2019届高三上期末数学分类汇编解析（23）简单的几何体结构、表面积和体积、球

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1、（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）15.已知圆台的上、下底面都是球 的截面，若圆台的高为 ，上、下底面的半径分别为 ，则球 的表面积为_【答案】【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。【详解】设球半径为 R，球心 O 到上表面距离为 x，则球心到下表面距离为 6-x,结合勾股定理，建立等式 ，解得 ，所以半径因而表面积【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。（山东省潍坊市 2019 届高三上学期 期末测试数学（理科）试题）6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）主视图 左视图俯视图A. B. C. D.

2、 【答案】C【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图该几何体体积 ，故选 C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）8.已知正六棱锥的底面边长为 ，体积为 ，则其外接球的表面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道题先计算底面面积，进而得到该六棱锥的高，构造直角三角形 ONC，结合勾股定理，建立关于球半径方程，计算，得到表面积，即可。【详解】底面为正六边形，度数为 ，故每个角为 ，所以， ，所以底面面积所以体积

3、，解得结合题意可知 ，设球半径为 R，则 ，对于三角形 OCN，结 合勾股定理，得到，所以面积为 ,故选 A。【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为 2 正方体挖去一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥构成的不规则的几何体所以：v ，故选：A【点睛】本题考查

4、的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）10.已知四面体 ， ，则该四面体外接球的半径为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】来源:学科网【分析】取直角三角形 的斜边中点 ， 点即 的外心，球心 在其正上方，作出球心后，利用余弦定理以及诱导公式列方程组，解方程求得外接球半径 .【详解】设 为 的中点，由于三角形 为直角三角形，故其外心为 点，则球心在 点的正上方，设球心为 ，作出图像如下图所示.其中 ， .由余

5、弦定理得 ， .设外接球的半径为 .在三角形 中，由勾股定理得 .在三角形 中，由余弦定理得.在三角形 中，由余弦定理可知，由于 ，则 ，所以 ，所以 .联立可得 .故选 B.【点睛】本小题主要考查空间几何体的外接球半径的求法，考查利用余弦定理和勾股定理解三角形，属于中档题.（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）15.三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC= ,则三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积是_【答案】【解析】由题意可得 ，所以取 AB 中点 O,则 O 是三棱锥 S-ABC 的外接球的球心，半径为 1.所以

6、S= 填 。【点睛】由于 AB 正好是两个直角三角形的公共斜边，而斜边上的中线到三个顶点的距离相等，所以外接球的球心正好是斜边 AB 的中点。所以在做立体几何时，需要注意应用平面几何的知识，特别是直角三角形，等边三角形，等腰三角形的相关性质。（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）6.如图，点 O 为正方体 ABCD-ABCD的中心，点 E 为面 BBCC的中心，点 F 为 BC的中点，则空间四边形 DOEF 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知光线从上向下照射，得到 C，光线从前向后照射，得到 A光线从左向右照射

7、得到 B故选 D点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同（广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）7.已知底面半径为 1 的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为 的球面上，则该圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】由题意圆锥底面半径为 ，球的半径为 如图设 ，则 ，圆锥的高 或 所以，圆锥的体积为 或 .故选 D（广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）5.如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画

8、出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥 ，如图所示，则三棱锥 的表面积为 .故选 A.（江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）16.正四棱柱 中， ， ，设四棱柱的外接球的球心为 O，动点P 在正方形 ABCD 的边长，射线 OP 交球 O 的表面点 M，现点 P 从点 A 出发，沿着运动一次，则点 M 经过的路径长为_【答案】【解析】【分析】由题意，点 P 从点 A 出发，沿着 运动一次，则点 M 经过的路径是四段大圆上的相等的弧，求出 ，利用弧长公式，即可得出结论【详解】解：由题意，点 P 从点

