2019届高三上期末数学分类汇编解析（11）导数的应用

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1、（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）16.已知函数 ，过点 作与 轴平行的直线交函数 的图像于点 ，过点 作图像的切线交 轴于点 ，则 面积的最小值为_【答案】【解析】【分析】求出 f（ x）的导数，令 x a，求得 P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令 y0，可得 B的坐标，再由三角形的面积公式可得 ABP面积 S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值【详解】函数 f（ x） 的导数为 f（ x） ，由题意可令 x a，解得 y ，可得 P（ a， ） ，即有切线的斜率为 k ，切线的方程为 y （ x ） ，令 y0，可得 x a1，即 B（

2、 a1，0） ，在直角三角形 PAB中，| AB|1，| AP| ，则 ABP面积为 S（ a） |AB|AP| ， a0，导数 S（ a） ，当 a1 时， S0， S（ a）递增；当 0 a1 时， S0， S（ a）递减即有 a1 处 S取得极小值，且为最小值 e故答案为： e【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）12.若函数 存在三个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过求导，将 3 个极值点

3、转化成方程 3 个根，计算结果，结合图像，即可。【详解】 =0 有三个根，则 有三个根，,因为 有三个根,表示 存在极值,极大值大于 0,极小值小于 0,所以有两个根,构造新函数 ,该两个函数有两个交点,绘图可知这两个函数要使得有两个交点,则 介于切线与 x 轴之间，接下来计算切线斜率，得到，解得 ，代入得到 ，得到 ，因而 a 的范围为 ，故选 A。【点睛】本道题考查了数形结合思想，难度较大。（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）12.定义在 上的函数 满足 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【

4、答案】D【解析】【分析】构造函数 ，利用已知条件求得 ，即函数 为增函数，而 ，由此求得 ，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数 ，依题意可知 ，即函数在上单调递增.所求不等式可化为 ，而 ，所以 ，解得 ，故不等式的解集为 .【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件 的应用.通过观察分析所求不等式，转化为 ，可发现对于 ，它的导数恰好可以应用上已知条件 .从而可以得到解题的思路.（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）16.直线 y=b 分别与直线 y=2x+1 和曲线 相交

5、于点 A、 B,则 的最小值为_。【答案】【解析】两个交点分别为 ，设函数 的根为 ，所以 在区间 单调递减，在区间 上单调递增，所以。填【点睛】由于是水平距离，所以只需 = 转化为关于 b 的函数，用导数求最值。（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）21.已知函数(1)讨论 f(x)的单调性(2)设 .若对任意的 xR,恒有 f(x)g(x)求 a 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）定义域为 R,对函数求导，导函数可因行分解，对导函数的零点个数进行讨论。 （2）原不等式可变形为，不等式 成立.分 x=1,x1,x1 分离参数讨论。试

6、题解析：（1） . （i）当 时， ，当 时， ；当 时， ；所以 在 单调递减，在 单调递增. （ii）当 时，由 得 或时， ，所以 在 上单调递增.当 时, .当 时， ；当 时， ；所以 在 单调递增，在 单调递减. 当 时, .当 时， ；当 时， ；所以 在 单调递增，在 单调递减. （2）由题意，对任意的 ，恒有 ，即不等式 成立.当 时，显然成立. 当 时，不等式化为 令 ，有 .当 时， , 单调递减；当 时， , 单调递增，所以当 时， 取极小值 .于是 . 当 时，不等式转化为 令 ，有 .当 时， , 单调递增；当 时， , 单调递减，所以当 时， 取极大值. 此时 .

7、 综上， 的取值范围是 .【点睛】已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）21.已知函数 .（1）试讨论函数 的导函数 的零点个数；（2）若对任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先对原函数求导，得到 ，再分类讨论即可得到单调性与极值，从而判断出导函数 的零点个数；（2）设 研究函数的单调性与最值即可.【详解】 （1）解法一：由题得 当 时， 是减函数且，此时 有且只有一个零点当 时， ，此时 没有零点当

8、时+ 0 - 极大值 （）若 则 此时，函数 没有零点（）若 则此时，函数 有且只有 一个零点（）若 则且 ，下面证明存在 使取 下面证明 ，证明：设 则 ， 在 上恒负 在 上是减函数在 上，恒有 在 上是减函数 ，得证或取 下面证明 ，证明：设 则 在 上是减函数 ，得证此时，函数 有且只有两个零点综上，函数 的零点个数解法二 由题得 当 时， ，此时没有零点当 时导函数 的零点个数等于函数 与函数 图象的交点个数设 则当 时， ；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减又当 时， ，当 时， （即 ， ）图象如图当 即 时，有 1 个交点；当 即 时，有 2 个交点；当 即时，有 1 个

