人教B版高中数学必修二课件：1.2.3 空间中的垂直关系 第1课时 直线与平面垂直

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1、第1课时 直线与平面垂直,第一章 1.2.3 空间中的垂直关系,学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义及性质. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 直线与平面垂直的定义及性质,(1)直线与直线垂直 如果两条直线相交于一点或 相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.,经过平移后,直角,垂线,任意一条,AB,垂面,任何直线都垂直,垂足,垂线段,距离,(2)直线与平面垂直的定义及性质,知识点二 直线和平面垂直的判定定理及推论,将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面

2、上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系. 思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？,答案 不一定.,思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？,答案 当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直.,梳理 直线与平面垂直的判定定理及推论,相交,m,n,平行,同一个,lm,m,思考辨析 判断正误 1.若直线l平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( ) 2.若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.( ) 3.若ab，b，则a.( ),题型探究,例1 如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，求证：BC平面PAC.,类型一 直线与平面垂直

3、的判定,证明,证明 PA平面ABC， PABC. 又AB是O的直径， BCAC. 而PAACA， BC平面PAC.,引申探究 若本例中其他条件不变，作AEPC交PC于点E，求证：AE平面PBC.,证明,证明 由例1知BC平面PAC， 又AE平面PAC， BCAE. PCAE，且PCBCC， AE平面PBC.,反思与感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论.,跟踪训练1 如图，直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点. (1)求证：SD平面A

4、BC；,证明,证明 因为SASC，D为AC的中点，所以SDAC. 在RtABC中，ADDCBD， 又因为SBSA，SDSD， 所以ADSBDS. 所以SDBD. 又ACBDD， 所以SD平面ABC.,(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.,证明,证明 因为BABC，D为AC的中点，所以BDAC. 又由(1)知SD平面ABC，所以SDBD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， 所以BD平面SAC.,类型二 线面垂直的性质的应用,例2 如图所示，在正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EFBD1.,证明,证明 如图，连接AB1，B1C，BD，B1D

5、1. DD1平面ABCD，AC平面ABCD， DD1AC. 又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1， ACBD1. 同理，BD1B1C，BD1平面AB1C. EFA1D，且A1DB1C，EFB1C. 又EFAC，ACB1CC， EF平面AB1C，EFBD1.,反思与感悟 平行关系与垂直关系之间的相互转化,跟踪训练2 如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.,证明 因为EA，l，即l，所以lEA. 同理lEB， 又EAEBE，所以l平面EAB. 因为EB，a， 所以EBa， 又aAB，EBABB， 所以a平面EAB.因此，al.,证明,证明,类型

6、三 线面垂直的综合应用,例3 如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MNCD.,证明 如图，取PD的中点E，连接AE，NE，因为N为PC的中点，,所以AMNE，AMNE， 即四边形AMNE是平行四边形， 所以MNAE. 因为PA矩形ABCD所在平面， 所以PACD，,又四边形ABCD为矩形， 所以ADCD，又PAADA， 所以CD平面PAD，AE平面PAD， 所以CDAE，所以MNCD.,反思与感悟 若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中

7、位线的有关性质.,跟踪训练3 如图，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F是BE的中点，求证： (1)DF平面ABC；,证明,证明 取AB的中点G，连接FG，CG，,CD平面ABC，AE平面ABC， CDAE.,FGCD，FGCD. FG平面ABC，四边形CDFG是矩形，DFCG. 又CG平面ABC，DF平面ABC， DF平面ABC.,(2)AFBD.,证明 在RtABE中，AEAB，F为BE的中点， AFBE. ABC是正三角形， CGAB，DFAB. AE平面ABC，CG平面ABC， AECG，AEDF. 且AEABA，DF平面ABE， AF平面ABE，

8、AFDF. BEDFF，BE平面BDE，DF平面BDE， AF平面BDE，AFBD.,证明,达标检测,答案,1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是 三角形的两边； 梯形的两边； 圆的两条直径； 正六边形的两条边. A. B. C. D.,1,2,3,4,5,解析,解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面. 而图形中的两边不一定相交， 故该直线与它们所在的平面不一定垂直.,2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定,1,2,3,4,5,答案,解析 由于直线

9、l和三角形的两边AC，BC同时垂直， 而这两边相交于点C， 所以直线l和三角形所在的平面垂直， 又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以lAB.,解析,1,2,3,3.下列条件中，能使直线m平面的是 A.mb，mc，b，c B.mb，b C.mbA，b D.mb，b,4,5,解析,解析 由直线与平面垂直的判定定理的推论1知，选项D正确.,答案,1,2,3,4,5,4.如图，设平面EF，AB，CD，垂足分别是B，D，BDEF，则AC与EF的位置关系是_.,解析,解析 AB，CD， ABCD， 故直线AB与CD确定一个平面. AB，EF，ABEF， 又BDEF，ABBDB， EF平面ABDC. A

10、C平面ABDC， ACEF.,答案,垂直,5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O.,证明 ABCD为正方形， ACBO. 又BB1平面ABCD，AC平面ABCD， ACBB1， 又BOBB1B，AC平面BB1O， 又EF是ABC的中位线， EFAC， EF平面BB1O.,证明,1,2,3,4,5,1.直线与平面垂直的判定方法： (1)利用定义； (2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线. 2.对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解： (1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法. (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.,规律与方法,