题卡指定区域内作答。11.【原创】设 ，则 的定义域为 ，(sinco)sincof()fx的值为 _.(sin)6f12.【改编自 2015课标全国】已知函数 ，若 ，则1,log2)(1xxfx 3)(af等于_.)(af13.已知点 ,点 在抛物线 上，且 为正三角形，若满足)01(AQP)0(2pyAPQ条件的 唯一，则此时 的面积为_.A14.【原创】 （x,y）满足不等式组，则直线 将表示的平面区域的面34xy34kxy积分为相等的两部分时 的值为_，若 的最大值是 ，则正数 的

6、值是klg()a1a_.15兄弟三人同在某单位上班，该单位规定，每位职工可以在每周 7 天中任选 2 天休息，一旦选定以后不再改动，则兄弟三人恰有两人休息日完全一致的概率为_；设兄弟三人中休息日完全一致的人数为 X，则随机变量 X 的数学期望是_.16.已知数列 是首项为 a1 ，公比为 q 的等比数列，设 23log (nN *)，n14 14 nb14a数列 满足 .则 =_, = _,数列 cn的前 n 项和ncnbnbSn_.17.【改编】 与 中， , ,则ABCRtDt BCA2AD=_.3、 解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

7、请在答题卡指定区域内作答。18.【改编自清远市 2016 届高三上期末】(本小题满分 14 分)已知函数 (21cosin23)( Rxxxf ,设 ABC的内角 ,的对应边分别为 cba,，且 0)(,Cf.（1）求 C 的值.（2）若向量 与向量 共线，求 ABC的面积.)2cos(,Am )sin,2(Bm0(19.【改编】(本小题满分 15 分)在几何体 ABCDE 中，BCDE 为矩形 ，BC=AB=1，ABC=90，直线 EB平面6ADABC， P 是线段 AD 上的点，且 AP=2PD，M 为线段 AC 的中点.(1)证明：BM/平面 ECP；(2)求二面角 A-EC-P 的余弦

8、值.20.(本小题满分 15 分)(2018温州模拟 )已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 ，2S n(n1)32an1(n 2) （1）求 an的通项公式；（2）设 bn (nN *)，数列 bn的前 n 项和为 Tn，证明：1an 12Tn= = .1212|n9二面角 A-EC-P 的余弦值为 . 15 分20.(本小题 15 分)解：当 n2 时，2( a1a 2)3a 21，解得 a22.当 n3 时，2a n2S n2S n1 (n1)a nna n1 ，(n1) anna n1 ， ，anan 1 nn 1 ， ， ，an 1an 2 n 1n 2an 2an 3 n

9、2n 3 a3a2 32将以上各式相乘得 ，ann.ana2 n2显然，当 n1 时，上式不成立，当 n2 时，上式成立anError!证明：b n Error!1an 12当 n2 时，b n ，1n 12 1nn 1 1n 1n 1Tn .425 (12 13) (13 14) (1n 1n 1) 425 12 1n 1 3350 1n 13350 71021.（本小题 15 分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程【分析】 （1）由题意可得 =1 可求 p，进而可求抛物线方程（2）设 l1方程为 y=k（x+1） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，D（x 3

10、，y 3） ，E（x 4，y 4） ，由，整理可得关于 y 的方程，结合=1616k 20，可求 k 的范围，然后结合方程的根与系数关系可求 y1+y2，y 1y2，代入可求 x1+x2，x 1x2及 P，从而可求|MA|MB|及直线PF 的方程，由 得关于 y 的方程，同理可求 y3+y4，y 3y4，代入直线方程得 x3+x4，x 3x4，可求|FD|FE|，由题设建立等式，则可以由 k 表示 ，结合函数的单调性可求 的范围【解答】解：（1）抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点 F 与椭圆 + =1 的右焦点重合， =1，解得 p=2，抛物线方程为 y2=4x （2）设 l1方程为 y

11、=k（x+1） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，D（x 3，y 3） ，E（x 4，y 4） ，由 ，得 ky24y+4k=0，=1616k 20，k（1，0）（0，1） ，y1+y2= ，y 1y2=4，代入方程得： 2，x 1x2=1，P（ 1， ） ，|MA|MB|=x1x2+x1+x2+1+y1y2=4（1+ ） ，且直线 PF 的方程为 y= （x1） ，由 ，得 ky24（1k 2）y4k=0，则 ，y 3y4=4，代入直线方程得 ，x 3x4=1，|FD|FE|=（x 3+1） （x 4+1）= ，则 ，令 t=k2+1，则 t（1，2） ， = ，而 = 在（

12、1， ）单调递增，在（ ）单调递减，实数 的取值范围是（ 1， （本小题 15 分）22. （）解： ， . .1 分32()fx(1)f且 ，所以在 处的切线方程为 . 3 分 (1)4fx524yx（2 ）证明：因为对任意的实数 ，不等式 恒成立.()fa所以 恒成立. .4 分432xa设 ，43()xg则32()2(1)x(13)(1)xx所以 在 ， 单调递增，()gx1,+3,在 ， 单调递减. 6 分,3,所以 ，min()(13),()gxg因为 ， 是方程 的两根.13+2=0x所以4300()xg200()()24xx. （其中 ） 200(1)201x013所以 的最大值

13、为 . 9 分a（3 ）解:若对任意的实数 ，关于 的方程 有且只有两个不同的实根，kx()fkxm当 ，得 ，与已知矛盾.0xm所以 有两根，即 与 有两个交点.10 分43xk43xmyyk令 ，则 .43()xmh4328()xh令 ， ，则 在 单调递减，43()8px2()1()px()px,2)单调递增，所以 . 11 分2,min46（）当 时，即 时，则 ，即 在 ， 单调递4160()0hx()hx,0)(,)增，且当 时， ；当 时， ；当 时，x()hx；当 时， .此时对任意的实数 ，原方程恒有且只有两个()hk不同的解. 12 分（）当 时， 有两个非负根 ， ，所以

14、 在 ， ，04m()px1x2()hx,0)1(,x单调递增， 单调递减，所以当 时有 4 个交点，2(,)x12, 1,k或 有 3 个交点，均与题意不合，舍去 . 13 分1=kh()x（）当 时，则 有两个异号的零点 ， ，不妨设 ，则 在0m()p1x2120x()hx， 单调递增； 在 ， 单调递减.1(,)x2(,hx(,0),)又 时， ；当 时， ；当 时，)hxx0x；当 时， .()hx()hx所以当 时，对任意的实数 ，原方程恒有且只有两个不同的解.12()hxk所以有 ， ，得43180m43280xm.22111123()8()xxx由 ，得 ，即 .12(h33122112123()xx所以 ， ， .128x12x12x故341212()()m.2212121183()()xxxx8所以 . 所以当 或 时，原方程对任意实数 均有且只有两个解.15 分4m1k