9、交点；当 即 时，没有交点.综上，函数 的零点个数（2）设 题设成立的一个必要条件是 即当 时， 在 上单调递减又 在 处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同） ，从而 在 上单调递减 ，实数 的取值范围为【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值的思路；关于不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）21.已知函数 ，曲线 在原点处的切线斜率为-2.（）求实数 ， 的值；（）若 ，求证：当 时， .【答案】 （） ， ；（）详见解析【解析】【分析】解法一：（1）计算导数，结合原点坐标，建立方程，即可。 （2

10、 ）构造函数 ，针对 a 取不同范围，进行讨论，判定 与 0 的关系，即可。解法二：（1 ）解法一相同（2）构造函数 ，结合该函数导数，判断 单调性，计算范围，即可。【详解】解法一：（）依题意得 ，又 的图象在原点处的切线斜率为-2， ，即 ， .（）当 时，设 ，且 .当 时， ， ， 在定义域上单调递减，当 时， ， 恒成立，即 .当 ， 时， ， .又 ， 恒成立，即 . ， 时， .综上所述，若 ，当 时， .解法二：（）同解法一（）令当 时， . . .令 ， 在 单调递减.得 ，当 时， .【点睛】本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意

11、识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）21.已知函数 .（）当 ，讨论函数 的单调性；（）若函数 的最大值为 0，求 的值.【答案】 （）详见解析；（）-1【解析】【分析】（I）计算 的导函数，对 a 的范围进行讨论，计算单调区间，即可。 （II）针对不同范围a 进行 单调区间讨论，计算最值，建立等式，计算 a， 即可。【详解】解：（） ，当 时， 恒成立，函数 在 上单调递减；当 时，令 得： ，若 ，则由 得， ，由 得， 或 ，函数 单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ；若 ，则 恒成

12、立，函数 在 上单调递减.综上：当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 和；当 或 时，函数 单调递减区间为 ，无递增区间.（）由 ）可知，当 或 时，函数 单调递减区间为 ，故不存在最大值；当 时，当 时， ，最大值不为 0.由 在 上单调递增，在 上单调递减， ，解得 .当 时， 时， ，此时 ，即 时的最大值不为 0.综上， .【点睛】本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）21.已知

13、 ， .（1）若 ，判断函数 在 的单调性； （2）证明： ， ；（3）设 ，对 ， ，有 恒成立，求 的最小值. 【答案】 （1） 在 单调递增（2）见解析（3）2【解析】【分析】(1)计算 导函数,结合导函数与原函数单调性关系,即可 .(2)利用 ,得到,采用裂项相消法,求和,即可.(3)计算 导函数,构造新函数 ,判断 最小值,构造函数 ,计算范围,得到 k 的最小值，即可。【详解】解：（1） .又 ，因此 ，而 ，所以 ，故 在 单调递增.（2）由（1）可知 时， ， 即 ，设 ，则因此 即 .即结论成立.（3）由题意知，设 ，则 ，由于 ，故 ，时， 单调递增，又 ， ，因此 在 存

14、在唯一零点 ，使 ，即 ，且当 ， ， ， 单调递减；， ， ， 单调递增；故 ，故，设 ，又设故 在 上单调递增，因此 ，即 ， 在 单调递增，又 ，所以 ，故所求 的最小值为 .【点睛】本道题考查了导数与原函数单调性关系，以及裂项相消法，利用导函数研究最值，难度较大。（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）21.已知函数 ， ， .（1）已知 为函数 的公共点，且函数 在点 处的切线相同，求 的值；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由函数 f（ x） ， g（ x）在点 T 处的切线相同，得到 ，且，从而

15、求出 a 的值即可；（2）令 ，将 a 与 0、e 分别比较进行分类，讨论的单调性及最值情况，从而找到符合条件的 a 的值.【详解】 （1）由题意 ， ，点 为函数 的公共点，且函数 在点 处的切线相同，故 且 ，由（2）得： ， ， ，从而 ，代入（1）得： ， ， .（2）令，当 时， ， 在 单调递增， ，满足题意；当 时， ， ， ， ， 在 单调递增，需 解得： ，当 时， ，使当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；， ，不恒成立，综上，实数 的取值范围是 .【点睛】本题考查了导数的几何意义及函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题（四

