2019届高三上期末数学分类汇编解析（6）函数的奇偶性与周期性

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1、（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）5.已知定义在 的奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）A. B. 1 C. 0 D. -1【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得 f（ x+4） f（ x+2） f（ x） ，即函数是周期为 4 的周期函数，可得 f（2019） f（1+2020） f（1） ，结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案【详解】根据题意，函数 f（ x）满足 f（ x+2） f（ x） ，则有 f（ x+4） f（ x+2） f（ x） ，即函数是周期为 4 的周期函数，则 f（2019） f（1+2020） f（1） ，又由函数为奇函数，则 f（1）

2、 f（1）（1） 21；则 f（2019）1；故选： D【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）2.已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题结合奇函数满足 ,计算结果,即可.【详解】 ,故选 C.【点睛】本道题考查了奇函数的性质,难度较小.（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）14.若函数 是奇函数，则实数 的值为_【答案】2【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质求解实数 a 的值即可.【详解】设 ，则 ，由函数的解析式可

3、得： ，由奇函数的定义可知： ，则： ，故 ，结合题意可得： .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，分段函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）9.已知偶函数 满足 ，现给出下列命题：函数 是以 2 为周期的周期函数；函数 是以 4 为周期的周期函数；函数 为奇函数；函数 为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将 x 换为 x+2，可得 f（x+4）f（ x） ，可得周期为 4，即可判断的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将 x 换为x，化

4、简变形即可判断的正确性【详解】解：偶函数 f（x）满足 f（x）+f（2x）0，即有 f（x）f（x） f（2x），即为 f（x+2）f（x ），f（x+4）f（x +2）f （x），可得 f（x）的最小正周期为 4，故 错误；正确；由 f（x+2）f（x） ，可得 f（x+1）f （x1），又 f（x1）f （x+1） ，即有 f（x1） f（x1） ，故 f（x1）为奇函数，故正确；由 f（x3）f （x+3） ，若 f（x3）为偶函数，即有 f（x3）f （x3），可得 f（x+3）f（x 3） ，即 f（x+6）f （x） ，可得 6 为 f（x）的周期，这与 4 为最小正周期矛盾，故

5、错误故选：B【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题（广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）4.已知函数 是 ( )上的偶函数，且 在 上单调递减，则 的解析式不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题函数 是 ( )上的偶函数，可得 解得 即有是 上的偶函数，且 在 上单调递减，对于 A， ，为偶函数，且在 递减；对于 B， ，可得 为偶函数，且在 递增，不符题意；对于 C， ，为偶函数，且在 递减；对于 D， 为偶函数，且在 递减故选 B（四川省绵阳市 2019 届高三第二

6、次（1 月）诊断性考试数学理试题）15.若 f（x) ，则满足不等式 f(3x 一 1)十 f(2)0 的 x 的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】先判断奇偶性，再直接利用函数的单调性及奇函数可得 3x 一 1-2，由此求得 x 的取值范围【详解】根据 f（ x） ex e x在 R 上单调递增，且 f（ -x） e x ex =- f（ x） ，得f（ x）为奇函数， f(3x 一 1)-f(2)=f(-2)， 3x 一 1-2，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题（江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）13.已知 f(x)

7、是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4) f (x2) 若当 x3,0时，f(x )6 x ，则 f(919)_.【答案】6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简 ，再代入求值.【详解】由 f(x+4)=f(x-2)可知, 是周期函数,且 ,所以 .【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称

8、知函数为奇函数，选项 B，函数定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项 C，因为 f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故排除；选项 A，函数为奇函数且 f(x)=cosx-1 可知函数在定义域上单调递减，故排除；选项 D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法，属于基础题.（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）15.设函数 是定义在 上的周期为 2 的偶函数， 当 ， 时， ，则_【答案】【解析】【分析】依题意能得到 f（ ） f（ ） ，代入解析式即可求解.【详解】依题意得 f（ x

9、） f（ x）且 f（ x+2） f（ x） ，f（ ） f（ ） f（ 2） f（ ） 2 ，故答案为： 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性的应用，属于基础题（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）3.下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用函数为奇函数对选项进行排除，然后利用定义域上为增函数对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】四个选项中，不符合奇函数的是 ，排除 D 选项.A,B,C 三个选项中，C 选项在定义域上有增有减，A 选项定义域为 ，单调区间是 和 不能写成并集，所以 A

