2019届高三上期末数学分类汇编解析（25）空间向量与空间角、距离

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1、（江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷）10.在空间四边形 中，若 ，且 ， 分别是 的中点，则异面直线 所成角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设空间四边形 的边长为 2，作 AD 的中点 并且连接 MF、EM，在EMF 中可由余弦定理能求出异面直线所成的角【详解】在图 1 中连接 DE，EC，因为 = ，得 为等腰三角形，设空间四边形 的边长为 2，即 = =2，在 中，, ,得 = .在图 2 取 AD 的中点 M，连接 MF、EM，因为 E、F 分别是 AB、CD 的中点，MF1，EM1，EFM 是异面直线 AC 与 EF 所成的角

2、在EMF 中可由余弦定理得：cosEFM ，EFM45,即异面直线所成的角为 45故选：B图 1 图 2【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.（山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）16.如图，在正四面体 中， 是棱 上靠近点 的一个三等分点，则异面直线 和 所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】取棱 上靠近点 的一个三等分点 ，由已知得 ，所以 是异面直线 和 所成的角或其补角，求出 CE,CF 和 FE 的长，利用余弦定理计算即可.【详解】如图，取棱 上靠近点 的一个三等分点 ，又因为 是棱 上靠近点 的

3、一个三等分点，所以 ，所以 是异面直线 和 所成的角，不妨设正四面体 的棱长为 3，则 ， ， ，在 中，由余弦定理，得，所以 ，同理，在中，由余弦定理得 ，在 中，由余弦定理，得.故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.（河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题）16.如图，已知圆锥的母线长为 8，底面圆的圆心为 ，直径 ，点 是母线 的中点.若点 是底面圆周上一点，且

4、直线 与 所成的角为 ， 在线段 上且 ，则与底面所成角的正弦值为_【答案】 或【解析】【分析】先根据题意，求得 为异面直线 OC 与 QB 所成的角（或补角） ，再做辅助线，求得角MCD 为直线 MC 与底面所成的角，再然后求角 MCD 的正弦值.【详解】由题意知 QB=PO= ，连接 MO，则 MO/QB， 为异面直线 OC 与 QB所成的角（或补角） ，所以 或过 M 做 于点 D，则 底面 AOC，所以角 MCD 为直线 MC 与底面所成的角，PO= ，PA=4MA ，所以 MD=当 时， 所以 当 时，所以综上： 与底面所成角的正弦值为 或【点睛】本题主要考查了立体几何中线面角的求法

5、，解题的关键是在于能否作出线面角，属于中档题.（广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）8.如图，棱长为 的正方体 中， 为 中点，这直线 与平面 所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先作出直线 D1M 与平面 ABCD 所成角，然后求解即可【详解】连接 DM，因为几何体是正方体，所以D 1MD 就是直线 D1M 与平面 ABCD 所成角，tanD1MD=故选：C【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线

6、长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题）11.如图，三棱锥 D-ABC 中， ，平面 DBC平面ABC， M， N 分别为 DA 和 DC 的中点，则异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】取 BC 中点 O，连结 OD，OA，则 ODBC，OABC，ODOA，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OA 为y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值【详解】取 BC

7、 中点 O，连结 OD，OA，三棱锥 D-ABC 中， ，平面 DBC平面 ABC，M，N 分别为 DA 和 DC 的中点，ODBC，OABC，ODOA，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，C（ ，0，0） ，A（0， ，0） ，D（0，0， ） ，M（0， ， ） ，N（ ，0， ） ，B（- ，0，0） ，=（ - ， , ） ，=（ ，0 ， ） ，设异面直线 CM 与 BN 所成角的平面角为 ，则 cos= 异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值为 故选：A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间

8、的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题）18.如图，多面体 为正三棱柱 沿平面 切除部分所得， 为 的中点，且 .(1)若 为 中点,求证 ；(2)若二面角 大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】(1) 取 中点 N，连接 MN，证明 即可；(2)由（1）得 是二面角的平面角，得 ，建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解即可.【详解】 （1）取 中点 N，连接 MN，则 MN 为 的中位线，, ，又 MN=AD, ， 。(2) 由 可得 二面角 平面角，由二面角 大小

9、为 可得 ，如图建立空间直角坐标系，则 ， , ,设平面 的法向量为，所以 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的向量求法，熟记线面平行判定定理，准确计算是关键，是基础题.（陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）19.如图所示，等腰梯形 的底角 ，直角梯形 所在的平面垂直于平面 ，且 ， .（1）证明：平面 平面 ；（2）点 在线段 上，试确定点 的位置，使平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .【答案】 （1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）计算 BD，根据勾股定理逆定理得出 ABBD，再根据 ED平面 得出EDAB，