16、川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题）12.函数 在（一，十）上单调递增，则实数 a 的范围是（ ）A. 1 B. (1，1) C. (0. 1) D. 1，1【答案】A【解析】【分析】根据 f（x ） ，结合结论 ，即 进行放缩求解，求得实数 a 的取值范围【详解】f（x）= 恒成立，即 恒成立，由课本习题知： ，即 ，只需要 x ，即(a-1)(x-1) 恒成立，所以 a1故选 A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）13.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _【答

17、案】1【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1 即可得 a 值.【详解】 ，所以切线的斜率 ，又切线与直线 垂直得 ，解得 .故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）12.若函数 存在唯一的极值，且此极值不小于 1，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对函数求导得到 因为函数存在唯一极值，导函数存在唯一的零点，且零点大于 0，故得到 x=1 是唯一的极值，此时 故答案为：B.（湖南省湘潭市 2019 届高三

18、上学期第一次模拟检测数学（理）试题）12.若函数 恰有三个极值点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先对函数 求导，得 ，当 时，由 ，可得 ，从而极值点问题转化为了 与 y=-2m 的交点问题,结合图像即可得出 m 范围；当，由 ，可得 0,可得 m 的范围.【详解】由题可知 ，当 时，令 ，可化为 ，令 ，则 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，的图象如图所示，所以当 ，即 时， 有两个不同的解；当，令 ， ，解得 ，综上， .【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的极值点问题，分别研究分段函数在不同范围的单调性，结合图像即可得出结果.（河南省驻

19、马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）10.函数 在点 处的切线方程是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线方程【详解】函数 y ex+x+1 的导数为 y ex+1，可得在点（0，2）处的切线的斜率为 k2，即有切线方程为 y2 x+2故选： B【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题（河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）6.已知 为实数， ，若 ，则函数 的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导，由

20、 求出 a,然后解不等式 即可得到答案.【详解】 ，则又 则 ，解得 a=-2,解 得 ,则函数 的单调递增区间为故选：B.【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减，是基础题（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）11.已知 是 的极小值点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数 求导并因式分解，根据导函数零点分布情况，求得实数 的取值范围.【详解】依题意 ，它的两个零点为 ，要 是函数的极小值点，则必须 ，此时函数在 上递减，在

21、上递增，在 处取得极小值.故本题选 D.【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查利用导数研究函数的极小值，考查运算求解能力，属于中档题.（广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）16.对于三次函数 有如下定义：设 是函数的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点” 。若点 是函数 的“拐点” ，也是函数 图像上的点，则函数 的最大值是_【答案】 【解析】【分析】对函数 求两次导数，根据拐点的定义，求得 的值，根据 求得 的值，利用降次公式和辅助角公式化简函数 ，由此求得函数 的最大值.【详解】 ，由于 是函数 的拐点，故 ，解得 .所以 ，根据

22、 ，解得 ，故，当 时，函数取得最大值为 .【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解以及应用，考查知识迁移的能力，考查函数导数的运算，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，属于中档题.理解新定义的概念是求解本题的关键，对函数求两次导数后根据拐点的定列方程可求得参数 的值.（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题）14.若函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 _.【答案】1【解析】【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，得到切线方程，然后代入（2，2）得到结果即可【详解】函数 f（x）=xlnx+a，可得 f（x）=lnx+1，所以 f（1）=1，又 f（1

23、）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2） ，所以 2=2-1+a，解得 a=1故答案为 1【点睛】本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）12.若曲线 与 存在公共切线，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题结合题意，结合相同切线，建立方程，构造新函数 ，计算最值，得到 a 的范围，即可。【详解】设曲线的切点坐标为 ，该切线方程为，切点为 ，该切线方程为 ，利用待定系数法得到 ，得到 ，构造函数计算导函数，得到 在 递增，在 递减

24、，故 最大值为所以 ，故选 C。【点睛】本道题考查了利用导数计算原函数的最值问题，难度较大。（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）8.已知函数 的极大值和极小值分别为 ， ，则 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】本道题计算导函数，得到 的值，然后利用根与系数关系，计算 ，即可。【详解】 ,该方程两个根为 ，故 在 取到极值，而所以 ，故选 D。【点睛】本道题考查了导函数计算极值的方法和根与系数关系问题，难度中等。（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）16.已知 为函数 图象上任意一点，点 为圆 上任意

