2019届高三上期末数学分类汇编解析（5）函数的单调性与最值

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1、（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）9.定义在 R 上的连续奇函数 f(x)在 上是增函数,则使得 f(x)f(x2-2x+2)成立的 x 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可行 f(x)在 R 上单调递增，所以要使 f(x)f(x2-2x+2)成立，只需 ，解得1-2，由此求得 x 的取值范围【详解】根据 f（ x） ex e x在 R 上单调递增，且 f（ -x） e x ex =- f（ x） ，得f（ x）为奇函数， f(3x 一 1)-f(2)=f(-2)， 3x 一 1-2，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的单调

2、性和奇偶性的应用，属于中档题（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，选项 B，函数定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项 C，因为 f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故排除；选项 A，函数为奇函数且 f(x)=cosx-1 可知函数在定义域上单调递减，故排除；选项 D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，

3、故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法，属于基础题.（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）6.已知函数 ，则（ ）A. 在 上单调递增 B. 在 上的最大值为C. 在 上单调递减 D. 的图象关于点 对称【答案】B【解析】【分析】首先求出函数的定义域，设 ，根据 的单调性与对称性判断 的单调性与对称性.【详解】 ，定义域为 ，令 ，则,二次函数 的对称轴为直线 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，A 错，C 也错，D 显然是错误的；当 时， 有最大值，所以，B 正确【点睛】该题考查的是有关复合函数图像的单调性，涉及到的知识点有对数的运算法则，对

4、数函数的定义域，二次函数的图象与性质，复合函数单调性法则，熟练掌握基础知识是解题的关键.（河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）6.已知 为实数， ，若 ，则函数 的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导，由 求出 a,然后解不等式 即可得到答案.【详解】 ，则又 则 ，解得 a=-2,解 得 ,则函数 的单调递增区间为故选：B.【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减，是基础题（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学

5、文试题）3.下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用函数为奇函数对选项进行排除，然后利用定义域上为增函数对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】四个选项中，不符合奇函数的是 ，排除 D 选项.A,B,C 三个选项中，C 选项在定义域上有增有减，A 选项定义域为 ，单调区间是 和 不能写成并集，所以 A 选项错误.对于 B 选项， 是奇函数，并且在定义域上为增函数，符合题意.综上所述，本题选 B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，属于基础题.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试

6、文科数学试题）12.已知函数 ，其中 是自然对数的底，若 ，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先对函数 求导，然后利用基本不等式证得 ，利用函数奇偶性的定义判断函数为奇函数，在结合奇偶性以及单调性化简 ，得到关于 的一元二次不等式，由此求得 的取值范围.【详解】由 ，知 在 R 上单调递增，且 ，即函数 为奇函数，故 ，解得 .【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用基本不等式求最小值，考查函数的奇偶性，属于中档题.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）15.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_；【答

7、案】【解析】【分析】先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式 转化为，解不等式求得 的取值范围.【详解】因函数 为增函数，且为奇函数， ，解得 .【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题）16.函数 ，对于 ，都有 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意，利用函数 的奇偶性和单调性，转化得出 ，分别作出函数 ，和 ，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数 是定义在 上的奇函数，在 为单调递增，且 ， ，即 ，即作出 与 的图象，直线 作

8、为曲线 切线可求得 ，当 时， ；作出 与 的图象， 时， ，故 ，综上可得 .【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数的图象的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性，转化为 ，利用函数 ， 和 ，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理与计算能力，属于中档试题.（辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题）8.若函数 存在最小值，则 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由分段函数在两端上的单调性，结合各段的最值，列不等式关系即可.详解：由函数 ，由题意可知.当 时， ，函数必须满足 ,否则函数无最小值.此时 .当 时， 单调递减，

