2019届高三上期末数学分类汇编解析(15)平面向量的运算
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1、(山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学(理科)试题)13.设向量 , ,若 ,则实数 _【答案】【解析】【分析】结合向量垂直满足数量积为 0,计算 的值,即可。【详解】 因而 ,则【点睛】本道题考查了向量垂直的坐标表示,难度较小。(湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学(理)试题)4.已知等边 内接于 , 为线段 的中点,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用平面向量的线性运算写出 用 、 的表达式即可【详解】解:如图所示,设 BC 中点为 E,则( ) 故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题,是基础题(山
2、东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学(文)试题)13.已知向量 , ,若 ,则 _【答案】【解析】,因为 ,所以, ,解得: ,所以, (湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学(文)试题)13.已知单位向量 的夹角为 ,则 _【答案】1【解析】因为单位向量 的夹角为 ,所以 , ,故答案为 .(湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题)5.已知点 是 的边 的中点,点 在边 上,且 ,则向量 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出图形,利用向量的线性运算求解即可【详解】如图:点 E 是ABC 的边 BC 的中点,点 M 在边
3、BC 上,且 ,则向量故选:B【点睛】本题考查平面向量的加法、减法与数乘运算法则的应用,考查用基底表示向量,是基础题(河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学(文)试题)7.设 为 所在平面内一点, ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【详解】 = ,故选:D【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题(广东省肇庆市 2019 届高三第二次(1 月)统一检测数学文试题)6.已知 的边 上有一点 满足 ,则 可表示为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用相加加法
4、和减法的运算,将向量 转化到 两个方向上,化简后得出正确的结论.【详解】画出图像如下图所示,故 ,故选 A.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算,考查平面向量减法运算,属于基础题.(广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学(理)试题)14.设向量 ,若单位向量 满足 ,则 _【答案】 【解析】【分析】根据 ,即它们的数量积为零列方程,化简后可求得 的值.【详解】由于 ,故 ,即 ,解得 .【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示,考查方程的思想,属于基础题.(广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学(理)试题)12.半圆的直径 , 为圆心, 是半圆上不同于 的任意一点,若 为
5、半径 上的动点,则 的最小值是( )A. 2 B. 0 C. -2 D. 4【答案】C【解析】【分析】将 转化为 ,利用向量数量积运算化简,然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示, ,等号在 ,即 为 的中点时成立. 故选 C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算,考查平面向量的数量积运算,考查利用基本不等式求最值,属于中档题.(广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题)13.已知向量 、 ,若 ,则 _;【答案】【解析】【分析】由于两个向量垂直,数量积为零,由此列方程,解方程求得 的值,进而求得 .【详解】由于 ,故 ,故 .【点睛
6、】本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示,考查平面向量模的运算,属于基础题.(广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题)14.若向量 、 不共线,且 ,则 _;【答案】3【解析】【分析】先利用 ,求出 的值,再求 的值.【详解】由于 ,故 ,即 ,即 ,解得,当 时, ,两者共线,不符合题意.故 .所以 .【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示,考查向量模的坐标表示,考查两个向量数量积的坐标表示.如果两个平面向量 相互垂直,则它们的数量积为零. 数量积运算有两种表示形式,一种是利用模和夹角来表示,即 .另一种是用坐标来表示,即.(福建省厦门市 2019 届高三第
7、一学期期末质检理科数学试题)12.在平面四边形 中, 面积是 面积的 2 倍,数列 满足 ,且,则 ( )A. 31 B. 33 C. 63 D. 65【答案】B【解析】【分析】设 和 交于点 ,根据题意,化简得 ,得到 ,再由 三点共线和平面向量的基本定理,求得 ,进而得出数列 是以 为首项,以 2 为公比的等比数列,即可求解.【详解】设 和 交于点 , 和 的高分别为 , 的面积是 面积的 2 倍, , ,即 , ,又 ,由 三点共线,设 ,由平面向量基本定理得 , ,即 ,数列 是以 为首项,以 2 为公比的等比数列, ,即 ,所以 .【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,以及平面向