10、 选项错误.对于 B 选项， 是奇函数，并且在定义域上为增函数，符合题意.综上所述，本题选 B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，属于基础题.（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题）11.定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 f（x）是奇函数，以及 f（x+2）=f（-x）即可得出 f（x+4）=f（x） ，即得出 f（x）的周期为 4，从而可得出 f（2018）=f（0） ， ， 然后可根据f（x）在0，1上的解析式可判断 f（x）在0，1上单调递增，从而可得出结果.【

11、详解】f（x）是奇函数；f（x+2）=f（-x）=-f（x） ；f（x+4）=-f（x+2）=f（x） ；f（x）的周期为 4；f（2018）=f（2+4504）=f（2）=f（0） ， ,x0，1时，f（x）=2 x-cosx 单调递增； f(0) ,故选 C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）9.设函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，若 ， ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 ，可以得到 ，即函数 的周期为

12、4，由 是奇函数， 可知 ，解不等式 即可得到答案。【详解】由 ，可得 ，则 ，故函数的周期为 4，则 ，又因为 是定义在 上的奇函数， ，所以 ,所以 ，解得 ，故答案为 A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的周期性，及一元二次不等式的解法，属于中档题。（河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题）15.已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，当 时， ，则_【答案】【解析】分析：由 可知，函数 的周期为 2，利用周期性与奇偶性把所给的两个自变量转化到区间 上，代入求值即可.详解：由 可知，函数 的周期为 2，又 为偶函数故答案为：点睛：本题重点考查了奇偶性与周期性的应用，考

13、查了转化的思想方法，属于中档题.（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题）14.已知函数 为奇函数，则 _【答案】0【解析】【分析】函数为奇函数，由 f(-1)=-f(1)，计算即可得到答案.【详解】函数 为奇函数且定义域为 ,可得 f(-1)=-f(1),又 f(-1)=0,故 f(1)=0,故答案为：0【点睛】本题考查函数奇偶性定义的应用，属于简单题.（山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题）7.若函数 为奇函数，则 ( )A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】运用奇函数的定义，可得 g（3） f（3） ，再计

14、算 f（g（3） ）即可【详解】函数 为奇函数，f（g（3） f（log332）f（1）log 3120 22故选：B【点睛】本题考查分段函数的运用：求函数值，同时考查函数的奇偶性，以及运算能力，属于基础题（山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题）12.函数 在 R 上为偶函数且在 单调递减，若 时，不等式恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法，结合函数的最值，利用导数求得相应的最大值和最小值，从而求得 m 的范围【详解】函数 f（x）为偶函数，若不等式

15、 f（2mxlnx3）2f（3）f（2mx+lnx+3）对 x1，3恒成立，等价为 f（2mxlnx3）2f（3）f（2mxlnx3）即 2f（2mxlnx3）2f（3）对 x1，3恒成立即 f（2mxlnx3）f（3）对 x1，3恒成立f（x）在0 ，+）单调递减，32mxlnx33 对 x1，3恒成立，即 02mxlnx6 对 x1，3恒成立，即 2m 且 2m 对 x1，3恒成立令 g（x） ，则 g（x） ，在1，e 上递增，在e， 3上递减，则 g（x）的最大值为g（e） ，h（x） ，则 h（x） 0，则函数 h（x）在1 ，3上递减，则 h（x）的最小值为h（3） ，则 ，得 ，

16、即 m ，故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，函数的导数的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键（江苏省南通市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试数学（文） ）3.已知 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，则 等于 A. B. 8 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件即可得出 ，从而选 A【详解】 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ；故选：A【点睛】本题考查奇函数的应用，熟记奇函数定义是关键，是基础题（江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题）3.已知定义在 上的奇函数 满足：当 时

17、， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据 为定义在 上的奇函数，先求出 ，进而可求出 .【详解】因为 为定义在 上的奇函数，当 时， ，所以；所以 .故选 D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，根据函数的奇偶性求函数的值，熟记奇函数的定义即可求解，属于基础题型.（广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）6.若函数 、 分别是定义在 R 上的偶函数、奇函数，且满足 ，则 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求解出 与 的解析式，再利用函数单调性和作差法，比较出大小关系。【详解】 为偶函数 为奇函数 由已知可得： 即 又

18、， ，由函数单调性可知， 在 上单调递增 又 综上所述：本题正确选项：【点睛】本题解题关键在于利用奇偶性和构造方程组的方式，求得函数的解析式，再利用解析式来求解问题。在比较大小时，主要采用作差法、作商法、单调性法、临界值法来求解。（安徽省淮南市 2019 届高三第一次模拟考试数学（文）试题）9.已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的周期性结合奇偶性推导出 ，利用 时， 能求出结果【详解】 奇函数 满足 ，因为 ，所以所以又因为当 时， ，所以,故选 A【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，