10、故而 AB平面 ，从而平面 平面 ；（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标， ，求出两个平面的法向量，根据法向量的夹角即可求得 的值。【详解】 （1）证明：平面 平面 ，平面 平面 ， ，平面 ， 平面 ， ， ，又 平面 ，平面 平面（2）解：以 为坐标原点，以 ， 为 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ，则 ， ， ，设 ， （ ） ，则 ，设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则， ， ，令 ，得 ，令 ，得 ，.即 .即点 为线段 的中点时，平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量求平面与平面夹角的应用，

11、属于中档题。（四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学）17.如图，正四棱柱 中， ，点 在 上且 . （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值.【答案】 （）详见解析；（） .【解析】【分析】(1)首先可以根据图像建立空间直角坐标系然后写出 的坐标以及向量，然后通过 以及 即可得出 ，最后根据线面垂直的相关性质即可得出结果；(2)可以通过求出平面 与平面 的法向量来求出二面角 的余弦值。【详解】以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，射线 为 轴的正半轴，射线 为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，即可得出 、 、 ，、 、 、 、 。(1)因为 , ，所以 ，

12、因为 ，所以 平面 ；(2)设向量 是平面 的法向量，则 ， ，故 ， .令 ，则 ，等于二面角 的平面角， 。【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线面垂直的证明以及二面角的余弦值的求法，线面垂直可以通过线线垂直来证明，而二面角的余弦值则可以借助空间向量来证明，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题。18.如图，三棱台 的底面是正三角形，平面 平面 ， ， .（）求证： ；（）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （）见证明；（）【解析】【分析】（）取 的中点为 ，连结 ，易证四边形 为平行四边形，即 ，由于， 为 的中点，可得到 ，从而得到 ，即可证明 平面 ，从而得

13、到 ；（）易证 ， ， 两两垂直，以 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面 的一个法向量为 ，设 与平面 所成角为 ，则 ，即可得到答案。【详解】解：（）取 的中点为 ，连结 .由 是三棱台得，平面 平面 ，从而 . ， ，四边形 为平行四边形， . ， 为 的中点， ， .平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ， 平面 ，而 平面 ， .（）连结 .由 是正三角形，且 为中点，则 .由（）知， 平面 ， ， ， ， ， ， 两两垂直.以 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .设 ，则 ， ， ， ， ， ， .设平面 的一个法向量为 .由 可

14、得， .令 ，则 ， ， .设 与平面 所成角为 ，则 .【点睛】本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题。（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题）18.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB DA， DC AB， AB=2DC=4， PA=DA=2，平面PAD平面 ABCD（1）证明：平面 PCB平面 ABP；（2）求二面角 D-PC-B 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设 E，F 分别为 AP，PB 的中点，过 C 向 AB 引垂线，垂直足为 Q，

15、连结CF，DE，EF，FQ，推导出 DEAP，CFAP，从而 CD平面 PAD，CDPD，CQAB，进而，CQ=AD ,CFPB ，CF平面 APB，由此能证明平面 PCB平面 ABP（2）过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，以 O 为原点，OA 为 x 轴，在平面 ABCD 内过点 O 作 A 原垂线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，利用向量法能求出二面角 D-PC-B 的余弦值【详解】 （1）如图，设 E，F 分别为 AP，PB 的中点，过 C 向 AB 引垂线，垂直足为 Q，连结 CF，DE，EF，FQ，得 , ，故 EF/DC, EF=DC，CFDE，又

16、PA=PD=DA，DEAP，CFAP，由平面 PAD平面 ABCD，CD平面 PAD，CDPD，PC 2=DC2+DP2=8，又 CQAB，CQ/AD，CQ=AD,BC 2=QC2+QB2=8，PC=BC，又 F 为 PB 的中点，CFPB，CF平面 APB，又 CF平面 PCB，平面 PCB平面 ABP（2）如图，过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，由（1）知 O 为 AD 的中点，故 PO AD，以 O 为原点， OA 为 x 轴，在平面 ABCD 内过点 O 作 A 原垂线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，则 D（-1，0，0） ， C（-1，2，0） ，

