2019届高三上期末数学分类汇编解析（9）函数与方程

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1、（湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题）10.已知 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。【详解】 有三个零点， 有一个零点，故，有两个零点，代入 的解析式，得到 ，构造新函数，绘制这两个函数的图像，如图可知因而 介于 A,O 之间，建立不等关系 ，解得 a 的范围为 ，故选 A。【点睛】本道题考查了函数零点问题，难度加大。（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）12.已知 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D

2、. 【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。【详解】 有三个零点， 有一个零点，故，有两个零点，代入 的解析式，得到 ，构造新函数，绘制这两个函数的图像，如图可知因而 介于 A,O 之间，建立不等关系 ，解得 a 的范围为 ，故选 A。【点睛】本道题考查了函数零点问题，难度加大。（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题）16.已知函数 ，若函数 有且仅有两个零点，则实数 的取值集合为_【答案】【解析】【分析】令 ，函数 有且仅有两个零点转化成 与 有且仅有两个不同的实数解，对 与 方程的根观察即可得解。【详解】由题可得： =令 ，则

3、函数 可化为：令 ，解得： 或 ，即 或因为函数 有且仅有两个零点，所以 与 共有两个不同的实数解，可化为： ，即 的根为 或又 显然有两个不同的实数解， 要使得 与 共有两个不同的实数解，则两方程的根必须相同。即： 时，才可以使得 的两根与 的两个根相同。实数 的取值集合为： 。【点睛】本题考查了方程零点个数问题，考查了转化思想，观察能力，属于中档题。（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题）12.已知函数 ，若关于 的方程 有 4 个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】关于 的方程 有 4 个不相等的实根等价于 的图象与

4、 的图象有 4 个不同的交点，数形结合即可得到结果.【详解】关于 的方程 有 4 个不相等的实根等价于 的图象与的图象有 4 个不同的交点，作出于 与 的图象，如图所示：当 经过 A 时， 直线 AB 与 的图象相切于 A 点，此时的图象与 的图象有 3 个不同的交点，当 经过 B 时， ,此时 的图象与 的图象有 3 个不同的交点，观察图象不难发现， 的图象与 的图象有 4 个不同的交点，a故选：D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(

5、3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）12.已知函数 ，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根， 则实数 的取值范围是 A. B. ， C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】f（ x） kx 可变形为 k ，关于 x 的方程 f（ x） kx 的实数根问题转化为直线 y k 与函数 g（ x） g（ x） 的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数 g（ x）在（0， e）为增函数，在（ e，+）为减函数，又 x0 +时， g（ x）， x+时， g（ x）0 +， g（ e） ，

6、画草图即可得解【详解】设 g（ x） ，又 g（ x） ，当 0 x e 时， g（ x）0，当 x e 时， g（ x）0，则函数 g（ x）在（ 0， e）为增函数，在（ e，+）为减函数，又 x0 +时， g（ x）， x+时， g（ x）0 +， g（ e） ，即直线 y k 与函数 g（ x）的图象有两个交点时 k 的取值范围为（0， ） ，故选： A【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题）16.已知偶函数 满足：当 时， ，若 恰有三个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由函数 恰

7、有三个零点等价于 在 恰有一个零点，转化为 与函数的图象恰有一个交点，解法一：由于 ，当 的图象与直线相切时，设切点为 ，求得 ，设 ，令 ，利用导数求得函数的单调区间和最值，即可求解；解法二：由于 ，函数 的图象与直线 有一个公共点为 ，结合图象，即可求解.【详解】因为当 时， ，所以 ，又因为 为偶函数，所以 恰有三个零点等价于 在 恰有一个零点，令 ，得 ，所以 与函数 的图象恰有一个交点，因为函数 与函数 的图象关于 对称，解法一：由于 ，当 的图象与直线 相切时，设切点为 ，则且 ，所以 ， ，设 ，则 ，设 ，则 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，又因为 ，所以 ， ，由图可知，

8、 的取值范围为 .解法二：如图，由于 ，函数 的图象与直线 有一个公共点为 ，当函数 的图象与直线 切于原点时， ， ，由图可知， 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，以及导数在函数中的综合应用问题，其中解答中把由函数 恰有三个零点等价于 在 恰有一个零点，转化为 与函数的图象恰有一个交点，利用函数性质或函数的图象的求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）16.已知函数 若函数 有 3 个零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】令 ，对其求

9、导并判断它的单调性，可以得到函数 的单调性，进而画出的图象，当直线 与函数 的图象有三个交点时，满足题意，求出即可。【详解】令 ，求导 ，当 时， ，则在 上单调递增；当 时， ，则 在 上单调递减，在 时，取得最大值为 .结合单调性，可以画出函数 的图象(见下图)，当 时，函数 有 3 个零点【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解。（福建省龙岩市 2019 届高

