2019届高三上期末数学分类汇编解析（12）三角函数的化简与求值

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1、（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）8.第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 ，大正方形的面积为 ，直角三角形中较小的锐角为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为 a，面积为 6 ，列方程组求出直角边得出 sin，代入所求即可得出答案【详解】由题意可知小正方形的边长为 a，大正方形边长为 5a，直角三角形的面积为6 ，设直角三角形的直角边分别为 x， y 且 x y，则由对称性可得 y x+a，直角三

2、角形的面积为 S xy6 ，联立方程组可得 x3a， y4a，sin ，tan = = = ，故选： D【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出 ,结合 ,即可.【详解】 ,得到 ,所以,故选 C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知 ,则 _【答案】【解析】原式化为 ， ，所以 ， ，填 。（江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学

3、（理）试题）15.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出【详解】解： ，故答案为： 【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题（湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系 中，角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点，则 _.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出 ，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。【详解】 ，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）14.在平面直角坐标系 中，角

4、 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点，则 _【答案】【解析】【分析】由三角函数定义可得 和 ，然后利用正弦的二倍角公式计算即可得到答案.【详解】由三角函数定义可得 ， ，所以 .故答案为：【点睛】本题考查三角函数定义和二倍角公式的应用，考查学生计算能力，属于简单题.（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）3.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 展开即可求出结果.【详解】 .【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，由已知角表示所求角，即可求出结果，属于基础题型.（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题）

5、4.已知直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用直线的方程求得 tan 的值，再对 变形即可。【详解】由 得： ，tan=3，又 =故选：D。【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，还考查了三角恒等变形公式，属于基础题（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题）4.已知直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意求得 tan 的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得 的值【详解】直线 的倾斜角为 ， ， ，故选：A【点睛】本题考查三角函数的化简与求值，考查同角基本关系式，

6、考查计算能力，属于基础题.（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）3.若 ，则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得 sin 的值，再利用二倍角的余弦公式求得 cos2 的值【详解】cos （ ） sin，则 cos212sin 212 ，故选： B【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）14.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】利用两角和的正切公式展开已知条件，解方程求得 的值.【详解】依题意 ，解得 .【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，

7、考查特殊角的三角函数值，考查方程的思想，属于基础题.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）7.已知 ，且 ，则 =( )A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求得 的范围，用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式化简已知条件，由此求得的值.【详解】由于 ，所以 ，故 .所以，即 ，即 ，故.【点睛】本小题主要考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式，属于基础题.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）16.已知 ，则 _.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式，化简 ，由此求得函数的最小正周

8、期，根据及函数的周期性，求得表达式 的值.【详解】依题意可得 ,其最小正周期 ,且 故【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查两角和的正弦公式以及余弦公式，考查三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值.两角和与差的正弦、余弦公式是有差别的，要记忆准确，不能记混.在求有关年份的题目时，往往是根据题目所给已知条件，找到周期，再根据周期性来求解.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）10.已知在区间 上，函数 与函数 的图象交于点 P，设点 P 在 x 轴上的射影为 ， 的横坐标为 ，则 的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用两个函

9、数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得 的值，再利用正切的二倍角公式求得 的值.【详解】依题意得 ，即 .= .故选 B.【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题.（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题）5.已知锐角 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式，求得 的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角 满足 ，所以 也是锐角，由三角函数的基本关系式可得 ，则 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三

10、角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题）5.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有一点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义，确定角 的值，再利用特殊角的三角函数，即可求解.【详解】由题意，角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上一点，根据三角函数的定义可知 ，且 ，则 ，所以 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义和诱导公式，求得 是解答

11、本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题）15.若 ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】由 求得 利用二倍角公式即可求解.【详解】由 2 = .故答案为 .【点睛】本题考查了三角恒等变换，配凑角的应用，属于中档题.（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）3.已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合.若 的终边经过点 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题分别计算 ,结合 ,即可.【详解】 ,所以 ,故选 C.【点睛】本道题考查了正弦二倍角公式计算,难度中等.（安徽省黄山市

12、 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）13.已知 ，则 _.【答案】【解析】【分析】由 ，可以求出 的值，由 ，可以得到答案。【详解】由题意知 ，则 ，解得 ，则 .【点睛】本题考查了三角函数的化简，及二倍角的正切公式，属于基础题。（辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题）9.设 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由两角正弦相等得 或 ，结合角的范围得 ，从而得，即可得解.详解：因为 ，所以由 ，可得 或 .因为 ，所以 ，即 .所以 .故选 B.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解

13、题中的整体作用（河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题）8.已知 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选 B（吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题）5.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】点睛：本题考查的是三角函数中的求值问题.在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的解决方法为配凑角：即将要求的式子通过配凑，把要求的角用已知角表示，得到与已知角的关系，进而利用诱导公式，二倍角公式展开求值即可.（江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷）3.已知

14、 ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由两角差的正切公式化简求值即可.【详解】已知 ，所以 =-3故选：C【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，属于基础题.（陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）14.已知曲线 在点（1，f（1） ）处的切线的倾斜角为 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出 ，然后将所给齐次式转化为只含有 的形式后求解即可【详解】由 得 ， ，故 故答案为： 【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有 的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于 的形式后再求解，这是解答