19、属于中档题解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解.（陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）5.下列函数中，是偶函数且在（0，）上为增函数的是（ ）A. ycosx B. yx 21 C. ylog 2|x| D. ye xe x【答案】C【解析】试题分析：选项 A 非单调函数，选项 B 是减函数，选项 D 是奇函数，故选 C.考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性.（陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）12.已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 ，f（2）3，数

20、列a n是等差数列，若 a23，a 713，则 f（a 1）f（a 2）f（a 3）f（a 2018）（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 3【答案】B【解析】分析：利用函数的奇偶性和对称性推出周期，求出前三项的值，利用周期化简式子即可。详解：定义在 R 上的奇函数 满足 ，故周期 ,数列 是等差数列，若 ， ,故 ，所以： ，点睛：函数的周期性，对称性，奇偶性知二推一，已知 奇函数，关于轴 对称，则 ，令 代入 2 式，得出 ，由奇偶性 ，故周期 .（广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题）4.已知函数 ，则A. 是奇函数，且在 R 上是增函数 B. 是偶函数，且在 R 上是

21、增函数C. 是奇函数，且在 R 上是减函数 D. 是偶函数，且在 R 上是减函数【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性定义以及指数函数单调性进行判断选择.【详解】因为定义域为 ，且 ，所以 是奇函数，因为 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，综上选 C.【点睛】本题考查函数奇偶性定义以及指数函数单调性，考查基本分析判断能力.属基本题.（河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）8.已知函数 ，且满足 ，则 的取值范围为（ ）A. 或 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式易知函数为偶函数，且函数在区间 上单调递减，据此脱去

22、 f 符号求解不等式的解集即可.【详解】由函数的解析式易知函数为偶函数，且当 时， ，故函数在区间 上单调递减，结合函数为偶函数可知不等式 即 ，结合偶函数的单调性可得不等式 ，求解绝对值不等式可得 的取值范围为 .本题选择 B 选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组) 的问题，若 f(x)为偶函数，则 f(x) f (x)f(| x|)（山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）12.已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则（ ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

23、【答案】A【解析】设 ，则 ， ，记，则函数 是奇函数，由已知的最大值为 ，最小值为 ，所以 ，即 ，故选A【点睛】利用函数的奇偶性的图象特点来解决某些问题的常用方法，反映到图象上大致是：若函数 在区间 上的最大值为 ，在图象上表现为点 是函数图象在区间 上的最高点，由图象的对称性可得点 是函数图象在区间上的最低点.（河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 时，f(x)= ， ，则实数 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由奇函数得 ，代入 f(x)= 即可求解 m.【详解】函数 f(x)

24、是定义在 R 上的奇函数, ,则故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题.（河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题）15.已知函数 是奇函数， ，则_【答案】【解析】【分析】由 是奇函数可得 ，确定 a 值，进而根据分段函数可得结果.【详解】因为函数 是奇函数，所以 ，解得 .所以 ， .故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力.（河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）10.设函数 ，则A. 是奇函数，且在 上是增函数B. 是偶函数，且在 上有极小值C. 是奇函数，且在 上是减函数D.

25、是偶函数，且在 上有极大值【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性的定义，可得函数 为奇函数，再由导数，得到 ，判定函数在 上的增函数，即可得到答案.【详解】由题意，函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，又由 ，当 时， ，所以 且 ，即 ，所以函数 在 为单调递增函数，又由函数 为奇函数，所以函数 为 上的增函数，故选 A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中熟记函数奇偶性的定义，以及利用导数判定函数的单调性的方法，以及指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.（安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题）8.已

26、知函数 ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判断出 的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为 ，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于 的不等式，求得最终结果.【详解】 为奇函数当 时， ，可知 在 上单调递增在 上也单调递增，即 为 上的增函数，解得： 或本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）16.定义：若函数 的定义域为 ，且存在非零常数 ，对任意 ，恒成立，则称 为线周期函数， 为 的线周期 若为线周期函数，则 的值为_.【答案】1【解析】【分析】根据线周期函数定义，建立方程 ，然后利用对比法进行求解即可【详解】若 为线周期函数则满足对任意 ， 恒成立即 ，即则 本题正确结果：【点睛】本题主要考查函数周期的应用，新定义问题.结合新定义线周期函数，建立方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力