9、满足 .所以 ，解得 .故选 C.点睛：本题主要考查了分段函数的最值及对数函数的单调性，属于基础题.（湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题）11.已知函数 若存在实数 k，使得函数 的值域为-1,1，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由于 在 上是单调递减函数，当 时， ，当时， ，所以 ，令 ，则 ，解得 或 ，当 时，函数取得极小值-1 ，当 时，解得：， ， 舍，所以 ，故选 B.考点：1.分段函数；2.导数的应用；3.函数图像.【思路点睛】本题考察了分段函数的值域，综合了导数与函数图像的问题，属于综合性较强的难题，分段

10、函数的值域是 ，那么两段函数的值域是 的子集，而且并集是，根据复合函数的单调性可知 是减函数，易得 ，根据导数分析第二段函数的单调性和极值，以及 时的 值，再结合函数的图像，可得区间需包含 2，但不能大于 ，这样可得 的取值范围是 .（广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题）9.已知偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得 成立的 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，得到函数 在 时是减函数，在函数 在 时是增函数，且，进而可求解不等式的解集，得到答案。【详解】由题意，当 时，不等式 恒成立，所以函数 在 时是减函数，

11、又由偶函数 的图象经过点 ，所以函数 在 时是增函数， ，当 时，由 ，得 ，即当 时，由 ，得 ，即 ，所以， 的取值范围是【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中合理应用函数的单调性和函数的奇偶性转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）8.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出 ，得到 ，根据函数 在 递增，求出 的范围即可.【详解】 函数 ，即即而 在 递增，故解得：本题正确选项：【点睛】本题考查了函数的单调

12、性问题，求出 和 的关系是解题的关键，是一道中档题（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）12.设函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使 对一切实数 均成立，则称为“倍约束函数” 现给出下列函数： ； ； ；是定义在实数集 上的奇函数，且对一切 ， 均有 其中是“倍约束函数”的序号是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查阅读题意的能力，根据 函数的定义对各选项进行判定 比较各个选项，发现只有选项，根据单调性可求出存在正常数 满足条件；而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数 使之满足条件，由此即可得到正确答案【详解】对于，

13、 是任意正数时都有 ， 是 函数，故正确；对于， ， ，即 ，不存在这样的 对一切实数 均成立，故错误；对于，要使 成立，即 ，当 时， 可取任意正数；当时，只须 ，因为 ，所以 故正确对于， 是定义在实数集 上的奇函数，故 是偶函数，因而由得到， 成立，存在 ，使 对一切实数均成立，符合题意，故 正确本题正确选项：【点睛】本题重点考查了函数的最值及其性质，对各项逐个加以分析变形，利用函数、不等式进行检验，方可得出正确结论.深刻理解题中 函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题（陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文

14、）试题）12.已知定义在 上的函数 ，对任意 ，有 ，且 ， 时，有，设 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可以判断出函数 在区间 上是增函数，从而得到 ，且根据条件得出 ，进而得到答案.【详解】因为对任意 ， ，所以 ，因为 ， 时，有 ，所以函数 在区间 上是增函数，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，故选 A.【点睛】该题考查的是有关比较函数值的大小的问题，涉及到的知识点有根据题意判断函数的单调性，函数单调性的应用，奇偶性的应用，属于简单题目.（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题）6.设 ，则（ ）A. B. C.

15、 D. 【答案】B【解析】【分析】可以看出 ，从而得出 a，b，c 的大小关系【详解】 ， ；bca故选：B【点睛】考查对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式（江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题）12.已知 若 有最小值，则实数 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分情况讨论 a1 和 a1 时，当 ，单调递增，此时 ;当 1a, ,单调递增，故 x1 时，f(x)的最小值为 f(a)=1,故若 有最小值，则 a1; 当 01 时, ,单调递增，此时 , 故若 有最小值，则 2a ,解得 0a ,综上实数 的取值范围是故选：C【点睛】本题考查函数的单调性应用，最值，明确分类讨论的标准，准确分析函数每一段的单调性与最值是关键，是中档题.