浙江省杭州市2019年高考命题比赛数学试题（20）含答案

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1、试卷设计说明（命题报告）一、整体思路本试卷设计是在学科教学指导意见的基础上，通过对2019 年浙江省考试说明的学习与研究前提下，精心编撰形成。总体题目可分为三大类：原创题、改编题与选编题。整个试卷的结构与 2018 年高考试卷结构一致，从题型，分数的分布与内容的选择力求与高考保持一致，同时也为了更适合学生的整体水平与现阶段的考查要求。试题的题型和背景熟悉而常见，整体试题灵活，思维含量高试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新， “以稳为主”的试卷结构平稳，保持“低起点、宽入口、多层次、区分好”的特色，主要

2、有以下特点： 1注重考查双基、注重覆盖试题覆盖高中数学的核心知识，涉及函数的图象、单调性、周期性、最大值与最小值、三角函数、数列、立体几何、解析几何等主要知识，考查全面而又深刻2注重通性通法、凸显能力试题看似熟悉平淡，但将数学思想方法和素养作为考查的重点，淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求，提高了试题的层次和品位，试题保持了干净、简洁、朴实、明了的特点，充分体现了数学语言的形式化与数学的意义3注重分层考查、逐步加深试题层次分明，由浅入深，各类题型的起点难度较低，但落点较高，选择、填空题的前几道不需花太多时间就能破题，而后几题则需要在

3、充分理解数学概念的基础上灵活应变；解答题的 5 个题目仍然体现高考的“多问把关”的命题特点数学形式化程度高，不仅需要考生有较强的数学阅读与审题能力，而且需要考生有灵活机智的解题策略与分析问题解决问题的综合能力4注重紧靠考纲、稳中有变试题在考查重点保持稳定的前提下，体现数学文化的考查与思考，渗透现代数学思想和方法，在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求二、试题安排具体思路1、对新增内容的考察。对于新增内容， 考试说明中对复数、概率排列组合、二项式定理、分布列期望方差明确的要求是了解，故此类题形本卷都涉及了而且难度不大，都放在前面，复数猜测继续考察复数的概念及运算；二项式定理猜测考

4、的是二项式系数的性质；分布列模型猜测考二项分布模型；排列组合还是主要考分组与排列的问题，要求学生会分类分组；2、三角函数试题设计时，还是突出重点内容的考查，特别是对正弦余弦定理，三角函数的恒等变换及三角函数的图像与性质方面突出考查。在次序上把三角的恒等变换及三角函数的图像与性质放在大题考核。3、立体几何试题设计时，也是突出必考内容的考查，那就是点线面位置关系、三视图、线面角。由于新高考对二面角的要求比较低，所以在设计大题时，淡化了二面角的考核，把重点放在了线面角的处理上。4、解析几何试题的设计时，也是突出必考内容的考查，那就是双曲线的几何性质、抛物线的几何性质及直线与圆的位置关系及直线与椭圆抛

5、物线的位置关系。在设计大题时，考查直线与抛物线的位置关系，第一小题比较简单，学生能拿分。5、数列试题的设计时，突出考查等差数列与等比数列的通项公式，前 n项的公式及数列性质、不等式等基础知识，同时考查学生运算求解、推理能力。设计时通过合理的信息介入给学生提供一个突破口，着力考查学生分析、解决问题能力。6、函数试题的设计时，突出以导数为载体，对函数的单调性、极值、最值及可转化为这类问题的函数零点、不等式及函数图象变化等问题进行考查，进而达到对学生综合能力的考查。7、不等式试题的设计时，突出对重点内容基本不等式、及线性规划的考查。试卷命题双向细目表选择题 填空题 解答题知识内容 题次分值题次分值题

6、次分值考 查内 容总分值难度系数集合、简易逻辑1，2 8集合的运算充分必要条件8 0.95+0.9复数 11 6 复数概念及运算 6 0.95不等式9 8 16 4线性规划 8 0.9+0.55函数性质 10 4 函数图像性质 4 0.9导数及应用 13 6 22 15 导数应用恒成立 19 0.85+0.55三角函数6 4 18 14正弦余弦定理图像与性质18 0.7+0.9平面向量 17 4 向量运算 4 0.35数列 20 15 数列综合应用 19 0.95+.0.2立体几何3.4 8 19 15三视图、位置关系线面角19 0.6+0.8+0.7解析几何7 4 15 4 21 15圆锥曲

7、线综合 23 0.7+0.85+0.5二项式定理排列组合8 4 14 6二项式系数性质 6 0.7线性规划5 4分布期望排列组合10 0.75+0.5随机变量期望与方差12 60.652019 年 浙 江 省 高 考 模 拟 试 卷 数 学 卷本试题卷分选择题和非选择题两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共 40 分）注意事项：1 考生将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。2.选择题用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，答在试题卷上无效。参考公式：如果事件 ， 互斥，那么 棱柱的体积公式