25、一点，则线段 长度的最小值为_【答案】【解析】【分析】要求点到曲线的距离最小值，先设点坐标，求导后由垂直得到关于参量的函数，再次运用导数求出函数单调性，解得结果【详解】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0， ）到 图象上一点的距离最小值设 图象上的一点为则即有切线斜率为可得,设,递增又可得 处点（e,1）到 的距离最小，为则线段 长度的最小值为【点睛】本题考查了利用导数研究点到曲线上距离最小值，理清题意，求出满足条件的结果，本题有一定的难度，属于中档题。（辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题）11.设 ，则函数A. 仅有一个极小值 B. 仅有一个极大值C. 有无数个极值 D. 没

26、有极值【答案】A【解析】分析：求函数导数 ，令 ，由 ，从而得 即的单调性，结合 ，即可得解.详解： ，得 .设 ，则 .即 为增函数，且 .所以当 ,则 单调递减；当 ,则 单调递增，且 .所以函数 仅有一个极小值 .故选 A.点睛： 本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域； (2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4)判断 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5 ）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最

27、值.（河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题）12.（原创，中等）已知函数 ，若 且满足 ，则的取值范围是（ )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 ，得 ，结合分段函数的范围可得 ，又，构造函数 ，求函数导数，利用单调性求函数值域即可.【详解】由 ，得 .因为 ，所以 ，得 .又令.令 .当 时， ， 在 上递减 故选 A.【点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值域取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值

28、、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用.（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题）11.已知函数 在 上为减函数，则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导，由函数 f（x）在1 ，+）上为减函数，转化为 f（x）0 在1，+）上恒成立问题求解【详解】函数 在 上为减函数,f(x) ，则 f（x）0 在1， +）上恒成立 ，即 1lnalnx0 在 1，+）上恒成立 ，lnx1-lna=

29、 恒成立， ，即 1，ae故选：D【点睛】本题考查用导数研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f（x）0 在 D 上恒成立；当函数是减函数时，则 f（x）0 在 D 上恒成立（湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题）11.已知函数 若存在实数 k，使得函数 的值域为-1,1，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由于 在 上是单调递减函数，当 时， ，当时， ，所以 ，令 ，则 ，解得 或 ，当 时，函数取得极小值-1 ，当 时，解得：， ， 舍，所以 ，故选 B.考点：1.分段函数；2.导数的应用；3.函数图像

30、.【思路点睛】本题考察了分段函数的值域，综合了导数与函数图像的问题，属于综合性较强的难题，分段函数的值域是 ，那么两段函数的值域是 的子集，而且并集是，根据复合函数的单调性可知 是减函数，易得 ，根据导数分析第二段函数的单调性和极值，以及 时的 值，再结合函数的图像，可得区间需包含 2，但不能大于 ，这样可得 的取值范围是 .（河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）11.已知函数 ，则 的极大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：求函数的导数，令 ，先求出 的值再求 的极大值为即可得详解：函数 的定义域为 ， ，则令 ，得令 ，得 ，即函数 上单调递

31、增，在 上单调递减，故函数 在出 uqude 极大值，极大值为 故选 D.点睛：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题（河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）16.当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：不等式 变形为 当 时， ，故实数 a 的取值范围是 ；当 时， ，记 ，故函数 递增，则 ，故 ；当时， ，记 ，令 ，得 或 （舍去） ，当时， ；当 时， ，故 ，则 综上所述，实数 的取值范围是 考点：利用导数求函数的极值和最值（湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学（文科）试题）

32、12.已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且当 时, .若 , 是函数 图像上的两个动点，点 ，则当 的最小值为 0 时，函数 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得 值,问题得解 【详解】解：如图， 显然 的模不为 0 ，故当 最小值为 0 时,只能是图中的情况，此时， ，且 , 与函数图象相切，根据对称性， 易得 ，设 ， ，当 时，即 ，当 时， ，递增，故其最小值为： ，根据对称性可知， 函数 在 上最小值为 故选： 【点睛】此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 （江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题）12.若曲线 和 上分别存在点 ,使得 是以原点 为直角顶点的直角三角形, 交 轴于点 ，且 ，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设 ，根据 ，确定 ；再由 是以原点 为直角顶点的直角三角形，得到 ，整理后可得 ，因此只需求出值域即可.【详解】设 ，因为点 分别是曲线 和上的点，所以 ， ；因为 交 轴于点 ，且 ，所以 ；又因为 是以原点 为直角顶点的直角三角形，所以 ，即 ，所以( ，整理得 ，