2019届高三上期末数学分类汇编解析（22）基本不等式

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1、（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）4.若两个正实数 满足 ,且不等式 有解,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：不等式 有解，即为 大于 的最小值，运用乘 1 法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得 m 的范围来源:学*科*网详解：正实数 满足 则 =4，当且仅当 ， 取得最小值 4由 x 有解，可得 解得 或 故选 D 来源:Z_xx_k.Com点睛： 本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘 1 法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正

2、二定三等，考查运算能力，属中档题（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）8.若 ， ， ，则 的最小值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即 可直接得到所求最小值.【详解】 ，于是 或 （舍） ，当 时取等号，则 a+b 的最小值为 4，故选 .【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题 .来源:Z,xx,k.Com（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题）15.已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为_ 【答案】【解析】【分析】由 变 形为 ，利用 1 的用法整理展开后，利用基本不等式即可求解【详解

3、】正实数 ， 满足 ，两边同除以 得：=当且 仅当 ， 时，等号成立。的最小值为 。【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，还考查了转化思想及“1”的用法，解题的关键是应用条件配凑（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）9.若函数 ，在 处取最小值， 则 A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】当 x2 时,x-20,f(x)=x-2+ +22 +2=4,当且仅当 x-2= (x2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时 ,x=3,即 a=3.故选 C.（安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）8.已知 ，则 的最小值是

4、( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】来源:Z#xx#k.Com【分析】由题意知， ，运用基本不等式即可求出最小值。【详解】由题意知， ，因为 ，所以 ，则 ， （当且仅当 ，即 时取“=” ）故 的最小值是 5.故答案为 D.【点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题。（广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）12.半圆的直径 ， 为圆心， 是半圆上不同于 的任意一点，若 为半径 上的动点，则 的最小 值是（ ）A. 2 B. 0 C. -2 D. 4【答案】C来源:Zxxk.Com【解析】【分析】将 转化为 ，利用向量

5、数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示， ,等号在 ，即 为 的中点时成立. 故选 C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量 的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.（河北省衡水市第十三中学 2019 届高三质检（四）理科数学试题）9.已知点 分别在正方形 的边 上运动，且 ，设 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,又因为 , ,当且仅当 x=y 时取等号, ,即 的最大值为 ,故选 C.（江苏省南通市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试数学（文） ）13.对于直角

6、三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理 如果一个直角三角形的斜 边长等于 5，那么这个直角三角形面积的最大值等于_【答案】【解析】【分析】设直角三角 形的斜边为 c，直角边分别为 a，b，根据勾股定理，以及基本不等式的性质进行求解即可【 详解】设直角三角形的斜边为 c，直角边分别为 a，b，由题意知 ，则 ，则三角形的面积 ，则三角形的面积 ，当且仅当 a=b= 取等即这个直角三角 形面积的最大值 等于 ，故答案为： 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查三角形面积的计算，利用基本不等式

7、的性质结合勾股定理，三角形的面积公式是解决本题的关键（湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学（文科）试题）16.如图所示，在三棱锥 中， 、 、 两两垂直，且 ， 设是底面 内一点，定义 ， ， ，其中 、 、 分别是三棱锥 、三棱锥 、三棱锥 的体积若 ， ， ，且 恒成立，则正实数 的最小值为_【答案】1【解析 】PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=3PB=2，PC=1 = +x+y即 x+y= 则 2x+2y=1，又 ，解得 a1正实数 a 的最小值为 1（陕西省汉中市重点中学 2019 届高三下学期 3 月联考数学（文）试题）12 .已知 ，函数 的最小值为 6，

8、则 （ ）A. -2 B. -1 或 7 C. 1 或-7 D. 2【答案】B【解析】【分析】将 化简成 ，利用基本不等式求得最小值，即可得到 a.【详解】 ， （当且仅当 时等号成立） ，即 ，解得 或 7.故选 B.【点睛】本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题.（晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学( 理)试题）10.已知函数 ，若 ，则下列关系式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得 ，然后结合函数区间 上单调递增比较 p,q,r 的大小即可

9、.【详解】因为 ，所以 ，来源:Z,xx,k.Com，又 ， ，又因为函数 在区间 上单调递增，所以 ，即 【点睛】本题主要考查函数的单调性，均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题）16.在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，且 ，则 的周长取值范围为_。【答案】【解析】【分析】由余弦定理将 化简为 ,利用基本不等式求得 a+b 的范围即可求解.【详解】由余弦定理得 ,整理得 即 a+b4 当且仅当a=b=2 取等，又 a+bc=2,所以 a+b+c故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，余弦定理，准确

10、将原式化简是关键，注意三角形两边之和大于第 三边，是中档题.（陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）16.在实数集 中定义一种运算“ ”，具有性质：（1）对任意 ， ；（2）对任意 ， ；（3）对任 意 ， ，则函数的最小值为_.【答案】 来源:Zxxk.Com【解析】【分析】通过赋值法，可得到一般性的结论，对解析式 化简，然后即可求得最小值。【详解】因为在（3）中，对任意 ， 令 ，代入得 来源:学科网 ZXXK由（1）中 可得 来源:学科网由（2）中 ，化简可得所以 因为由基本不等式可得所以最小值为 3【点睛】本 题考查了新定义的运算，考查了函数式的 化简求值，基本不等式的用法，属于难题。（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）1 5.若 ，则 的最小值为_【答案】【解析】【 分析】由基本不等式，可得到 ，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。【详解】由题意， ，当且仅当时等号成立，来源:学#科#网 Z#X#X#K所以 ，当且仅当 时取等号，所以当 时， 取得最小值 【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；等号取得的条件。