8、ABPP VSh如果事件 ， 相互独立，那么 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高h棱锥的体积公式如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 Ap13Sh次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高nAk h棱台的体积公式1,0,12,nkknPCpn球的表面积公式 4SR123VhS球的体积公式 其中 分别表示棱台的上底、下底面积，3V 2,其中 表示球的半径 表示棱台的高R一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 ）1、 （原创）已知集合 ，集合 ，集合 ，U,2RxyM)3lg(xyxN则 （ ） （考点：集合运算）NMCU

9、A B. C. D. 3y0y3y2、 （原创）已知实数 则“ ”是“ ”的（ ） （考点：充分必要条件）,x242xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 3、 （引用 2017 年十二校联考题）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）（考点：三视图的表面积） A B 323C D 524已知 m,n 是两条不同直线， 是两个不同平面，以下命题正确的是（ ）,（考点：点线面位置关系）（A）若 则 (B) 若 则 ,/nmn/ ,nm（C ）若 则 (D) 若 则/ n/5、 （ 15 年海宁月考改编）设变量 满足约束条件 ，目标函数

10、 的yx,ayx41yxz23最小值为 ，则 的值是( )4a（考点：线性规划）A B C D101126、 （原创）为了得到函数 的图像，只需把 的图像（ ）sin2yxcosyx（考点：三角函数的图像变换） （A）向左平移 （B）向右平移44（C ）向左平移 （D）向左平移227、 （改编）如图，F 1,F2分别是双曲线（a,b0）的左、右焦点， B 是虚轴的端点，2:xyab直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若|MF 2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )（考点：圆锥曲线离心率）A. B. C. D. 23623

11、8、 （原创）现准备将 7 台型号相同的健身设备全部分配给 5 个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少 2 台 ，其它社区允许 1 台也没有，则不同的分配方案共有（ ）（考点：排列组合）A27 种 B35 种 C29 种 D125 种9、 （引用自诸暨中学联考题）若正实数 满足 ，且不等式yx， xy42恒成立，则实数 的取值范围是（ ）0342)2(xyayx a（考点：不等式）A B C D25,3),253,(25,3(),25(3,(10、 （改编）已知 ，*1 1),),),nnfxcfxfxfxN若函数 不存在零点，则 c 的取值范围是( )(ny（考点：函数与零点）A. B

12、. C. D.14c34c9494c非选择题部分（共 110 分）二、填空题：（ 本大题共 7 小题, 单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分。 ）11、 （原创） 已知复数 ，其中 为虚数单位，则12izi_， _z（考点：复数与模）12、 （原创）已知离散型随机变量 的分布列为XX 0 1 2P 0.5 0.25（考点：离散型随机变量的期望与方差）则变量 的数学期望 _，方差 _.X E(X)= D(X)=13、 （原创）已知函数 ,则曲线 ()yfx在点 (1,)Af处的切线方程2lnx-f()是_,函数 x的极值为_。 （考点：切线方程与极值）14、 （原创）已知 ，则5

13、 2501(1)()()()axaax=_，所有项的系数和为_ （考点：二项式定理）34a15、 （改编）抛物线 y22x 的焦点为 F，过 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，则|AF|4| BF|的最小值为_ （考点：解析几何之抛物线的焦点弦性质）16.(原创 )已知实数 满足条件 ，求 的最小值是,abcd1abcd2283abcd_（考点：不等式求最值）17.(原创)已知平面向量 满足 ，则 的最小值是,e|,|ea_（考点：平面向量）三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18、 (原创 )（本题满分 14 分）设函数 21cosin3

14、cos)(2xxf（1）求 的最小正周期及值域；xf（2）已知 中，角 的对边分别为 ，若 ，ABC， cba， 23)(CBf， ，求 的面积3acb考点：三角函数的恒等变形；函数 的图像及其性质；余弦定理.)sin(xAy19、 （东阳市模拟卷 17 题改编） （本题满分 15 分）如图, 在直三棱柱 1CBA中，AD平面 1BC，其垂足 D落在直线 1AB上（1）求证： （2）若 3， 2C， P为 的中点，A1求直线 与面 的所成角的余弦值.P考点：1空间几何体的特征；2垂直关系；3空间的角；4空间向量方法 BACDP1BA1C20、 （ 2016 海宁市月考 18 题改编） （本题满