17、B（1，4，0） ， P（0，0， ） ，=（1，-2， ） ， =（2，1，0） ，设平面 PCB 的法向量 =（ x， y， z） ，则 ，即 ，取 x=1，得 =（1，-1，- ） ，设平面 PDC 的法向量为 =（ x， y， z） ，则 ， ，取 z=1，得 =（- ，0，1） ，cos = =- ，二面角 D-PC-B 的余弦值为- 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题）19.如图，在直三棱柱 中， ， ，

18、， ， 为 的中点.（1）证明： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，由矩形的性质，结合三角形中位线定理可得 ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）先证明 ，分别以 ， ， 为 轴、 轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】 （1）连接 交 于点 ，连接 ，因为四边形 是矩形，所以点 是 的中点，又点 为 的中点，所以 是 的中位线，所以 .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由 ， ， ，可得

19、 ，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，则有 ， ， ， ，所以 ， ， ，设直线 与平面 所成角为 ，平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，所以 .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量法，属于中档题. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.（晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学(理) 试题）18.如图，矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面，分别是 的

20、中点（1）求证：平面 平面 ；（2）求二面角 的正切值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由几何关系可知四边形 是平行四边形，则 由线面平行的判定定理可得 平面 由中位线的性质可知 ，则 面 利用面面平行的判定定理即可证得平面 平面 （2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面 的一个法向量 而平面 的一个法向量为 据此可得 ，然后结合同角三角函数基本关系求解二面角 的正切值即可.【详解】 （1）因为 是 的中点， ，所以 又因为 ， ，所以 ，且 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 又因为 平面 平面 ，所以 平面 因为 分别是 的中点，所以 又因为 平面 平面 ，所

21、以 面 又因为 平面 平面 ，所以平面 平面 （2）以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ，所以 设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，得，所以 易知平面 的一个法向量为 所以 又因为二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的正切值 【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理，空间向量处理面面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第一次联考数学（理）试题）18.如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ，且为等边三角形，平面 平面 ；点 分别为 的中点（1）证明： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角

22、的正弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】【分析】(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线，根据中位线的关系可得，四边形是平行四边形.(2) 设 的中点为 ， 可证 两两垂直，以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴建立坐标系，然后求出平面 的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线与平面 所成角的正弦值.【详解】 （1）设 的中点为 ，连接 ，为 的中点，所以 为 的中位线，则可得 ，且 ；在梯形 中， ，且 ，所以四边形 是平行四边形，又 平面 ， 平面 ，平面 法二：设 为 的中点，连接 ，为 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，又 平面 ， 平面 ，平面 ， 又在梯

23、形 中， ，且 ，所以四边形 是平行四边形，又 平面 ， 平面 ，平面 ， 又 ，所以平面 平面 ，又 平面 ，平面 （2）设 的中点为 ，又 因为平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，平面 ，又由 ， ，即有 两两垂直，如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系已知点 ，设平面 的法向量为： 则有 ，可得平面 的一个法向量为 ， 可得： ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 【点睛】本题的第一问是比较常规的证明线面平行的题目，难点在于根据中点连成相应的平行四边形，进而证明出线面平行；第二问是常规的求线面角的正弦值，难点在于建立坐标系，当建立了坐标系后，即可求出平面的法向量，进而求

24、解所求角的正弦值.（河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题）18.如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ABCD， P 为 BC 边的中点， SB 与平面ABCD 所成的角为 ，且 ， 1 求证： 平面 SAP；2 求二面角 的余弦的大小【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】1 欲证 平面 SAP，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 PD 与平面 SAP 内两相交直线垂直，根据题意可知 是 SB 与平面 ABCD 所成的角，根据勾股定理可知 ，根据线面垂直的性质可知 ，而 满足定理所需条件；2 设 Q 为 AD 的中点，连接 PQ，根据 ， ，则 是二面角 的平面角

25、，在 中，求出二面角 的余弦即可【详解】 1证明：因为 底面 ABCD，所以， 是 SB 与平面 ABCD 所成的角由已知 ，所以 易求得，又因为 ，所以 ，所以因为 底面 ABCD， 平面 ABCD，所以 ，由于 所以 平面2 设 Q 为 AD 的中点，连接 PQ，由于 底面 ABCD，且 平面 SAD，则平面 平面， 平面 SAD， 平面 SAD， 过 Q 作 ，垂足为 R，连接 PR，则 面 QPR又 面 QPR， ， 是二面角 的平面角容易证明 ，则 因为 ， ， ，所以在 中，因为 ， ，所以所以二面角 的余弦为【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，