9、A 出发，沿着 运动一次，则点 M 经过的路径是四段大圆上的相等的弧正四棱柱 中， ， ，四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为 ，四棱柱的外接球的半径为 ， ，所在大圆，所对的弧长为 ，点 M 经过的路径长为 故答案为： 【点睛】本题考查弧长公式，考查学生的计算能力，确定点 M 经过的路径是四段大圆上的相等的弧是关键（江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）7.如图, 网格纸上小正方形的边长为 ,粗线画出的是某四棱锥的三视图, 则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体为正方体的一部分，可在正方体中

10、，得到该几何体，如图所示，几何体 ，则该几何体的体积为，故选 B考点：几何体的三视图及几何体的体积的计算（湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题）8.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积， “势” 是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可。【详解】结合三视图，还原直

11、观图，故 ，故选 B。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图以及空间几何体体积计算方法，难度较小。（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）16.在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，则此三棱锥的外接球的表面积为_【答案】 【解析】【分析】由题意，在三棱锥 中，可得 ，进而求得三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解。【详解】由题意，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，可得 ，故三棱锥 的外接球的半径 ，则其表面积为 .【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条

12、棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径。（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，由体积公式，即可求解。【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其体积为 ，故选 D。【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及组合

13、体的体积的计算问题，其中解答中根据几何体的三视图还原得到该组合体的结构特征是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力。（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）16.已知球的半径为 4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为 ，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_【答案】6【解析】【分析】先设两圆的圆心为 ，球心为 ，公共弦为 ，中点为 ，由球心到这两个平面的距离相等，可得两圆半径相等，然后设两圆半径为 r,由勾股定理表示出 ，再由 ，即可求出 r，从而可得结果.【详解】设两圆的圆心为 ，球心为 ，公共弦为 ，中点为

14、 ，因为球心到这两个平面的距离相等，则 为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为 ， ，又 ， ， ， .这两个圆的半径之和为6.【点睛】本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解.（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）6.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧） ，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体为圆柱体的一半，结合表面积公式可得结果.【详解】该几何体为一个圆柱体的一半，所以表面积 .【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几 何体的表面、体积问题，属于基础题型.

15、（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题）7.我国古代九章算术将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。如图是一个鳖臑的三视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖臑的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的体对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积【详解】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥；扩展为长方体，使其外接于球，它的对角线的长为球的直径：长方体对角线的长为：该三棱锥的外接球的表面积为： 。故选：B【点睛】本题

16、考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题）6.我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍童的表面积为（ ）A. B. 72 C. D. 32【答案】A【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【详解】三视 图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为： ，几何体的表面积为， 故选：A【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键（河北省张家口市

17、 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）9.某几何体的三视图如图所示，其正视图是斜边长为 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可.【详解】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半,由正视图是斜边长为 的等腰直角三角形可知底面圆的半径为 1,圆柱的高为 2，所求几何体的体积为 .故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查圆柱的体积公式，其中由三视图推出几何体的形状是关键.（河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）5.已知三棱锥 的各顶点都在以 为球心的球

18、面上，球 的表面积为 ， ， ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知 ，又 ， ，故三棱锥 的外接球和以 ， ， 为长宽高的长方体的外接球相同，求解即可。【详解】因为 ， ， ， ，所以 ，又 ，故三棱锥 的外接球和以 ， ， 为长宽高的长方体的外接球相同，故外接球直径为 ，又因为外接球的表面积为 ，则 ，故 .故答案为 C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于基础题。（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）10.在长方体 中， ， 是 的中点，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）A. B. C.