15、此类问题时的常用方法，属于基础题（广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题）10.已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角和与差余弦公式化简条件可得 ，再结合同角基本关系式即可得到结果.【详解】所以， ， ，从而 ，故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.（山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一

16、次模拟考试数学（文）试题）10.若 ，且 是钝角，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将 凑成 然后利用两角和的余弦公式计算即可.【详解】因为 是钝角，且 ，所以 ，故 ，故选:D【点睛】本题考查同角三角函数关系式和余弦的两角和公式的应用，解决本题的关键是将凑成 的形式.（山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）4.已知 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： ， ，,故选 C.考点：1、两角差的正切公式；2、特殊角的三角函数.（晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学( 理)试题）6.若 ，且 是

17、第三象限角，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式首先求得 ，然后结合同角三角函数基本关系求得 ，最后由诱导公式求解 的值即可.【详解】 是第三象限角，所以 ，【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）8.已知函数 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换可得 f（ x）2sin（ x ） ，依题意知 2sin（ ）2sin（ ）4，利用 sin（ ）1，且 s

18、in（ ）1 或 sin（ ）1 且sin（ ）1 ，于是可求| + |的最小值【详解】 f（ x）sin x cosx2（ sinx cosx）2sin（ x ） ，又 f（ ） f（ ）4，即 2sin（ ）2sin（ ）4，2sin（ ）sin（ ）2，sin（ ）sin（ ）1，sin（ ）1，且 sin（ ）1 或 sin（ ）1 且 sin（ ）1 ， ，或 ， ， kZ + （ kZ） ，显然，当 0 时，| + |的最小值为 ，故选： C【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题（河南省部分省示范性高中 2018-201

19、9 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题）3. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角余弦公式即可得到结果.【详解】 .故选：C【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.（河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）5. =A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式化简 ，即可求解.【详解】由题意，可知，故选 D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，合理作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.（河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试

20、题）10.若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据题意，对原式进行整理得 ，然后求得 ，再利用三角之间的同角关系，求得结果.【详解】 ，所以 因为 ，化简可得：所以 ，可得 两边平方可得： 所以分子分母同除以 可得： 解得 或 （舍）即【点睛】本题主要考查了三角恒等变化和同角之间的关系，易错点在于角 的范围的求解，属于较易题中的易错题.（安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题）11. 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 的面积为 ，则 （ ）A. B. C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换

21、和三角形面积求解出 的值；再根据 的范围解出 .【详解】或又本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等变换和解三角形的知识，易错点是求解 的取值时，忽略了这一条件，造成求解错误.（陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）3.已知 ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用诱导公式对式子进行化简，求得结果.【详解】因为 ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，属于简单题目.（广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）3.已知三角形内角 A 满足 ，则 的值为（ ）A.

22、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边平方，判断出 cosA 小于 0，sinA 大于 0，且 sinA 的绝对值大于 cosA 的绝对值，利用完全平方公式求出 sinAcosA 的值，与已知等式联立求出 sinA 与 cosA 的值，即可确定出 的值.【详解】A 为三角形内角，且 sinA+cosA= ，将 sinA+cosA= 两边平方得：2sinAcosA= ，A 为钝角，即 sinA0，cosA0，且|sinA| |cosA| ，12sinAcosA= ，即（sinAcosA） 2= ，sinAcosA 0，sinAcosA= ，联立得： ，解得：sinA= ，co

23、sA= ，则 sin2A=故选：D【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二（四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学）10.在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可以根据三角恒等变换将 转化为 ，然后利用将 转化为 ，最后根据基本不等式的相关性质即可得出结果。【详解】因为 ，所以 ，即 ,因为 ，所以 的最小值为 ，故选 D。【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查

24、了三角恒等变换以及基本不等式的使用，考查了推理能力，体现了基础性与综合性，提高了学生对于三角函数公式的使用熟练度，是中档题。（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）14.若 ，则 _【答案】【解析】【分析】由 ，而 ，代入计算即可得到答案。【详解】 ，则 .【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，及三角函数诱导公式的运用，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）15.若 ，则 _【答案】【解析】【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得 ，计算求得结果.【详解】 ，则，故答案为 .【点睛】三角函数求值有三类

25、，(1)“给角求值” ；(2)“ 给值求值 ”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系；(3)“ 给值求角 ”：实质是转化为 “给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题）17.已知函数（1）求函数 的最小正周期和最小值；（2）设ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，若 a2，c ， ，求ABC 的面积【答案】 （1）最小正周期为 ，最小值为 （2）【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式和二倍角公式，辅助角公式将函数进行化简，然后利用正弦函数的周期公式和性质即得答案；（2） 得角 C，利用余弦定理得 b，由面积公式计算即可.【详解】 （1） ，函数 的最小正周期为 ，最小值为 .（2）由余弦定理 可得： ，的面积为 。【点睛】本题考查两角和差公式，二倍角公式,辅助角公式的应用，考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于常考题型.