浙江省杭州市2019年高考命题比赛数学试题（17）含答案

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1、1试卷命题双向细目表说明：题型及考点分布按照2019 考试说明参考样卷。说明：题型及考点分布按照2019 考试说明参考样卷。题序 考查内容 分值 难易程度1 集合的关系与集合的运算 4 容易题2 考查复数的几何意义 4 容易题3 函数及充要条件的判断 4 容易题4 线性规划 4 中档题5 点线面位置关系 4 中档题6 数学史的引入，三视图 4 中档题7 双曲线定义和离心率 4 中档题8 函数的单调性和对称性问题 4 中等偏难题9 用导数解决函数问题 4 较难题10 几何中翻折问题 4 较难题11 离散性随机变量的分布列，期望，方差 6 容易题12 等比数列的通项与求和 6 容易题13 基本不等

2、式的应用 6 中档题14 二项式系数问题 6 中档题15 排列组合问题 4 较难题16 平面向量的数量积问题 4 较难题17 空间位置和轨迹 4 较难题18 三角函数的性质与解三角形 14 容易题19空间中线线、线面垂直的判断及用向量、几何法求二面角 15 中档题20 数列求通项公式，求前 n 项和 15 中等偏难题21 圆锥曲线的方程与定点定值问题 15 较难题22 用导数解决函数的单调性及导数的应用 15 较难题22019 年 高 考 模 拟 试 卷 数 学 卷本试题卷分选择题和非选择题两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题

3、部分（共 40 分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24SR VSh球的体积公式 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高 3V S其中 表示球的半径 棱台的体积公式R 123S棱锥的体积公式 其中 分别表示棱台的上底、下底面积，13Sh 12,S其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高 表示棱台的高S h一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40

4、分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、(原创) 已知集合 ， ，若 ，则 的值为 ( ) ,2|RxxA,1mBBAm. . . 或 . 或 2B1C2D2（命题意图：考查集合的关系与集合的运算，属容易题）2、(原创) 2复数 对应的点落在 i34A第一象限 （B）第二象限 C第三象限 D第四象限 （命题意图：考查复数的几何意义，属容易题）3、(原创) 是不等式 成立的一个充分不必要条件,则实数 的范围是( ) ”“,ax0352x a,. ， 1.21. ,321,.（命题意图：考查函数及充要条件的判断，属容易题）4、(原创) 已知 x，y 满足 则 的取值范围是 (

5、) y 20，x 30，x y 10，) 46xyA B C D713, 7,273,076,0（命题意图：考查线性规划，属中档题）5、（原创）已知直线 、 与平面 、 ， ，则下列命题中正确的是 lmml,A若 ，则必有 B若 ，则必有 / lC若 ，则必有 l D若 ，则必有m3（命题意图：考查点线面位置关系，属中档题）6（引用）诸暨牌头中学 2018A 学年第一学期期中考试卷九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 ）,则该“阳马

6、”最长的棱长为 1（ ）（A） （B） （C） （D）5344152（命题意图：考查数学史，三视图，能画出直观图，求几何体的体积，属中档题）7.(原创) 设 ， 是双曲线 ， 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一1F212byax0(a)b点 ，使 （ 为坐标原点），且 ，则双曲线的离心率为 P0)(2PO|3|21PF（ ）. . . .A21B1C23D（命题意图：考查双曲线定义和离心率，属中档题）8、(原创) 已知 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点（1,0）对称，若对任意的)(xfR)1(xfy， ，等式 恒成立，则 的取值范围是 （ xyR0)34(32xfy y） . .

7、A2,32B32,1. .CD（命题意图：考查函数的单调性和对称性问题，属中等偏难题）9、定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式0（fx（2()10fx72f（x的解集为 （ ）13lnfx（A） （B） （C） （D）2(,)e2(0,)e2(,)e2(1,)e（命题意图：考查导数的应用，属较难题）10.过边长为 2 的正方形中心作直线 l 将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线 l 翻折到另一个部分上。则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为 （ ）A.2 B.2(3 ) C. 4(2 ) D. 4(32 )22（命题意图：考查几何中翻折问题，属较难题）4非选择题部分（共 11

8、0 分）2、填空题：本大题共 7 小题，第 9 至 12 题每小题 6 分，第 13 至 15 题每题 4 分，共 36 分.11、(原创) 已知随机变量 的分布列为：XX123P213m则 =_， =_.m()DX（命题意图：考查离散性随机变量的分布列，期望，方差，属容易题）12、 (原创) 已知递增的等差数列 的首项 ，且 、 、 成等比数列。则数列 的通项公na1a24 na式为 ；则 的表达式为_。833852 nn（命题意图：考查等比数列的通项与求和，属容易题）13、(原创) 已知 ， 为正实数，且 。则 的最小值为 ； 则xy2yxxy的最大值为 。12yx（命题意图：考查基本不等