19、D. 【答案】B【解析】【分析】设直角三角形 的外心即斜边中点为 ，连接 ，通过证明三角形 为直角三角形，由此证得 到 的距离相等，即球心，从而求得球的半径并计算出球的表面积.【详解】设直角三角形 的外心即斜边中点为 ，连接 ， .由于, , ，故，所以 ，所以 ，即 是球的球心，且半径为，所以球的表面积为 ，故选 B.【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球的表面积有关问题，属于基础题.有关球的内接、外切的问题，解题关键在于找到球的球心并计算出球的半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，如等边三角形的外心，直角三角形的外心.本题中有两个有公共斜边的直角三角形，外心即是斜边的中点处，这个点也即是

20、球心.（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）5.已知圆锥的底面半径是 ，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据侧面展开图计算出圆锥的母线长，由此计算出侧面积，再加上底面积得到圆锥的表面积.【详解】设圆锥母线长为 ，由于侧面展开图是半圆，故 ，故侧面积为，底面积为 ，所以表面积为 .故选 B.【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面展开图有关计算，考查圆锥的表面积计算，属于基础题.（广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）4.如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何

21、体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图判断出几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，由此计算几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，正方体的体积为，圆锥的体积为 ，故所求几何体的体积为 .故选 B.【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查正方体的体积公式，考查圆锥的体积公式，属于基础题.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）11.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】有三视图得到几何体为

22、圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等 量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为 r，母线的长为 ，则，又 S 侧 = （当且仅当 时“=”成立）.故选 C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面

23、半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为 r，母线的长为 ，则，又 S 侧 = （当且仅当 时“=”成立）.故选 C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题）15.九章算术将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.如图所示，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某一阳马的正视图和侧视图，则该阳马中，最长的棱的长度为_【答案】【解析】【分析】根据三视图

24、画出原几何体，再根据三视图中的数据，即可求解最长的棱的长度，得到答案.【详解】由题意，根据三视图可得该几何体为一个四棱锥， （如图所示）其中侧棱 底面 ，底面 为长方形，在该“阳马”点最长的棱长为 .【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，以及几何体的结构特征的应用， ，其中解答中根据空间几何体的三视图得到该几何体的直观图，以及相应的线面位置关系是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力.（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题）15.某三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示一个底

25、面边长为 2，侧棱长为 的正三棱柱，得底面正三角形的外接圆的半径为 ，根据球的性质，求得球的半径，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为 2，侧棱长为的正三棱柱，则底面正三角形的外接圆的半径为 ，设外接球的半径为 ，则 ，所以外接球的表面积为 .【点睛】本题考查了几何体的三视图及球的表面积的计算，其中解答中，对于求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解是解答的关 键，着重考 查了推理与运算能力，属于中档试题 .（福建省厦门市 2019 届

26、高三第一学期期末质检理科数学试题）11.已知圆锥的顶点为 ，母线长为 2，底面半径为 ，点 在底面圆周上，当四棱锥体积最大时， （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设圆锥的高为 ， 相交于点 ， ，求得 的最大值，以及根据锥体的体积公式，求得 ，令 ，令导数求解函数的单调性与最值，进而可求解答案.【详解】设圆锥的高为 ， 相交于点 ， ，则 ， ，当且仅当 ， 时， 取得最大值，则 令 ，则 ，令 ，解得所以 在 上单调递减，在 上单调递增所以 ，则四棱锥 的体积的最大值为 ，所以当四棱锥 体积最大时， .【点睛】本题主要考查了组合体的性质，以及利用导数研究函数的单调性与最

27、值的应用，其中解答中根据结合体的结构特征，求得几何体的体积，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答本题的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题）12.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ，若球 的表面积为 ，则三棱锥 的侧面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由球 O 的表面积为 29，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值【详解】设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由

28、 4R 2=29 ，得 4R2=29又 x2+y2+22=（2R） 2，得 x2+y2=25三棱锥 A-BCD 的侧面积：S=SABD+SACD+SABC= 由 x2+y22xy，得 xy 当且仅当 x=y= 时取等号，由（x+y） 2=x2+2xy+y22（x 2+y2） ，得 x+y5 ,当且仅当 x=y= 时取等号，S5+ = 当且仅当 x=y= 时取等号. 三棱锥 A-BCD 的侧面积的最大值为.故选 A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题（福建省泉州