15、分 15 分）设数列 的前 项和为 ，已知nanS， ， ， 是数列 的前 项和.12a811452nnnSST2nlog（1）求数列 的通项公式； （2）求 ；nanT（3）求满足 的最大正整数 的值.2311023nT n考点：数列通项公式，求和与应用21、浙江省丽水市 2013 届高三高考第一次模拟测试第 22 题改编（本题满分 15 分）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛)0(:2pyxC)2,0(pFl )(,0pyxPo物线 C 上的一点，且 的外接圆圆心到准线的距离为 .FOP3（I）求抛物线 C 的方程；（II）若圆 F 的方程为 ，过点 P 作圆 F 的 2 条切线分

16、别交 轴于点 ，1)(22yx xNM,求 面积的最小值及此事 的值.MN0考点：直线与圆锥曲线的综合应用22、 （2010 年湖南高考题改编） （本题满分 15 分）已知函数 对2()(,),fxbcR任意的 ，恒有 。xR()fxf（）证明：当 时， ；02()c（）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 恒成立，2()()fbMc求 M 的最小值。2019 年 高 考 模 拟 试 卷 数 学 参 考 答 案 及 评 分 标 准一、选择题:每小题 4 分, 满分 40 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A C A B B D C D二、填空题：第 11, 12

17、，13，14 题每空 3 分，其余每题 4 分，共 36 分。11、 ；12i12、1 13、2 214、 -xy2ln15、-24016、-2417. 45三、解答题（共 74 分）18、 （本题满分 14 分）的最小正周期为 ，值域为 ；（） .()fxT02，3解：（） = ，3 分21()cos3incosfxxcs1x所以 的最小正周期为 ，f T ，xR1cos213x故 的值域为 ， 7 分()f0，（）由 ，得 ， 、3)cos2()12fBC1cos()32A又 ，得 ，9 分(0)A， 3A在 中，由余弦定理，得 = ，B22cos3ab2()3bc又 ， ，11 分3ab

18、c所以 ，解得92所以， 的面积 . 14 分ABC13sin2Sbc考点：三角函数的恒等变形；函数 的图像及其性质；余弦定理.)si(xAy19、 19 （本小题满分 15 分） BACDP11解：（1）证明： 三棱柱 1CBA为直三棱柱，A平面 C，又 B平面 ， 1 2 分D平面 1，且 B平面 1AC， A又 1平面 1, D平面 1, AD，BC平面 ， 5 分又 A1平面 1，7 分（2）由（1）知 BC平面 1A， B平面 A1,从而 BC如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 xyzAD平面 1，其垂足 D落在直线 1上, D1C1CPAD1BB1xyz在 RtABD中， 3，

19、AB=2，sin2, 06AB在直三棱柱 1C 中，A1B 9 分在 1Rt中， tanAB01623, 则 （0,0,0）, ,C（2，0，0）,P（1，1，0）, （0，2，2 ）,),( 1A3)0(BP（0，2，2 ） 1A3),(BC),(P设平面 的一个法向量 1zyxn则 即 10nPBA230可得 11 分),3(113 分742,cosin11nPC7s直线 与面 的所成角的余弦值是 15 分PC1AB7考点：1空间几何体的特征；2垂直关系；3空间的角；4空间向量方法20、 （本题满分 15 分）解：（）当 时， ，2n1145nnnSS . 1 分1 . 2 分nna ，

20、，12a8 . 34分数列 是以 为首项，公比为 的等比数列.na124 . 4 分24n（）由（1）得： 21nlogl ， 5 分 2122n nTaall log6 分317 分2n. 8 分（） 2311nTT9 分222222213411n10222534n 分. 11 分12n令 ，解得： . 14034287n故满足条件的最大正整数 的值为 . 1522 （本题 15 分）本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。解：解：（I） 的外接圆的圆心在直线 OF，FP 的交点上，且直线 OF 的中垂线为直FOP线 ，2py则圆心的

21、纵坐标为 1 分故到准线的距离为 2 分234从而 p=2，即 C 的方程为4 分.4yx（II）设过点 P 斜率存在的直线为 ，则点 F(0，1)到直线的距离)(00xk。6 分12yd令 d=1，则，20kxy所以 。 8)1(2)1( 0020xkx分设 2 条切线 PM，PN 的斜率分别为 ，则21,k， ，)(2021xyk12021xy且直线 PM： ，直线 PN： ，故)(10y )(02xk， 9 分,10kxM)0,(2yxN因此 20210210120 )(484)( ykykykN所以 11 分200)(MNSP设 ，则2)()tf 12 分)0(,)2(63)(“tttf令 ，则 。0632t 23)(23tt或舍在 上单点递减，在 上单调递增，因此)(tf)， ），（ 13 分)23()minftf从而，3105469)(min fSPMN此时 .15 分230y22、 （本题满分 15 分）