26、同时考查了空间想象能力以及转化与划归的思想，属于中档题（河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）18.如图，在三棱台 中，底面 是边长为 的等边三角形，上、下底面的面积之比为 ，侧面 底面 ，并且 .（1）平面 平面 ，证明： ；（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值.【答案】 （1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知 ，结合几何关系可证得 平面 ，据此可得题中的结论；（2）以 为原点建立空间直角坐标系.由题意求得平面 的法向量为 ，平面的法向量为 ，据此求解平面 与平面 所成二面角的正弦值即可.【详解】 （1） 几何体 为棱台，平面 平面平面 ，

27、平面 平面（2） ，则面积之比为相似比的平方， 而过点 作 交 于 ，由于侧面 底面为交线， 底面 .在 中，易求得 为线段的四等分点，取 的中点 ，则有 ，以 为原点建立空间直角坐标系.设平面 的法向量为可得设平面 的法向量为故平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .【点睛】本题主要考查空间向量及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题）18.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的菱形， ， ， 为的中点， 为 的中点，点 在线段 上，且 .（1）求证： 平面 ；（2） 若平面 底面 ，且 ，求平面 与平面 所成

28、锐二面角的余弦值【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1） （法一）如图，设 中点为 ，连接 ， ， ，则有 ，利用线面平行的判定定理，证得 平面 ，进而证得 平面 ，从而证得平面 平面 ，即可求得 平面 .（法二）连接 、 、 ，则有 ，证得 ，利用线面平行的判定定理，即可证得 平面 .（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，求得平面 和平面 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】解：（1）证明：（法一）如图，设 中点为 ，连接 ， ， ，则有， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 ，平面 平面 ， 平面 .（法二）如图，设 中点为

29、 ， 为线段 上一点，且 .连接 、 、 ，则有 ， ， ， ，且 ，即 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）平面 底面 ，且 ， 底面 ，如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，取 ，可得 ，又易知平面 的一个法向量 ，设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和平面与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理。同时对于立体几

30、何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.（广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题）18.如图，四棱锥中 ，四边形 为菱形， ， ，平面平面 .（1）求证： ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取 中点 连结 ， ，先证明 平面 BOP，即可证明 ；（2）先证明 两两垂直.以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 .求出平面 与平面 的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】 （1）证明：取 中点 连结 ， ， .又四边形 为菱形， ，故 是正三角形，又点 是

31、 的中点， .又 ， 平面 ，平面 ，又 平面 .（2）解： ，点 是 的中点， .又平面 平面 .平面 平面 ， 平面 ，平面 ，又 平面 .， .又 ，所以 两两垂直.以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 .设 ，则各点的坐标分别为 ， ， .故 ， ， ， ，设 ， 分别为平面 ，平面 的一个法向量，由 可得 ，令 ，则 ， ，故 .由 可得 ，令 ，则 ， ，故.又由图易知二面角 是锐二面角，所以二面角 的余弦值是 .【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；

32、（ 3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.（广东省江门市 2019 届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）18.如左图，平面五边形 中， ， ，将沿 折起，得到如右图的四棱锥 （1 ）证明： ；（2 ）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】(1)通过图中的集合关系得到 ，进而得到线线垂直；（ 2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】 （1）取 的中点 ，连接 、 。由已知，左图 是正方形

33、，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以 （即） 、 ,因为 ，所以 ,，所以 ,（2）由（1）和平面 平面 知， 平面 ,从而 、 、 两两互相垂直，以 为原点，以 、 、 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ,则 、 、 、 ,设 是平面 的一个法向量，则 ,取 ，则 ，故 ,直线 与平面 所成角的正弦值为 .【点睛】求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。（广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）18.如图，已知等边 中， ， 分别为 ， 边

34、的中点， 为 的中点， 为 边上一点，且 ，将 沿 折到 的位置，使平面 平面 .（）求证：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值.【答案】 （I）证明见解析；（II）【解析】试题分析：（1）证明 AMEF，推出 AM平面 EFCB，得到 AMBF，证明 BFMN得到BF平面 AMN然后证明平面 AMN平面 ABF；（2）设等边 的边长为 4，取 中点 ，连接 ，由题设知 ，由（1 ）知平面 ，又 平面 ，所以 ,如图建立空间直角坐标系 ，利用两个平面的法向量的夹角即可得出试题解析：（I）因为 为等边 的 边的中点，所以 是等边三角形，且 因为是 的中点，所以 .又由于平面 平面 , 平面 ，所以 平面又 平面 ，所以 .