9、式的应用，属中档题）14、(原创) 若 的展开式中所有项的系数之和为 256，则 =_，含 项的系数是2(3)nx n2x_（用数字作答）.（命题意图：考查二项式系数问题，属中档题）15、(改编) 校园某处并排连续有 6 个停车位，现有 3 辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定当有车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停放方法有 种。（用数字作答）（命题意图：考查排列组合问题，属较难题）16.在 中，内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，点 是其外接圆 上的任意一点，若ABCBCabcPO， ，则 的最大值为_.23a7bc22PA（命题意图：考查解三角形问题，属

10、较难题）17、 (改编) 球 O 为边长为 2 的正方体 的内切球，P 为球 O 的球面上动点，M 为1DCBA中点，D PBM，则点 P 的轨迹长度为 1CB（命题意图：考查空间位置和轨迹，属较难题）53、解答题：本大题共 5 个题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18、原创（本小题满分 14 分）已知函数 。1cos2sin32)( xxxf（1）求 的最小正周期及单调递增区间；（2）若 中， ，且 ，求 的大小及边长 的最小值。ABC3)12(f 4cbAa命题意图：（1）考查三角变换：二倍角公式（降次公式）、两角和差公式（合一变形）；（2）考查三角函数的性质：周期

11、性单调性；（3）考查解三角形的能力，灵活应用正弦、余弦定理。（4）基本不等式的灵活应用。19改编（本小题满分 15 分）如图,在 AOB 中，已知 AB=4，D 为线,6,2BAO段 的中点 . AOC 是由绕直线 AO 旋转而成，记二面角 B-AO-CAB的大小为 .(I )当平面 COD 丄平面 AOB 时 ，求 的值； （II）当 求二面角 BODC 的余弦值32命题意图：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力，属中档题（原题）如图，已知AOB，AOB ，BAO ，AB4，D 为线段 AB 的中点若26AOC 是AOB 绕

12、直线 AO 旋转而成的记二面角 BAOC 的大小为 () 当平面 COD平面 AOB 时，求 的值；() 当 , 时，求二面角 CODB 的余弦值的取值范23围AO BCD620改编设正数数列 的前 n 项和 满足 anS2)1(4na（I）求数列 的通项公式；n(2)若数列 满足 ，求数列 的前 n 项的和nb12nnab【根据 2014 年广东高考卷改编】命题意图：此题主要考察求数列通项，求数列前 n 项和，属中档题21. 改编 （本小题满分 15 分）已知椭圆 经过点 ，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形。)0(1:2bayxC)2,1(P（1）求椭圆的方程；（2）动直线 交椭圆

13、 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个),(03: Rnmnyxl 定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由。命题意图：考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的定值定点，及解析几何的基本思想方法，属中等偏难题）（原题）已知椭圆 经过点 ，且两焦点与短轴的一个端点构成等)0(1:2bayxC)2,1(P腰直角三角形。（原题）设各项均为正数的数列 na的前 项和为 nS，且 满足NSnSn ,0322.(1)求 1a的值；(2)求数列 n的通项公式；(3)证明：对一切正整数 ，有 .31112naaa7（1）求椭圆的方程；（2）动直线

14、交椭圆 C 于 A、B 两点，求证：以 AB 为直径的动圆恒),(031: Rnmnyxl 经过定点（0，1）。来源:学科网22. （引用）（浙江省 2019 浙北四校 12 月联考）设 ，已知函数axaxfln2)(（1）求函数 的单调区间；)(xf（2）求函数 在 上的最小值 ；，1)g（3）若 ，求使方程 有唯一解的 的值。0aaxf2)(命题意图：考察用导数研究函数的单调性，最值，以及函数零点问题，属较难题。2019 年 高 考 模 拟 试 卷 数 学 卷 答 题 卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填

15、空题（本大题共 7 小题，第 9-12 题，每小题 6 分，第 13-15 题，每小题 4 分，共 36 分）11 _ _ _ 12 _ _13 _ _ 14 _ _15 _ 16 _ 17 _三、解答题（共 74 分）818. （14 分）919. （15 分）20. （15 分）1021 （15 分）22 （15 分）112019 年 高 考 模 拟 试 卷 数 学 卷 参 考 答 案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A D D A B B D C 7 C二、填空题（本大题共 7 小题，第 9-12 题，每小