10、三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）8.已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】根据题意令 ，解得 ， ，当 时符合题意令 无解，故只有两个零点，选（吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题）12.已知函数 ，且函数 恰有 9 个零点，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，令 解得 ，令 解得 ，所以函数 在 上单调递增，在（-1,1）上单调递减，所以 如图所示，令 ，由图可知 的零点为 ，由图可知 恰有 9 个零点等价于方程 共有 9 个实数根，等价于 解得 .点睛：已知函

11、数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解（江苏省南通市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试数学（文） ）14.已知函数 若函数 有且只有一个零点，则实数 k 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据函数零点与方程根的关系，转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可【详解】由数 有且只有一个零点，等价为数 ，即 有且

12、只有一个根，即函数 与 ，只有一个交点，作出函数 的图象如图：， ，要使函数 与 ，只有一个交点，则 ，故答案为： 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数零点个数问题转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键，注意利用数形结合（湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）12.定义 ，已知 为函数 的两个零点，若存在整数 n满足 ，则 的值（ ）A. 一定大于 B. 一定小于 C. 一定等于 D. 一定小于【答案】D【解析】【分析】由 为函数 的两个零点可得： ， .令 ，得到 .即： ，将 变形为 ，从而可得.问题得解。【详解】由题可得： .

13、又 为函数 的两个零点，所以 ， .将函数 图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数 图像往上平移时， 变大，即：当 时， 越大，又由二次函数的对称性得：当 时， 最大令 ，则： ， 就是 。又= 由已知得 ，所以 一定小于 ，所以 一定小于 .故选：D【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题。（江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷）12.已知 是定义域为 R 的奇函数，当 时， 若函数 有 2个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 转化为 = ， 有两个交点，对

14、 在 求导判断其单调性和求极值，且 为奇函数即可得答案.【详解】当 时， ，对 求导得 的根为 1，所以在 上递减，在 上递增，且 = .又因为 为奇函数，所以 在上递减，在 上递增，且 = ，如图所示 ，由 转化为= ， 有两个交点，所以 或 ,即 或 .故选：D【点睛】本题考查了函数的零点转化为两函数的交点问题，也考查了求导判断函数的单调性与极值，属于中档题.（广东省江门市 2019 届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）12.若直线 与曲线 在第一象限无交点，则正整数 的最大值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由导数研究函数的单调性可得： f（ x）在 为减

15、函数，在 为增函数，则 f（ x）min ，由导数求曲线切线方程得： g（ x）2+ lnx x,g（ x） ，易得 g（ x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数，设 g（ x）0 的两根为 x1， x2，不妨设x1 x2，则 4 x25，则 m2+ lnx2 x2（3，4） ，由图可知， k m，即正整数 k 的最大值是 3，得解【详解】因为 f（ x） x+xlnx，所以 f（ x）2+ lnx，当 时， f（ x）0，当 时， f（ x）0，则 f（ x）在 为减函数，在 为增函数，则 f（ x） min ，设直线 y m（ x1）与曲线 y x+xlnx 在第一象限切于点 P（

16、 x0， y0） ，则切线方程为： y（2+ lnx0） x x0，又此直线过点（1，0） ，解得：2+ lnx0 xo0，设 g（ x）2+ lnx xg（ x） ，易得 g（ x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数，设 g（ x）0 的两根为 x1， x2，不妨设 x1 x2，由 g（ 3） ln310, g（ 4） ln421，y=lnx 与 只有一个公共点，可得 ，求导易得出答案.【详解】当 ，显然不合题意，所以当 ，作出 y= 的图像如图；当 x1， ,，有图可知，当 x1，y=lnx 与 只有一个公共点，由 lnx 可得 只有一个解令 ； 再由得 ，当 递增， 递减且 ；所

17、以得到当 时，y=lnx 与 只有一个公共点此时 故选 A【点睛】本题主要考查了函数的图像的交点个数，利用数形结合找出交点，构造函数，解题的关键是函数图像的画法，属于中档题.（安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题）12.已知函数 ，若函数 与函数 的零点相同，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过零点相同可确定 ，得到 ，进而确定 和 的解析式；利用零点相同将问题转化成 无实根的问题，求解得到所求范围.【详解】设 为 的零点，即由 与 零点相同可知： 又 ，则 令 ，解得： ，当 时， 仅有一个零点 ，符合题意；当 时，无实根

18、 综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考察了函数零点的问题，解题的关键是利用零点相同确定解析式，通过分析将问题转化为一元二次方程无实根的问题，利用判别式来求解.（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）9.设函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】有三个零点等价于 与 的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数 图象，数形结合可得结果.【详解】设 ，则 ，在 上递减，在 上递增，且 时， ，有三个零点等价于 与 的图象有三个交点，画出 的图象，如图，由图可得， 时， 与 的图象有三个交点，此

19、时，函数 有三个零点，实数 的取值范围是 ，故选 D.【点睛】本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数； 2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）20.已知二次函数 （1）若 的解集为 ，求实数 ， 的值；（2）若 满足 （1） ，且关于 的方程 的两个实根分别在区间 和内，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】（） 是方程 的两个根 .由韦达定理，得 即 （）由题知，记则即