8、量的基本定理的应用,以及等比数列的定义域通项公式的求解,其中解答中根据平面向量的线性运算和平面向量的基本定理,化简得到数列 是以 为首项,以 2 为公比的等比数列是解答的关键.(福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题)7.长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头 出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度 的大小为 ,水流的速度 的大小为 .设 和 的夹角为 () ,北岸的点 在 的正北方向,游船正好到达 处时, ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用向量表示速度,根据向量的平行四边形法,即可求解,得到答案.【详解】设船的实际速度为 ,船速 与河道南岸上
9、游的夹角为 ,如图所示,要使得游船正好得到 处,则 ,即 ,又由 ,所以 ,故选 D.【点睛】本题主要考查了平面向量在物理中的应用问题,其中解答中用向量表示速度,根据向量的平行四边形法及物理性质求解是解答本题的关键,着重考查了转化思想,以及数形结合思想的应用,属于基础题.(福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题)13.已知向量 , ,若 ,则 _.【答案】2【解析】【分析】根据 即可得出 进行数量积的坐标运算即可求出 m 的值【详解】因为 所以 m=2故答案为 2【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算,属于基础题.(福建省泉州市 2019 届高三 1 月
10、单科质检数学理试题)13.已知向量 , ,则 与 的夹角等于_.【答案】【解析】【分析】本道题代入向量的坐标,计算向量 ,结合向量数量积 ,计算夹角,即可。【详解】设 ,则 ,所以 , .利用 ,得 ,则【点睛】本道题考查了向量坐标运算和向量数量积公式,难度较易。(福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学(文科)试题)13.已知向量 满足 , , ,记向量 的夹角为 ,则 _【答案】【解析】【分析】由 代入数值计算可得 ,再由 可得答案。【详解】由题意, ,解得 ,则 .【点睛】本题考查了向量的数量积,向量的模,及两向量夹角的求法,属于基础题。(福建省龙岩市 2019 届高三
11、第一学期期末教学质量检查数学(理科)试题)3.已知 , , ,若 与 垂直,则 ( )A. -1 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】由向量坐标表示出 ,由已知条件向量垂直则点乘得零计算出结果【详解】由已知可得与 垂直,则,故选 D【点睛】本题考查了向量的垂直,运用向量点坐标即可计算出参量的值,较为简单。(安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测(一模)数学(理)试题)12.如图,在 中, , , 为 上一点,且满足 ,若的面积为 ,则 的最小值为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设 , ,由三角形 的面积为 ,可得 ,由 , , 三点共线可知,以
12、 所在直线为 轴,以 点为坐标原点,过 点作 的垂线为 轴,建立如图所示的坐标系,可以表示出 的坐标,从而得到 的表达式,进而求出最小值。【详解】设 , ,则三角形 的面积为 ,解得 ,由 ,且 C, P, D 三点共线,可知 ,即 ,故 .以 所在直线为 轴,以 点为坐标原点,过 点作 的垂线为 轴,建立如图所示的坐标系,则 , , , ,则 , , ,则(当且仅当 即 时取“=” ).故 的最小值为 .【点睛】三点共线的一个向量性质:已知 O、A、B、C 是平面内的四点,则 A、B、C 三点共线的充要条件是存在一对实数 、 ,使 ,且 .(辽宁省丹东市 2018 年高三模拟(二)理科数学试
13、题)12.设 是 所在平面上的一点,若 ,则 的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:利用向量的加法运算,设 的中点为 D,可得 ,利用数量积的运算性质可将原式化简为 , 为 AD 中点,从而得解.详解:由 ,可得 .设 的中点为 D,即 .点 P 是 ABC 所在平面上的任意一点, 为 AD 中点.当且仅当 ,即点 与点 重合时, 有最小值 .故选:C.点睛:(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解
14、决(湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考(五)数学(文)试题)13.设向量 ,且 ,则向量 的模为_【答案】【解析】【分析】由两个向量垂直可得 x 值,即得到 ,由向量的模的公式计算即可得到答案.【详解】向量 ,由 得 =0 即解得 x=-3,则| ,故答案为:【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式和向量的模公式的应用,属于基础题.(湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考(四)数学(理)试题)3.若向量 与 满足 ,且 , ,则向量 在 方向上的投影为()A. B. C. -1 D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得 ,再由向量 在 方向上的投影的计算公式
15、,即可求解,得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有: , ,则向量 在 方向上的投影为 ,故选 B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用,以及向量的投影的计算问题,其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式,合理准确计算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.(吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学(文)试题)3.若向量 , ,则| |=( )A. B. 5 C. 20 D. 25【答案】B【解析】,故选 B.(山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学(文)试题)14.已知 O 为坐标原点,向量 _【答案】【解析】【分析】设出 P
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