16、题 6 分，第 13-15 题，每小题 4 分，共 36 分）11. 3,125|Zkx)(0,62(Zkk12. 13. ),1, 37514. 4 108 15. 528 16. 17. 9 21,()2,1三、解答题：本大题共 5 个题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（本题满分 14 分）时 ， 由 余 弦 定 理 可 知 ，当 分或或又 分知由 分单 调 递 增 区 间 为 分，得令 分最 小 正 周 期 为 分解 ： 3 9.2323320 7.)sin()sin()1()2( 6.,3,6 5322 4.)( 3.).62sin(co2sin3 A AA

17、f Zkkxf ZkxxkTxf xx分。的 最 小 值 为时 ，； 当的 最 小 值 为时 ，当 分的 最 小 值 为此 时时 等 号 成 立当 且 仅 当 时 ， 由 勾 股 定 理 可 知 ，当 分的 最 小 值 为此 时时 等 号 成 立当 且 仅 当 14223 3.2 8)2()()( 1.24)(3)(3)(cos222 2222 aAaAcb cbbccbacAba19.() 解：在平面 AOB 内过 B 作 OD 的垂线，垂足为 E，因为平面 AOB平面 COD，平面 AOB平面 CODOD，FCAO BD(第 20 题)GE12所以 BE平面 COD， 3 分故 BECO又

18、因为 OCAO，所以 OC平面 AOB，故 OCOB又因为 OBOA，OCOA，所以二面角 BAOC 的平面角为COB，即 7 分2() 解：当 = 时，23过 C 作 OB 的垂线，垂足为 F，过 F 作 OD 的垂线，垂足为 G，连结 CG，则CGF 的补角为二面角 C ODB 的平面角 10 分在 Rt OCF 中， CF ，OF1，3在 Rt CGF 中， GFOF sin ，CG ，23215所以 cosCGF FGC5所以二面角 CODB 的余弦值的取值范围 为 14 分5解法二：()以 O 为原点，在平面 OBC 内垂直于 OB 的直线为 x 轴，OB ，OA 所在的直线分别为

19、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A (0，0，2 )，B (0，2，0)， D (0，1， )，C 33)0,1(设 (x，y，z)为平面 COD 的一个法向量， 由 1n 10,nOC得 取 z1，则 ( 1， ，1) 03yn3又因为平面 AOB 的一个法向量为 (1，0，0) ，2设二面角 CODB 的大小为 ,513cos21na故二面角 C OD B 的余弦值为 15 分520解：（）当 时， ， . 1n21)(4aS113 ， 2)1(4nnaS (n . 1)，得 ，2121 )(4)(nnnn aS整理得， ， 0)(1aa .0nn ，即 . 21 )2(1

20、n故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列. na . 7 分（2） 121nbn令 前 n 项和为 求得 12 分 ns12n15 分 121nTn21 解：（1）椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，)0(1:2bayxC 2ab2xy又椭圆经过点 ，代入可得 ，(1,)P1b ,故所求椭圆方程为 3 分2a.2yx（2）首先求出动直线过（0， ）点 5 分3当 L 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程： 6 分22)34(1(yx当 L 与 y 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程： 7 分14由 101)34(22yxyx解 得即两圆相切于点（0，1）,因此，所

21、求的点 T 如果存在，只能是（0，1）。事实上，点 T（0，1）就是所求的点。 9 分证明如下:当直线 L 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T（0，1）若直线 L 不垂直于 x 轴，可设直线 L： 3kxy由 0162)918(:232kyxky得消 去记点 、 12 分),(1yxA9186),(22kxyxB则 ),(),(1TT又 因 为 )34)(12122121 kxxyxBA所 以 96)(34)1(2121kk 0886 k所以 TATB，即以 AB 为直径的圆恒过 点 T（0，1）所以在坐标平面上存在一个定点 T（0，1）满足条件 15 分（注：其他解法相应给分）2

22、2（本小题满分 15 分）（） axxfxf 22,0定 义 域 为，则 在 上递增1a，则 在在 上递减， 上递增， 4 分2f,(a),(（）由（）可知，当 时， 在 上是增函数，)x),1 ；()minffag当 时， 在 上递减， 上递增，1,a),(a ；fxf ln)in综上， 8 分.1,l,aag15（）令 ，xaxafxhln22由题意，得方程 有唯一解，又0)(，定义域为 ， ,0a令 得 0xh24a在 递减， 上递增，,0x有唯一解， 11 分0x由 即 得,)(0h,0,2ln20ax，1ln设 ，易知 在 递增，且2)(xxg)(g,0)1(g方程 的解为 即 ，解得 ，0l00x240a21a故，当 时，方程 有唯一解时 的值为 15 分aaf2)( 1