29、市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题）3.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（bi no）.如图，网格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A. 6 B. 12 C. 18 D. 27【答案】D【解析】【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果【详解】根据几何体的三视图得知：该几何体是由一个底面以 3 和 4 为直角边的直角三角形和高为 3 的四面体构成，所以：S= ,故选 D.【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型来源:学,科,网（福建省

30、泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球 的一个内接四面体中， ， 过球心 ，若该四面体的体积为 1，且 ，则球 的表面积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】本道题设 ,用 x 表示球半径，然后结合函数的单调性，判断球表面最小值，即可。【详解】设 , 结合体积为 1 时, ,故 所以,所以 ,结合,建立方程,得到 ,令,结合二次函数的性质可知 在 递减, 递增令 ,结合复合函数的单调性可知, 在 递增,在 递减,而 始终递减,故 在 递减,在 递增,故当 , 取到最小值为 38所以面积最小值为【点睛】本道题考查了函数

31、的性质计算最值，难度较大。（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）5.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（bi no）.如图，网格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A. 6 B. 21 C. 27 D. 54【答案】C【解析】【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可.【详解】结合三视图,还原直观图为已知 ,则该四面体,故选 C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）14.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 的等腰三

32、角形，侧视图是半径为 的半圆，则该几何体的体积是_【答案】【解析】【分析】该几何体是两个同底的半圆锥，底面半圆的半径为 ，高为 ，求出体积即可。【详解】由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，底面半圆的半径为 ，高为，所以该几何体的体积是 .【点睛】本题考查了组合体的三视图，考查了圆锥的体积求法，属于基础题。（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）11.在三棱锥 中， 和 都是边长为 的等边三角形，且平面 平面，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取 的中点 ，连结 与 ，在 上取点 I 使得 ，在 上取点 使得

33、 ，则点 是三角形 的外接圆圆心，点 是三角形 的外接圆圆心，分别过点 、 作平面和 的垂线 和 交于 点，则点 是三棱锥 的外接球球心，外接球半径为，进而可以得到答案。【详解】取 的中点 ，连结 与 ，则 ，且 ，在 上取点 I 使得 ，在 上取点 使得 ，则点 是三角形 的外接圆圆心，点 是三角形 的外接圆圆心，则 ，分别过点 、 作平面 和 的垂线 和 交于 点，则点 是三棱锥 的外接球球心， ， ，故外接球半径为 ，则三棱锥外接球的表面积 4 .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了球的表面积，属于中档题。（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）15

34、.我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为 ，高皆为 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离 处的平面截这两个几何体，可横截得到 及 两截面.可以证明 总成立.据此，半短轴长为1，半长轴长为 3 的椭球体的体积是_【答案】【解析】【分析】由已知条件推导出椭球体的体积公式，然后代入求出结果【详解】 总成立来源:学+科+网则半椭球体的体积为：椭球体的体积椭球体半短轴长为 1，半长轴长为

35、 3即椭球体的体积故答案为【点睛】本题考查了求椭球体体积，通过已知条件得到椭球体体积公式是解题关键，然后再代入相关数值求出结果。（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）9.在四面体 中， ， ， ，平面 平面 ，则该四面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取 中点 ，连接 ，由已知条件求得 为等腰直角三角形， 为等边三角形，确定四面体外接球的球心位置，然后计算出外接球的表面积【详解】取 AC 中点 D，连接 SD,BD， ，为等腰直角三角形，则 ，则 为等边三角形，为 AC 的中点，,取 外心 O，连接 则有平面 平面 ，且相交于边 AC，且 ，由面面垂直的性质可得中故 O 点即为四面体 S-ABC 外接球球心，半径为 ，则外接球的表面积为故选 D【点睛】本题考查了四面体外接球表面积问题，解题关键是确定外接球球心的位置，然后计算出半径，需要一定的空间想象能力，属于中档题